机械故障诊断学钟秉林第章动态系统特性的时域

第3章动态系统特性的时域分析

概述

随机过程和时间序列

时间序列的统计分析

线性时间序列模型及其应用

工况状态变化趋势性模型分析机械故障诊断理论与方法2023/5/21特征分析的目的：去伪存真去粗取精特征分析的手段：时域频域及其各种变换域时频域1、概述2023/5/22涉及：数字信号处理、概率论与数理统计、随机过程、时间序列分析、信息理论、图像处理及人工智能等

随机过程的基本概念：实现、随机过程、随机变量2、随机过程和时间序列2023/5/23

实现(Realizaition)：在时间t∈T范围内，每进行一次实验所得的观测结果，称为一次实现。多次实现记为若为一次实现简记为，离散数据序列通常都是一次实现，简记为。2、随机过程和时间序列2023/5/24

随机过程(Stochasticprocess)：在时间t∈T范围内，k次实验的总体—样本函数称为随机过程。其中，离散数据序列记为2、随机过程和时间序列2023/5/25

随机变量(Stochasticvariable)：每次实现的观测值称为随机过程在该时刻的随机变量。每次观测到的结果是不相同的，它表明了随机过程的观测值不能重复（重要事实）实现、随机过程、随机变量三者的关系样本空间上的随机变量2023/5/26

随机变量的分布函数随机变量xt的分布函数：若存在非负函数p(x)，使得x0时：对任意的x(-,+)成立，则称p(x)为随机变量

xt的概率密度函数。正态分布的概率密度函数：2023/5/27

随机过程的数字特征

随机过程在各时刻对应的随机变量的联合概率密度函数可以完整地描述随机过程的性质。但对于工程领域中的随机过程，其各时刻随机变量的概率密度函数以及过程本身的联合概率密度函数通常难以确定，因此有必要引入随机过程的某些数字特征进行描述。2023/5/2800

mstt+mstt-xtmt903060120150时间t0.80.60.40.2-0.2-0.4-0.8xt

均值与方差2023/5/29意义：随机变量的均值反映了的随机变化中心，方差则反应了随机变量不同的样本函数对均值的平均偏离程度。k阶原点矩

k阶中心矩

矩函数2023/5/210由定义可见，随机变量的均值即为一阶原点矩，方差即为二阶中心距。自相关函数（系数）

自协方差函数和自相关函数自协方差函数2023/5/211二元对称工程中，通常对随机变量进行零均值处理，此时：

高阶自协方差函数和高阶自相关函数2023/5/212平稳过程：随机过程的分布函数或概率密度函数(若存在)不随时间t的变化而变化。

平稳随机过程及其性质严平稳过程：和与t无关。2023/5/213宽平稳随机过程条件：一般，随机过程的严平稳性与宽平稳性没有确定的因果关系，严平稳性条件通常较宽平稳性条件严格，若严平稳过程具有二阶矩，则其也必为宽平稳过程。特别地，对于正态随机过程，严平稳与宽平稳相互等价。

2023/5/214①均值：

②二阶原点矩：

③自协方差：

具有遍历性的随机过程必为平稳过程；但平稳过程未必是遍历的；遍历性是工程信号统计分析方法的基础。

平稳随机过程的遍历性

所谓随机过程的遍历性，通俗地说，就是：

在下标集T上，随机过程按其分布函数遍历其所有的可能状态。对遍历性随机过程而言，过程的集合平均等于其任何一个样本在时间T上的平均2023/5/2153、时间序列的统计分析统计分析：基于时间序列的平稳性和遍历性假设，根据观测样本对时间序列的各种数字特征或分布函数作出某种切合实际的估计。时间序列：按时间顺序排列的一组数据。在时间序列分析领域，通常指一组时间或空间有序的随机数据，为深入分析，偶尔也涉及确定性数据。2023/5/216

均值和方差估计

自协方差（相关）函数估计

高阶自协方差（相关）函数估计2023/5/217设为平稳遍历时间序列的观测样本K值可正可负

偏度系数和峭度系数012345-1-2-3-4-500.10.20.30.40.5p(x)g111＜0gg＞0=0x偏度系数：2023/5/218012345-1-2-3-4-500.20.40.60.8g23>g23<g23=xp(x)峭度系数：2023/5/219

概率密度函数的估计xx+x0x(t)t1t2t3t4tT0xp(x)2023/5/220区间的死数目：202娱3/4册/25214、线性时滥间序列模至型分析及耍其应用动态过计程十分挂复杂，升从观测惹数据不拍能直接刚分析系袖统的变境化规律数学模侵型。动态过程窄状态的变馒化，反映更在其数学模型的结构垄、参数谦和特征完函数的相变化。模型可以韵用于对系泄统的未来造状态和发勉展趋势进狮行预报和控熟制。研究动态判系统时域起模型是工况监陕视与故逃障诊断的重要方赚法和手段卷之一根据观测寻值直接建旨模,无需知按道系统输入和传递函数202递3/4傅/25224.1时间序饺列模型玩的结构逐特征观测数搭据特点(机械设备宫运行中)动态过程望是随机过引程系统的垄输入无振法确知机械系够统相互扒耦合时间序列摔模型（tim巾es讲eri诉es碰mod怠eli圣ng）时间序钟列数据猛有一个歪时间上旧的顺序是指仅秩用它的过去值及随机扰动米项所建立阻起来的模型，其一般猜形式为Xt=F(Xt-1,Xt-2,…,t)建立具体讨的时间序薄列模型，贯需解决如贫下三个问芝题：(1)模型的具技体形式(2)时序变量写的滞后期(3)随机扰旺动项的读结构2023网/4/2拍5234.2时间序列长建模方法主要时搏序模型自回归序滑动平偷均模型(ARM板A模型):平稳正态双线性淡模型:门限自肌回归模争型:非线性远自激振椒荡指数自钥回归模物型:复现非线并性现象状态依接赖模型:预处理平稳性检壳验正态性晓检验随机趋势欲检验和处加理202悄3/4页/25244.3自回归过闹程(Au旋to-雁reg捷res除siv硬em龄ode壳l,娘AR)如果一芹个随机舒过程可晓表达为其中Фi,i=1,健…n是自回砍归参数陈，ut是白噪励声（指功帝率谱密丙度在整仆个频域龄内均匀庆分布的忍噪声币）过程，叉则称xt为n阶自回归民过程，用AR(n)表示。xt是由它的n个滞后变样量的加权著和以及ut相加而成隆。若用滞后刃算子表示其中丝式称为特征蛛多项式或弹自回归算抢子。202耕3/4萌/2525与自回归错模型常联钻系在一起晴的是平稳性问题。对端于自回归辜过程AR(p)，如果浙其特征活方程的所有根俊的绝对值储都大于1，则AR(n)是一个平信稳的随机却过程。AR(n)过程中最冈常用的是AR(1阳)、AR(2丧)过程，xt=1xt-1+ut保持其平面稳性的条抗件是特征方程(1-1B)=耻0根的绝违对值必竖须大于1，满足|1/1|1，也就是丝式：|1|<凳1202芳3/4邮/2526定义后轮移算子B：线性时季间序列崇模型——ARM疯A(n,m)模型ARM反A：Auto危regR关essi盏veM佣ovin硬gAv矮erag峰e自回归滑李动平均模宴型:适于平稳望正态过程2023业/4/2大527q(B)(B)atxt则：自回归AR(n)模型：滑动平痛均MA(m)模型：建立ARMA模型的条设件：时间序列召平稳、线包性ARM甘A(n拌,m)序列{xt}可以视为纤一个传递课函数为冲的系统在报白噪声序桥列{at}激励下的图响应2023纵/4/2肠5284.4内N阶连续忽系统微段分方程传递函搏数：离散系统似：差分方匙程：传递函数秒：2023洪/4/2执529ARM源A(n,m)模型的稳姓定性及其牢特性函数ARM永A模型：算子方程弓：特征方没程：设算子栏方程有n个根，且健没有重根绒，不失一横般性，令本：2023袜/4/2油530一般在耽工程中巷滑动平器均部分绣的阶数该总是小枪于自回姿归部分盘，故有洽：物理不扎可实现202哀3/4罩/2531从工程应健用来看，稿只有当k=n，且|i|>1，即|i|<1时，系百统物理胳可实现率。即系碗统物理斩可实现右的条件拘为算子方程造的根i位于复平览面的单位厦圆外，或垦特征方程众的根i位于复搂平面的议单位圆筋内，此灰即系统婆稳定的桌充要条钳件。此时：离散卷激积202序3/4汗/2532格林(Gr济een锦)函数令输入为单究位脉冲：上式表明杆，Gj是系统对t＝0时刻作用捏于系统的单位脉间冲所产生的纤响应序列库。称之为格林函数降。它的最大优调点是可以利邀用输出数菊据建模求虾得，在生逃产条件下尾容易实现级，可以在央线进行。202截3/4稍/2533对渐近稳定的系统，卸必然有：ARMA(n,m)模型的格解林函数：202言3/4形/2534在许多工吐程问题中恶，n>m,如果AR部分具夫有n个不相和等的特样征根，则：格林函取数：202钥3/4味/2535自协方贿差函数与格林函数的关系2023节/4/2撞5364.5自协方差灭函数的估愤计检测数据新是有限的,只能从有善限长度的墓样本值{xt}来求自协拾方差函数垃的估计值棕和自相关膨函数:自协方纸差函数:202动3/4苹/2537AR(n)、MA(m)、ARMA裕(n,m)模型的跟估计方茅法较多缘瑞，大体上分刷为3类：（1）最小二王乘估计；（2）矩估卡计；（3）利用自炊相关函数雄的直接估纷计。结构阶数模型识别确定估计参数4.6时间序忽列模型狸的估计202稻3/4圾/2538五、工况惜状态变化后趋势性及释其预报时间，t时间，t时间，t时间，tx(t)x(t)x(t)x(t)线性趋势多项式趋势衰减的周期趋势多项式与周期趋势发现隐含置趋势的形汉成和发展,预知工况梯状态的变炉化2023惊/4/2夕539时间序列土的典型趋洽势性适用于含确定却性趋势左序列的组合模怒型非平稳是观测时强序确定性显趋势序弱列平稳随机戚序列202帽3/4沃/2540适用于古含随机趋势惭序列的ARI虚MA(自回归-求和-滑动平蚂均)模型ARI辩MA型季节性乘霸积模型：踏特征多项冶式含有形幼如到的感因子，或瓣者说，这霞类模型具桐有一个或你多个分布诊在单位圆上岂的特征根。随机季畏节性趋竖势,适于季住节性变登化趋势随机多宁项式趋厚势,适于多项式变徒化趋势2023心/4/2愉541平稳时间社序列的预疯报:从现在和眨过去的行槐为预测其夹未来发展帐趋势tt+llttxltx+)(let)tx过去未来现在实际数据曲线)(lxt)95%置信限95%置信限202恭3/4烂/2542时间序列削预报的出锤发点是使升预报误差均方捐值达到最唐小。并称相浙应的预冷报值为平稳线性陶最小方差她预报。2023成/4/2汇543上式中，A部分包而含了未类来时刻爷的白噪标声at+l,at+l-1,at+l-2,…,at+1，在当前歼时刻t无法对未骨来的白噪径声进行预眠测，即A属于不搏可预测裁部分。而B部分所含且的白噪声输均为确定革的、可以乐计算的。杨因此，B部分即为xt+l的预报值。易见，向得前l步的预辰测误差反为未来l个白噪真声的线渡性组合决。预测尘误差方乞差为：2023鬼/4/2鸟544可以证炎明上述预报夺结果为最小方锅差预报。易见，向畜前l步的预报租误差仅与坏预报步距l有关，擦而与预