第七讲19世纪的分析

第七讲

19世纪的分析分析的算术化分析的拓展19世纪的中国数学5/3/20231宁德师范高等专科学校分析的算术化分析：关于函数的无穷小分析问题：第二次数学危机核心：函数、无穷小贡献：柯西(法,1789-1857)

《分析教程》(1821)《无穷小分析教程概论》(1823)《微分学教程》(1829)

魏尔斯特拉斯(德,1815-1897)

ε-δ语言“现代分析之父”5/3/20232宁德师范高等专科学校函数初等函数狄里克雷函数处处不可微的连续函数解析函数1837年狄里克雷(德,1805-1859)5/3/20233宁德师范高等专科学校1817年波尔查诺(捷,1781-1848)定义了导数、连续1821年柯西(法,1789-1857)《分析教程》定义了极限、连续、导数算术化1854年黎曼(德,1826-1866)定义了有界函数的积分19世纪60年代魏尔斯特拉斯(德,1815-1897)提出ε-δ语言

1875年达布(法,1842-1917)提出了大和、小和5/3/20234宁德师范高等专科学校1817年波尔查诺(捷,1781-1848)提出“确界原理”1817年波尔查诺和19世纪60年代魏尔斯特拉斯(德,1815-1897)提出“聚点定理”1821年柯西(法,1789-1857)提出“收敛准则”19世纪60年代魏尔斯特拉斯提出“单调有界原理”1872年海涅(德,1821-1881)和1895年波莱尔(法,1871-1956)提出“有限覆盖定理”实数理论1872年戴德金(德,1831-1916)提出“分割理论”1892年巴赫曼(德,1837-1920)提出“区间套原理”5/3/20235宁德师范高等专科学校1874年起康托(德,1845-1918)一系列论文建立康托三等分集集合论

希尔伯特：数学思想的最惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最优美的表现之一。

我看到了它，但我简直不能相信它。一一对应关系确定集合的基数。

实直线是不可数集合。康托定理:对集合X,|X|<|P(X)|=2|X|.5/3/20236宁德师范高等专科学校分析的拓展复变函数论解析数论微分方程5/3/20237宁德师范高等专科学校1747年达朗贝尔(法,1717-1783)断言复数表示为a+ib1752年和1777年获得了达朗贝尔-欧拉条件(柯西-黎曼条件)复变函数论1811年高斯(德,1777-1855)讨论了复数几何表示1797年威塞尔(挪,1745-1818)、1806年阿甘德(瑞,1768-1822)讨论了复数几何表示1782-1812年拉普拉斯(法,1749-1827),1815年泊松(法,1781-1840)讨论了复函数的积分泊松5/3/20238宁德师范高等专科学校奠基人复变函数论柯西(法,1789-1857)黎曼(德,1826-1866)魏尔斯特拉斯(德,1815-1897)5/3/20239宁德师范高等专科学校柯西(法,1789-1857):建立复变函数的微分和积分理论复变函数论1814年,1825年的论文详细讨论了复函数的积分《关于积分限为虚数的定积分的报告》,建立了柯西积分定理1826年提出留数概念1846年发现积分与路径无关定理1831年获得柯西积分公式5/3/202310宁德师范高等专科学校黎曼(德,1826-1866):黎曼面复变函数论1851年博士论文《单复变函数一般理论基础》黎曼映射定理5/3/202311宁德师范高等专科学校魏尔斯特拉斯(德,1815-1897)19世纪40年代建立了幂级数基础上的解析函数理论解析开拓复变函数论5/3/202312宁德师范高等专科学校解析数论1837年狄里克雷(德,1805-1859)解决素数问题

1859年黎曼(德,1826-1866)《论不超过一个给定值的素数个数》:π(x)与ζ(s)1896年阿达玛(法,1865-1963)和瓦莱•普桑(比利时,1866-1962)证明了素数定理π(x)~x/lnx1737年欧拉恒等式:解析数论5/3/202313宁德师范高等专科学校黎曼猜想(1859)解析数论5/3/202314宁德师范高等专科学校偏微分方程斯托克斯(英,1819-1903)麦克斯韦(英,1831-1879)位势方程1828年格林(英,1793-1841)《关于数学分析应用于电磁学理论的一篇论文》提出求解方法斯托克斯麦克斯韦5/3/202315宁德师范高等专科学校热传导方程偏微分方程1822年傅里叶《热的解析理论》热传导问题的求解及新的普遍性数学方法的创造傅里叶(法,1768-1830)1807年傅里叶(法,1768-1830)提出5/3/202316宁德师范高等专科学校傅里叶级数偏微分方程“傅里叶是一首数学的诗”5/3/202317宁德师范高等专科学校常微分方程解的存在性1820-1830年柯西获得第一个解的存在性定理柯西(法,1789-1851)李普希茨(德,1832-1903)

1869年李普希茨条件皮卡(法,1856-1941)1890年皮卡逐步逼近定理5/3/202318宁德师范高等专科学校常微分方程解的定性与稳定性理论1881-1886年庞加莱在《由微分方程定义的曲线》创建了微分方程的定性理论庞加莱(法,1854-1912)(法,1952)李雅普诺夫(俄,1857-1918)(俄,1957)1892年李雅普诺夫在《运动稳定性的一般问题》开创了微分方程的稳定性理论5/3/202319宁德师范高等专科学校

“呜呼！今欧罗巴各国日益强盛，为中国之边患。推源其故，制器精也，推源制器之精，算学明也。”

“人人习算，制器日精，以威海外。”李善兰(清,1811－1882年)

《垛积比类》(1850)19世纪的中国数学李善兰恒等式5/3/202320宁德师范高等专科学校李善兰(清,1811－1882年)翻译部分西方学术著作

徐光启等译《几何原本》后250年《几何原本》(1857)

《谈天》(1858)

万有引力定律及天体力学《重学》(1859)

牛顿运动定律《代微积拾级》[美,罗密士](1859)

《代数学》[英,德·摩根](1859)19世纪的中国数学5/3/202321宁德师范高等专科学校19世纪的中国数学李善兰:天文算学馆数学教习(1868-1882)

小学略通书数,大隐不在山林

京师同文馆

代表19世纪中国传统数学最高峰5/3/202322宁德师范高等专科学校中国近代科学事业的先行者

华蘅芳(清,1833－1902年)19世纪的中国数学

《代数术》(1872)《微积溯源》(1874)《决疑数学》(1