第七章 非线性系统的分析

第七章非线性系统的分析第1页，共77页，2023年，2月20日，星期三7.1基本概念系统的非线性程度比较严重，无法用小范围线性化方法化为线性系统，称为非线性系统。有两种情况:（1）系统中存在非线性元件；（2）为了某种控制目的，人为引进的非线性。一、非线性系统的特点1、线性系统的稳定性和零输入响应的性质只取决于系统的结构、参数，而和系统的初始状态无关。非线性系统的稳定性和零输入响应的性质不仅取决于系统的结构、参数，而且与系统的初始状态有关。第2页，共77页，2023年，2月20日，星期三2、线性系统只有两种基本运动形式：发散（不稳定）和收敛（稳定）。非线性系统除了发散和收敛两种运动形式外，即使无外界作用，也可能会发生自持振荡，这是非线性系统独有的现象。3、在正弦输入下，线性系统的输出是同频率正弦信号。非线性系统在正弦输入下，输出是周期和输入相同、含有高次谐波的非正弦信号。4、线性系统分析可用迭加原理，在典型输入信号下系统分析的结果也适用于其它情况。非线性系统不能应用迭加原理，没有一种通用的方法来处理各种非线性问题。对非线性系统分析研究的重点是：（1）系统是否稳定；（2）有无自持振荡；（3）若存在自持振荡，确定自持振荡的频率和振幅；（4）研究消除或减弱自持振荡的方法。第3页，共77页，2023年，2月20日，星期三自持振荡第4页，共77页，2023年，2月20日，星期三二、典型非线性系统及对系统性能的影响1、死区非线性伺服电机的死区电压（启动电压），测量元件的不灵敏区等都属于死区非线性特性。由于有死区特性存在，将使系统产生静态误差，特别是测量元件的不灵敏区影响最为突出，且用提高增量的方法也无法消除。

当x(t)>0时，sgnx(t)=+1；当x(t)<0时，sgnx(t)=-1

a为死区宽度，k=tgβ斜率第5页，共77页，2023年，2月20日，星期三2、饱和非线性常见于放大器中，在大信号作用下，放大倍数小，因而降低了稳态精度。

在控制系统中若存在饱和特性，将使系统在大信号作用下的等效放大倍数降低，从而引起瞬态过程时间的延长和稳态误差的增加。对于条件稳定系统，甚至可能出现小信号时稳定，而大信号时不稳定的情况。当x(t)>0时，sgnx(t)=+1；当x(t)<0时，sgnx(t)=-1

a为线性区宽度k为线性区特性的斜率k=tgβ第6页，共77页，2023年，2月20日，星期三3、间隙非线性齿轮传动的齿隙特性，液压传动的的油隙特性、铁磁元件的磁滞现象等均属于这类特性。间隙非线性特性包含了死区非线性、饱和非线性、回环非线性等多种非线性因素。当系统中有间隙特性存在时，将使系统输出信号在相位上产生滞后，从而使系统的稳定裕度减少、稳态误差增大、动态特性变坏，相对稳定性变差。

间隙的存在常常是系统产生自持振荡的主要原因。a为间隙宽度k为线性输出特性的斜率，k=tgβ第7页，共77页，2023年，2月20日，星期三4、继电器特性继电器特性中包含了死区、回环和饱和特性，因此对系统的稳态性能、暂态性能和稳定性都有不利影响。a—继电器吸合电压

ma—释放电压

M—饱和输出

由于继电器元件在控制系统中常用来作为改善系统品质的切换元件，因此继电器特性在非线性系统的分析中占有重要地位。第8页，共77页，2023年，2月20日，星期三m=1单值继电器m=-1仅含滞环的继电器m=a=0理想继电器特例第9页，共77页，2023年，2月20日，星期三5.变放大系数特性

变放大系数特性使系统在大误差信号时具有较大的放大系数，系统响应迅速。而在小误差信号时具有较小的放大系数，使系统响应既缓且稳。具有这种特性的系统，其动态品质较好。第10页，共77页，2023年，2月20日，星期三其它类型非线性第11页，共77页，2023年，2月20日，星期三三、非线性系统的分析和设计方法1.相平面法相平面法是求解一阶或二阶非线性系统的图解法。这种方法既能提供的稳定性信息，又能提供时间响应信息。其缺点是只限于一阶和二阶系统。2.描述函数法

描述函数法是基于频率域的等效线性化方法。该法不受系统阶次的限制，但系统必须满足一定的假设条件，且只能提供系统稳定性和自激振荡的信息。3.波波夫法波波夫法是一个关于系统渐近稳定充分条件的频率域判据。它可以应用于高阶系统，并且是一个准确判定稳定性的方法。第12页，共77页，2023年，2月20日，星期三7.4描述函数描述函数法是达尼尔(P．LDaniel)于1940年首先提出的，其基本思想是：当系统满足一定的假设条件时，系统中非线性环节在正弦信号作用下的输出可用一次谐波分量来近似，由此导出非线性环节的近似等效频率特性，即描述函数。这时非线性系统就近似等效为一个线性系统，并可应用线性系统理论中的频率法对系统进行频域分析。第13页，共77页，2023年，2月20日，星期三描述函数法主要用来分析在无外作用的情况下，非线性系统的稳定性和自振荡问题，并且不受系统阶次的限制，一般都能给出比较满意的结果，因而获得了广泛的应用。但是由于描述函数对系统结构、非线性环节的特性和线性部分的性能都有一定的要求，其本身也是一种近似的分析方法，因此该方法的应用有一定的限制条件。另外，描述函数法只能用来研究系统的频率响应特性，不能给出时间响应的确切信息。第14页，共77页，2023年，2月20日，星期三

总之：

1、描述函数是非线性特性的一种线性近似方法。它是线性系统理论中的频率特性法在一定假设条件下，在非线性系统中的应用。

2、它主要用来分析非线性系统的稳定性，以及确定非线性系统在正弦函数作用下的输出响应特性。应用这种方法时非线性系统的阶数不受限制。

3、描述函数的最基本思想是用输出信号中的基波分量来代替非线性元件在正弦输入信号作用下的实际输出。

第15页，共77页，2023年，2月20日，星期三N(A)G(s)r(t)=0x(t)y(t)c(t)-非线性系统方框图如下：系统由两部分组成：N(A)代表非线性元件，G(s)代表线性部分。对线性环节G(s)的要求：①最小相位传递函数；②具有较好的低通滤波特性。对非线性环节的要求：①非线性特性与时间无关；②非线性输出可以只考虑基波分量。③非线性环节具有奇对称性上述要求的目的使分析简化，一般系统均能满足。第16页，共77页，2023年，2月20日，星期三虽然非线性控制系统的参考输入r(t)=0，但是系统在干扰信号的激励下，非线性元件的出信号y(t)将是一个非正弦的周期函数，若满足傅氏分解条件，可分解为直流分量y0(t)、一次谐波分量y1(t)、二次谐波分量y2(t)、…，其幅值取决于y(t)中各谐波分量的大小及系统线性部分的频率特性G(jω)。

很多非线性元件的特性是奇对称的，则y(t)中的直流分量y0(t)=0。G(jω)一般具有良好的低通性能，因此，y(t)中的高次谐波幅值不大，略去这些较小分量，得到y(t)≈y1(t)。一次谐波分量又称为基波分量。因此，非线性的输出可只考虑基波分量y1(t)起作用，从而引出描述

函数的定义：第17页，共77页，2023年，2月20日，星期三式中由于y的高次谐波幅值小于基波幅值，且系统的线性部分具有低通滤波性质，可以假设只有基波分量起作用，而将高次谐波忽略不计。设非线性环节的输入为：输出y(t)可以展开成下列傅氏级数：第18页，共77页，2023年，2月20日，星期三设非线性特性为对称型，则傅氏级数中的直流分量y的基波为：假设非线性系统满足上述条件，则：第19页，共77页，2023年，2月20日，星期三

非线性特性的描述函数定义为：输出的基波分量y1(t)与正弦输入信号x(t)的复数比：这是一个复函数，模为输出基波幅值与输入幅值之比，相角是输出基波对输入的相位移。

描述函数N(X)表示了当X为正弦信号时，输出基波分量与X在幅值和相位上的关系，类似于线性环节的频率特性。一、描述函数的定义第20页，共77页，2023年，2月20日，星期三二、典型非线性特性的描述函数1、饱和非线性的描述函数当输入信号为正弦信号：则输出为：第21页，共77页，2023年，2月20日，星期三第22页，共77页，2023年，2月20日，星期三非线性环节的输出基波分量为：因此，饱和特性的描述函数为：显然，只有当X>a时研究饱和特性才有意义。第23页，共77页，2023年，2月20日，星期三对于饱和特性，习惯上将称为相对描述函数。两者之间关系为：将其写成与线性系统中幅相频率特性类似的形式：负倒相对描述函数定义：简称“负倒幅相特性”第24页，共77页，2023年，2月20日，星期三式中：第25页，共77页，2023年，2月20日，星期三

这里需要注意：描述函数虽然可以写成与频率特性类似的形式，但其变量不是频率，而是非线性特性的参量及输入正弦信号的振幅。在图7-5-2所示的负倒幅相平面上，当X/a=1时，特性曲线从(-1，j0)点开始，随着X/a增大，特性曲线负实轴向左延伸，当X/a—∞,特性曲线伸向负无限远处。饱和特性的负倒幅相特性为：第26页，共77页，2023年，2月20日，星期三

与线性系统的对数频率特性类似，也可以绘制负倒对数幅相特性，如图7-5-3所示。中横坐标是变量X／a，并按对数分度。表示幅值的纵坐标是分贝值，表示相角的纵坐标位为度。如将非线性特性的描述函数视为复数增益，则饱和特性的描述函数是一个实数增益，值总小于1，或者说饱和特性的增益总是小于其线性段的增益K0，随着输入信号幅值增加，其等效增益愈低。第27页，共77页，2023年，2月20日，星期三2、死区非线性的描述函数具有死区特性的非线性环节如图7-5-4所示。当输入为正弦信号：输出信号为：第28页，共77页，2023年，2月20日，星期三根据（7-4-14）可以得到：由于：所以：第29页，共77页，2023年，2月20日，星期三死区特性的相对描述函数为：负倒相对描述函数为：第30页，共77页，2023年，2月20日，星期三表７-５-２列出了死区特性的负倒相对描述函数的幅值、相角与变量Ｘ／ａ之间的数值关系。第31页，共77页，2023年，2月20日，星期三图7-5-5是死区特性的负倒幅相特性，当X/a=１时，它起始于负实轴上无限远处，随着X/a增加，它沿着负实轴趋向于(-1,j0)点.第32页，共77页，2023年，2月20日，星期三图7-5-6是死区特性的负倒对数幅相特性第33页，共77页，2023年，2月20日，星期三间隙特性的描述函数为：第34页，共77页，2023年，2月20日，星期三继电器特性的描述函数为：第35页，共77页，2023年，2月20日，星期三１、m=12、m=-1第36页，共77页，2023年，2月20日，星期三3、理想继电器特性(7-5-18)式（7-5-18)说明理想继电器特性的负倒相对幅频特性是以X/M为变量，完全与负实轴重合的直线。第37页，共77页，2023年，2月20日，星期三7.5非线性环节的串、并联及系统的变换用谐波平衡法分析非线性系统须使系统具有如图所示结构形式。通常的情况是系统结构较为复杂，例如有多个非线性环节串联或者并联于系统线性环连接点处，为便于应用描述函数法，就须将系统变换成如上图所示典型结构形式。由于谐波平衡法只分析含有数种典型非线性环节的系统是否存在自持振荡，而不去详细研究非线性系统在不同输入下的响应及系统内部各处的状态，可以令输入信号为零，在不改变系统信号传递规律的前提下，进行系统简化和变换。N(A)G(s)r(t)=0x(t)y(t)c(t)-第38页，共77页，2023年，2月20日，星期三图7-5-1是多个线性环节和一个非线性环节组成的非线性系统。如将汇合点移动之后，最后可以变换为如图7-5-1c所示系统。由于感兴趣的只是分析非线性系统是否存在自持振荡，则实际上图7-7-1c中最后一个线性环节1／G3(s)是不必要的，亦即此非线性系统中的线性环节集中后的传递函数应是:一、系统线性部分的变换与集中图7-5-1非线性系统中线性部分的变换与集中第39页，共77页，2023年，2月20日，星期三R(s)=0非线性环节被线性环节包围的情况第40页，共77页，2023年，2月20日，星期三线性环节被非线性环节包围的情况R(s)=0第41页，共77页，2023年，2月20日，星期三二、非线性环节串联的特性两个非线性环节串联，与线性环节串联的性质类似，前一环节的输出为后一环节的输入，图7-5-2给出了两个非线性环节串联组成的情况。图7-5-2两个非线性环节串联y1x2第42页，共77页，2023年，2月20日，星期三y1根据前述串联的原理，可以用作图方法求得串联后的非线性特性，如图7-5-3所示。图7-5-3环节串联由图不难看出，死区参量：线性部分增益：饱和值：第43页，共77页，2023年，2月20日，星期三等效非线性的不灵敏区：输出为：M描述函数为：第44页，共77页，2023年，2月20日，星期三三、非线性环节并联的特性图7-5-4表示两个非线性环节的并联情况，如输入为x，则输出为y=y1+y2，这与线性环节并联情况一样。两个非线性环节并联后的等效非线性特性将因两个环节的死区参量a1和a2不同而有差异。当a1<a2时，两环节并联后的等效非线性特性如图a所示。图7—7-4两个非线性环节的并联第45页，共77页，2023年，2月20日，星期三当al=a2=a时，两环节并联后的等效非线性特性如图b所示。第46页，共77页，2023年，2月20日，星期三当a1>a2时，两环节并联后的等效非线性特性如图c所示。第47页，共77页，2023年，2月20日，星期三7.6非线性系统的谐波平衡法分析和相平面法不同，谐波平衡法对非线性环节进行谐波线性化处理，允许线性部分是任意阶次。非线性系统的特征方程为：即：第48页，共77页，2023年，2月20日，星期三如果满足上式，表示与有交点，此时非线性系统将出现自持振荡，这相当于线性系统的极坐标图在复平面中穿过（-1，j0）点。将非线性的负倒幅特性和线性部分的极坐标图绘制在一个复平面中，根据二者的相对位置可分析非线性系统的稳定性。一、非线性系统稳定第49页，共77页，2023年，2月20日，星期三三、非线性系统产生自持振荡图示系统在a点产生稳定的自持振荡。由交点可确定自持振荡的频率和幅值。二、非线性系统不稳定第50页，共77页，2023年，2月20日，星期三例题1

非线性系统方框图如图所示，问：系统稳定与否？若产生自持振荡，试确定自持振荡的频率和振幅。解：理想继电器的描述函数为：在M=1的情况下，理想继电器的负倒幅特性为：当A=0时，；当A=∞时，所以特性为整个负实轴第51页，共77页，2023年，2月20日，星期三系统线性部分的频率特性为：令得（1）带入（1）式得：的交点有：即：-1.67第52页，共77页，2023年，2月20日，星期三由上述乃奎斯特稳定判据判断非线性系统的稳定性和确定系统是否存在自持振荡的结论可知，系统产生稳定的自持振荡，振荡频率和振幅分别为：例2具有饱和非线性的控制系统如下图所示，试分析系统的稳定性；为了使系统不产生自持振荡，系统应该如何调整？解：饱和非线性的描述函数为：式中K=2,s=1，则：第53页，共77页，2023年，2月20日，星期三起点为A=1时，当时因此曲线位于-0.5~-∞这短负实轴上。系统线性部分的频率特性为：令即得曲线与负实轴焦点的频率为：第54页，共77页，2023年，2月20日，星期三代入求得曲线与负实轴交点为：1、将k=15代入上式，得：左图绘出了k=15时的曲线与曲线，两曲线交于（-1，j0)点，显然交点对应的是一个稳定的自持振荡，根据交点处幅值相等，得：第55页，共77页，2023年，2月20日，星期三求得与交点对应的幅值A=2.5。因此当k=15时，系统处于自持振荡状态，振幅为A=2.5,频率为2、欲使系统稳定地工作，不出现自持振荡，由于G(s)极点均在s平面左半部分，根据乃氏判据，非线性系统稳定性和确定系统是否存在自持振荡的结论，应该使曲线不包围曲线既：故k的临界值为：因此为了使系统不产生自持振荡而稳定工作，系统的k值最大调整到7.5第56页，共77页，2023年，2月20日，星期三例3有继电控制系统如图所示.线性部分的传递函数为:为使系统不产生自振,试用描述函数法确定继电特性参数h,M的值.提示:继电特性描述函数为第57页，共77页，2023年，2月20日，星期三解:描述函数：第58页，共77页，2023年，2月20日，星期三可以求得第59页，共77页，2023年，2月20日，星期三即和实轴交点为。为使系统不产生自持振荡，应使和两曲线无交点。所以有：第60页，共77页，2023年，2月20日，星期三7.7利用非线性特性改善系统的性能

在线性系统中，为了提高系统稳定精度则希望增大系统的开环放大系数，或者在系统的开环传递函数中增添s=0极点，但由此可能导致系统的相对稳定性能降低，使暂态性能恶化；又如，在暂态性能中，响应的快速性与超调量之间也有矛盾。因此，在系统设计时，往往采取折衷方案。但是，如果人为有目的的地在线性系统中加入某些非线性环节，却有可能使系统的性能大幅度地提高，以达到单纯线性系统根本无法实现的预期效果。第61页，共77页，2023年，2月20日，星期三开环传递函数为闭环传递函数为

1.具有微分反馈的二阶系统

第62页，共77页，2023年，2月20日，星期三开环传递函数为闭环传递函数为

2.当未引入局部微分反馈（β=0）时

曲线①为未引入微分反馈时系统的阶跃响应，超调量过大。曲线②为引入微分反馈后系统的阶跃响应，虽无超调，但响应过慢。曲线③则较为理想，即输出口向应能较快地跟踪输入，同时又无超调。

加入输出微分反馈后，相当于使系统的阻尼比增大了。第63页，共77页，2023年，2月20日，星期三若在输出微分反馈通道中引入一个非线性特性环节，如图所示，就可以实现上述要求。此非线性环节有两个输入，一个是系统的输出c(t)，另一个输入则是系统的误差e(t)。此非线性环节具有以下特性：即当与输出c(t)成比例的信号小于与误差e(t)成比例的信号时，此环节无输出；当与输出c(t)成比例的信号大于与误差e(t)成比例的信号时，则此环节有输出，且输出与系统的输出c(t)成比例。特性：Kcc(t)<Kee(t)时，N(·)=0Kcc(t)>Kee(t)时，N(·)∝c(t)第64页，共77页，2023年，2月20日，星期三

此非线性环节具有死区特性，但又不是一般的死区特性，而是其死区大小随系统的误差信号成比例变化的死区特性。此非线性环节的原理图如下图所示。第65页，共77页，2023年，2月20日，星期三图中Ke和Kc分别是两输入端的比例系数。检测的误差信号e(t)经过比例环节Ke后加于桥式整流器，整流器输出则加于电位器两端，由于有两个二极管隔离，故与e(t)成比例的信号不可能输出，只是在电位器上形成与e(t)成比例的电位。从系统输出端检测到的信号c(t)，经比例器Kc后，再经过二极管加于电位器的滑动点上，只有当加于电位器滑动点之与c(t)成比例的信号超过加于电位器上与误差e(t)成比例的电位后，则有与系统输出c(t)成比例的信号输出到微分反馈环节的输入端。第66页，共77页，2023年，2月20日，星期三

在阶跃信号刚作用时，e(t)很大，c(t)很小，微分反馈环节不起作用，相当于系统传递函数中β等于零；随着时间推移，e(t)减小，c(t)增长，适当地整定此非线性环节的参数，可以在接近于稳态值时，使微分反馈环节具有输入信号，因而使系统处于附加有输出微分反馈的状态。曲线③

在线性系统中，正确地引入非线性特性能使系统的性能大为改善。

第67页，共77页，2023年，2月20日，星期三如果希望前述二阶系统有较高的稳态跟踪精度(即稳态误差很小)，同时又有较高的相对稳定性，就可以在系统中采用串联非线性校正装置，如图所示。第68页，共77页，2023年，2月20日，星期三

该串联非线性校正装置的原理图如图所示。此校正装置由电子运算放大器组成，在此有两点需要指出：第一，它使用的是同相输入端；第二，在其输出端附加了限幅电路，使其静特性成为饱和值可调的饱和特性。描述这一校正装置的传递函数可以求得。当放大器未处于饱和输出时，有：式中Ｋ为放大器增益第69页，共77页，2023年，2月20日，星期三令整理化简得：第70页，共77页，2023年，2月20日，星期三

（1）当运算放大器输出未达到饱和值时，K→∞

（2）当运算放大器输出达到饱和值时，K<<1系统开环传递函数