高考解析几何与立体几何复习的几点思考

高考解析几何与立体几何复习的几点思索北师大昆明附中宋祖发第一部分解析几何解析几何是初等数学与高等数学的连接点,是中学数学的重要内容.解析几何的核心思想是“坐标思想”,即通过坐标系,使点对应到数对,直线与曲线对应于方程,从而把几何问题转化为代数问题,通过代数方程来表示和探讨曲线，从而使代数和几何之间建立实质性的联系，可以说，解析几何是各种数学思想方法的综合点，是主干学问的交汇点。一、解析几何命题的特点题型相对稳定，一般考查三个小题，一个大题，文理科差异主要体现在小题上。三个小题着重考查基本概念与性质，一般会出现一个较难的题目，但入口较简单。二、解析几何的命题趋势（从内容上来看）直线以倾斜角、斜率、夹角、距离、平行与垂直、线性规划等有关的问题为基本问题，其中要重视“对称问题”的解答方法；与圆的位置有关的问题，一是探讨方程组，二是充分利用平面几何学问，后者是常用方法；求曲线的方程或轨迹问题，涉及圆锥曲线的概念和几何性质问题；直线与圆椎曲线的位置关系问题，如参数的取值范围、最值问题等，这是高考的重点内容之一；（学科内的小综合）以圆锥曲线为载体在学问网络的交汇点设计问题，其目的是加强联系、注意应用，以考查学生的应变实力以及分析问题和解决问题的实力。（大综合）三、须要突破的几个难点：（一）直线与圆的位置关系问题（二）求曲线的方程，探讨其几何性质解析几何是用代数的方法探讨几何问题的一门属性为学科，主要表现为在坐标系的基础上求出曲线方程，进而依据方程探讨曲线性质。评析：应用定义求动点轨迹或其方程，其优势在于避开列式、化简等繁琐的代数处理过程，给人以简捷、明快之感。评析：向量与解析几何的结合是高考命题的新趋势。本题须要应用向量的数量积进行等价转化，这是向量背景下求动点轨迹的“直译法”，难度较小，但是，假如不能将“向量语言”精确转化为“坐标语言”，或在化简过程中不细心都会可能出现错误。“细微环节确定成败”。（三）直线与圆锥曲线的位置关系直线和圆锥曲线的位置关系是平面几何的重要问题，它可以将解析几何中的一些主要内容有机地整合在一起。（四）适当交汇，注意联系圆锥曲线问题是中学数学学问的一个重要交汇点，成为联系多项内容的媒体，常与函数、不等式、数列、平面对量、导数等内容交叉渗透，题型新奇新颖、自然流畅。这类题综合性强、解题敏捷、思维抽象。因此在复习时要突出构建学问网络，从圆锥曲线整体的高度考虑问题，在解题实践中领悟蕴含的数学思想和方法。解:（Ⅰ）椭圆的半焦距，由知点在以线段为直径的圆上，故，所以，（Ⅱ）（ⅰ）当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得设，，则，；因为与相交于点，且的斜率为，所以，四边形的面积当时，上式取等号（ⅱ）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积综上，四边形的面积的最小值为评析：第一问事实上是证明点P在椭圆的内部；其次问把要解决的解析几何问题转化为代数中的方程、不等式或函数问题，这是在转化与化归思想指导下“几何问题代数化”的详细体现。在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与轴的交点分别为A、B，且向量求：（Ⅰ）点M的轨迹方程；（Ⅱ）的最小值解:椭圆方程可写为:eq\f(y2,a2)+eq\f(x2,b2)=1式中a>b>0,且EQ\b\lc\{(\a\al(a2－b2=3,\f(\r(3),a)=\f(\r(3),2)))得a2=4,b2=1,所以曲线C的方程为:x2+eq\f(y2,4)=1(x>0,y>0)y=2eq\r(1－x2)(0<x<1)y'=－eq\f(2x,\r(1－x2))设P(x0,y0),因P在C上,有0<x0<1,y0=2eq\r(1－x02),y'|x=x0=－eq\f(4x0,y0),得切线AB的方程为:y=－eq\f(4x0,y0)(x－x0)+y0设A(x,0)和B(0,y),由切线方程得x=eq\f(1,x0),y=eq\f(4,y0)由eq\o(OM,\s\up6(→))=eq\o(OA,\s\up6(→))+eq\o(OB,\s\up6(→))得M的坐标为(x,y),由x0,y0满意C的方程,得点M的轨迹方程为:eq\f(1,x2)+eq\f(4,y2)=1(x>1,y>2)(Ⅱ)|eq\o(OM,\s\up6(→))|2=x2+y2,y2=eq\f(4,1－\f(1,x2))=4+eq\f(4,x2－1),∴|eq\o(OM,\s\up6(→))|2=x2－1+eq\f(4,x2－1)+5≥4+5=9且当x2－1=eq\f(4,x2－1),即x=eq\r(3)>1时,上式取等号故|eq\o(OM,\s\up6(→))|的最小值为3评析：与圆锥曲线有关的最值问题、参数范围问题综合性较大，解题时须要依据详细问题，敏捷运用平面几何、函数、不等式、三角等学问，正确地构建圆锥曲线与其它数学学问的联系。解析几何是高考命题的重要内容。选择题、填空题属简单或中等题，解答题计算量削减，思维量增大。重点仍旧是直线与圆锥曲线位置关系，热点主要体现在以下几个方面：直线与圆锥曲线的基础题、轨迹问题、参数范围问题、最值问题，是否存在型的探究问题等。从“在学问网络交汇点设计试题”这一命题思想动身，还应当注意与平面对量、函数、导数、不等式、数列等相结合的解析几何问题。其次部分立体几何一、考纲解读1．驾驭平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图。能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形。能够依据图形想象它们的位置关系。2．驾驭两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理，驾驭两条直线所成的角和距离的概念，理解异面直线的距离。3．驾驭直线和平面平行的判定定理和性质定理。驾驭直线与平面垂直的判定定理和性质定理。驾驭斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念。驾驭三垂线定理及逆定理。4．驾驭两个平面平行的推断定理和性质定理。驾驭二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念。驾驭两个平面垂直的判定定理和性质定理。5．了解多面体、凸多媒体的概念，了解正多面体的概念。6．了解棱柱的概念，驾驭棱柱的性质，会画直棱柱的直观图。7．了解棱锥的概念，驾驭正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图。8．了解球的概念，驾驭球的性质，驾驭球的表面积、体积公式。二、近三年立体几何试题状况年份2006年2007年2008年卷型类别题号题号题号全国卷Ⅰ理科7，13，197，16，1911，16，18文科9，14，197，15，1911，16，18全国卷Ⅱ理科7，15，197，15，1910，12，16，19文科7，14，207，15，208，12，16，19三、2008年立体几何考查的学问全国1卷11题三棱柱中求线面所成角理科16题文科16题三棱锥中求异面直线所成角三棱锥中求点到平面的距离理科18题、文科18题四棱锥中(1)证明线线垂直；(2)求二面角。但理科、文科在第2问上给出的条件不同全国2卷（云南）文科8题：理科10题：求正四棱锥的体积；正四棱锥中求异面直线所成角。12题球的有关性质和计算16题平行六面体的概念和性质，考查合情推理和类比思想，考查充要条件等学问.理科19题、文科20题正四棱柱：(1)证明线面垂直；(2)求二面角。四、2008年全国2卷（云南）立体几何试题分析文8：正四棱锥的侧棱长为，侧棱与底面所成的角为，则该棱锥的体积为（）A．3 B．6 C．9 D．18理10：已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是的中点，则所成的角的余弦值为（）A． B． C． D．理12·文12：已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（）A．1 B． C． D．2图2图2图2图1图2图2图2图1理16·文16：平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件①；充要条件②．(写出你认为正确的两个充要条件)本题是一道开放题，依据平行六面体的定义：底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体，因此考生可以很简单地写出一个充要条件：底面是平行四边形．另外还可以写出其他一些充要条件，如：两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点.19·文20如图，正四棱柱中，，点在上且．ABCDEA1BABCDEA1B1C1D1FHGABCDEA1BABCDEA1B1C1D1FABCDEA1B1C1D1图3图4

图3图4图2图1图2图1五、备考策略（一）课本上的概念和公理、定理、推论是解决问题的基础对公理、定理、推论，要理解其语言文字的含义，会画出符合条件的图形，会用数学符号表达，能给出定理、推论有关的证明并知道其用途-----“口里说着语言（叙述），心里想着空间图形（直观），手里写着数学符号（抽象）”图3例1.(07湖北)平面外有两条直线和，假如和在平面内的图3射影分别是和，给出下列四个命题：①； ②；③与相交与相交或重合；④与平行与平行或重合其中不正确的命题个数是（）Ａ1 Ｂ2 Ｃ3 Ｄ4例2.(07浙江)若是两条异面直线外的随意一点，则（）Ａ.过点有且仅有一条直线与都平行Ｂ.过点有且仅有一条直线与都垂直Ｃ.过点有且仅有一条直线与都相交Ｄ.过点有且仅有一条直线与都异面例3.(07江苏)已知两条直线，两个平面给出下面四个命题：①，；②，，；③，；④，，其中正确命题的序号是（）Ａ①、③ Ｂ②、④ Ｃ①、④ Ｄ②、③（二）课本上的例题、习题、复习题所运用的方法是解决问题的基本方法课本上的习题、例题的解决，采纳的是常规方法，就是我们常说的通性通法，同时也给我们解决问题的规范，应引起足够的重视，复习时不能把课本束之高阁。例4.三个平面两两相交,求证:这三条交线交于一点或相互平行分析:两条直线有三种位置关系(平行、相交、异面），三条直线之间应有种关系，全部列出来在解除25种是相当繁杂，为此，可先考虑两条直线的位置的关系即降维思索。例5.两条平行线与同一平面所成角相等分析：直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线在平面外；直线在平面外又分平行与相交；相交又分斜交和垂直，故细分应有4种状况。两条直线与一个平面的位置关系应有种，列出来再排出亦是繁杂，可先考虑一条直线与平面的位置关性。（三）作协助线或协助平面经常要用到线段的中点纵观历年高考题，立体几何试题的设置大多与中点有关，其主要缘由是中点联系了平行与垂直的关系。常用到平面几何中定理：定理1：三角形中位线性质定理2：等腰三角形底边上的中线、高线、垂直平分线重合。在解答立体几何问题时，敏捷应用上述定理，可起到事半功倍的作用。例6．若线段所在直线是异面直线，分别是的中点。求证：（四）驾驭空间求距离、求角的基本方法1．求空间距离，以求点到直线的距离为主，主要有干脆法、体积法、向量法等2．求异面直线所成的角，主要是平移法，解三角形（正、余弦定理）；求直线与平面所成的角，关键是作出垂线，找到射影，再解三角形；求二面角的大小，关键找到二面角的平面角或面的法向量（五）如何突破立体几何大题------向量法1、建系；2、求点的坐标；3、求法向量常用向量解决的问题：=1\*GB3①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，其中，则点B到平面的距离为.=2\*GB3②利用法向量求二面角的平面角定理：设分别是二面角中平面的法