第三章一元函数积分学

第三章一元函数积分学第1页，共78页，2023年，2月20日，星期三2、

原函数设函数f的定义域为区间I,若存在I上的可微函数F,使F

(x)=f(x)(x∈I).则称F(x)为f在区间I上的一个原函数.注①:若f(x)在区间I上连续，则在下一章我们将知道f(x)在区间I上存在原函数.即：连续函数必有原函数.注②:若F(x)=f(x),则C∈R,有[F(x)+C]=F(x)=f(x).这就是说,若f(x)有原函数,则f(x)有无限多个原函数.

第2页，共78页，2023年，2月20日，星期三注③:若F(x)和G(x)都是f(x)的原函数,则[F(x)G(x)]

=F(x)G(x)=0.故F(x)G(x)为常数——f(x)的任两个原函数相差一个常数.这就是说,若f(x)有一个原函数F(x),则f(x)的其他原函数都可以写成F(x)+C,

其中C为某个常数.注④:设F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数.我们用{F(x)+C，C为任意实数}表示f(x)在区间I上的全体原函数.

第3页，共78页，2023年，2月20日，星期三3、

不定积分（1）

定义函数f(x)在区间I上的全体原函数称为f(x)在区间I上的不定积分.记为其中f(x)称为被积函数,f(x)dx称为被积表达式,x称为积分变量.若F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数，则=F(x)+C.其中C称为积分常数.注⑤:不定积分和原函数的区别与联系.

第4页，共78页，2023年，2月20日，星期三（2）d与的关系设F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数，则

由此可见，不计常数C，微分运算d与不定积分运算互为逆运算。

于是由基本导数公式，有基本积分公式.（3）基本积分公式积分公式微分公式

1）2），第5页，共78页，2023年，2月20日，星期三，，，3）4）5），，，，，，6）7）8）9）10）11），，12）13）第6页，共78页，2023年，2月20日，星期三（4）性质设f(x),g(x)有原函数,k1,k2∈R,则

特别地，1)设f(x有原函数,k∈R,则2)设f(x),g(x)有原函数,则第7页，共78页，2023年，2月20日，星期三例1.(1)

(2)(3)第8页，共78页，2023年，2月20日，星期三（5）引例的解决

1)xoy平面上一曲线过点（0，1），并在点(x,y)的斜率为ex-1，求此曲线。解答:设此曲线为y=f(x),则f’(x)=ex-1,f(0)=1因而得f(x)=ex-x.第9页，共78页，2023年，2月20日，星期三2)一质点在时刻t以速度v(t)=2t-1运动，求质点从初始时刻t=0到时刻t所经过的距离f(t)．解答:f’(t)=v(t)=2t-1,f(0)=0因而得f(t)=t2-t.第10页，共78页，2023年，2月20日，星期三二不定积分的换元积分法

1第一类换元积分法(凑微分法)设函数u=j

(x)可微,F(u)为f(u)的一个原函数,则例1.=F(u)+C=F[j(x)]+C.

第11页，共78页，2023年，2月20日，星期三例2.设a>0,则例3.设a≠0,则例4.

第12页，共78页，2023年，2月20日，星期三例5.例6.例7.例8.例9.

第13页，共78页，2023年，2月20日，星期三例10.例11.例12.=arctan(x+2)+C.

第14页，共78页，2023年，2月20日，星期三例13.例14.例15.

第15页，共78页，2023年，2月20日，星期三例16.例17.

第16页，共78页，2023年，2月20日，星期三例18.或=ln|tanx+secx|+C.=ln|tanx+secx|+C.

第17页，共78页，2023年，2月20日，星期三2第二类换元积分法

设f(x)连续,x=j

(u)有连续的导数,j

(u)≠0,且f[j

(u)]j

(u)的一个原函数为F(u).则事实上,思考

第一类换元积分法与第二类换元积分法的区别何在?=F(u)+C=F[j1(x)]+C.=f[j

(u)]=f(x).

第18页，共78页，2023年，2月20日，星期三例19.求下列不定积分.(1)解:(1)令则=2u2ln|1+u|+C(2)(2)令则=…

第19页，共78页，2023年，2月20日，星期三例20.计算下列不定积分(其中a>0).(1)解:令x=asinu,则

第20页，共78页，2023年，2月20日，星期三(2)解:令x=atanu,则(其中C=lna+C1).注②:本例中的代换方法称为三角代换.

第21页，共78页，2023年，2月20日，星期三三不定积分的分部积分法

1原理

d[u(x)v(x)]=u(x)dv(x)+v(x)du(x)_u(x)dv(x)=d[u(x)v(x)]v(x)du(x)_∫u(x)dv(x)=∫d[u(x)v(x)]∫v(x)du(x)=u(x)v(x)∫v(x)du(x).2举例(1)∫xcosxdx=∫xd(sinx)=xsinx+cosx+C.=xsinx

∫sinxdx

第22页，共78页，2023年，2月20日，星期三(2)∫(x2+x)exdx=(x2+x)ex

∫ex(2x+1)dx=(x2+x)ex

∫(2x+1)d(ex)=∫(x2+x)d(ex)=(x2+x)ex

∫exd(x2+x)=(x2+x)ex

(2x+1)ex+∫exd(2x+1)=(x2x1)ex+2∫exdx=(x2x+1)ex+C.[x2cosx+∫x2sinxdx],注意！

若∫xcosxdx[x2cosx∫x2d(cosx)]则积不出!

第23页，共78页，2023年，2月20日，星期三=(x2+x)lnxx2

x+C.

(3)∫(2x+1)lnxdx=∫lnxd(x2+x)=(x2+x)lnx∫(x2+x)d(lnx)=(x2+x)lnx∫(x+1)dxex(cosx+sinx)+C(其中所以∫excosxdx=移项得:2∫excosxdx=ex(cosx+sinx)+C1.=ex(cosx+sinx)∫excosxdx,=ex(cosx+sinx)∫exd(sinx)=excosx+∫exsinxdx(4)∫excosxdx=∫cosxd(ex)=excosx

∫exd(cosx)=excosx+∫sinxd(ex)

第24页，共78页，2023年，2月20日，星期三另解

∫excosxdx=∫exd(sinx)=exsinx

∫sinxd(ex)=exsinx

∫exsinxdx=exsinx+∫exd(cosx)=ex(cosx

+sinx)∫cosxd(ex)=ex(cosx+sinx)∫excosxdx,移项得:2∫excosxdx=ex(cosx+sinx)+C1.所以∫excosxdx=ex(cosx+sinx)+C(其中

第25页，共78页，2023年，2月20日，星期三(5)

n=1时，已在例18解决。n=2时，n>2时，取u=secn-1x,v’=sec2x分部积分。(6)第26页，共78页，2023年，2月20日，星期三补充例题课1．证明：

在（-1，1）上原函数不存在；2．设试确定常数A、B、K。3计算下列积分

第27页，共78页，2023年，2月20日，星期三

第28页，共78页，2023年，2月20日，星期三

已知的一个原函数是，求。

第29页，共78页，2023年，2月20日，星期三一定积分基本概念与性质

1.引例

1）

变速直线运动的路程2）变力作功

§2定积分3）曲边梯形的面积设y=f(x)∈C[a,b],且f(x)非负.计算曲线y=f(x)与x=a,x=b,以及x轴所围成的曲边梯形的面积A.Riemann[德](1826~1866)

第30页，共78页，2023年，2月20日，星期三(1)

分割:[a,b]=[x0,x1]∪[x1,x2]∪[x2,x3]∪…∪[xn-1,xn],其中x0=a,xn=b.Dxi=xi–xi-1(i=1,2,…,n)(2)

近似:取xi∈[xi-1,xi],DAi≈f(xi)Dxi(3)

求和:A=SDAi≈Sf(xi)Dxi(4)取极限:令=max{Dxi},

第31页，共78页，2023年，2月20日，星期三2

定积分的概念设函数f在区间[a,b]上有界,A∈R.任取一组分点a=x0<x1<…<xn-1<xn=b.在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点xi.记Dxi=xi–xi-1,=max{Dxi}.若无论怎样分割[a,b],怎样选取xi∈[xi-1,xi],都有则称f在区间[a,b]上可积,称A即f(x)称为被积函数,f(x)dx称为被积表达式,x称为积分变量,b,a分别称为积分上,下限,[a,b]称为积分区间.为f在[a,b]上的(黎曼)定积分,记为

第32页，共78页，2023年，2月20日，星期三注①:

→0则n→∞,但反之未必.注②:定积分与积分变量所用的符号无关,即注③:注④:f(x)在[a,b]上可积的充分条件:(i)f(x)∈C[a,b];(ii)f(x)在[a,b]上有界且只有有限个间断点;(iii)

f(x)在[a,b]上单调有界;(iv)g(x)在[a,b]上可积,f与g仅在有限多个点处的函数值不同.此时

第33页，共78页，2023年，2月20日，星期三注⑤:若已知f(x)在[a,b]上可积,则在按定义计算时,可选取特殊的分割和特殊的xi.例1.计算解:因为y=x2∈C[0,1],xi=xi(i=1,2,…,n).则所以x2在[0,1]上可积,取xy=x2Oy

第34页，共78页，2023年，2月20日，星期三例2.将极限表示成定积分.解原式例3.求曲线y=f(x)(x∈[a,b])绕x轴旋转一周所得旋转体的体积(其中f(x)在[a,b]上非负,可积).

第35页，共78页，2023年，2月20日，星期三解:任取一组分点a=x0<x1<…<xn-1<xn=b.将[a,b]分成n个小区间:[xi-1,xi].在区间[xi-1,xi]上任取一点xi.记Dxi=xi–xi-1,d=max{Dxi}.3.几何意义y=f(x)(x∈[a,b])的曲边梯形的面积.（1）

若x∈[a,b],f(x)0,则表示以曲线

第36页，共78页，2023年，2月20日，星期三（2）若x∈[a,b],f(x)0,则表示以曲线y=f(x)(x∈[a,b])的曲边梯形的面积的相反数.（3）若

f(x)在[a,b]上变号,则表示以曲线y=f(x)与直线x=a,x=b,以及x轴所围成的各块图形的面积的代数和.如:图中

第37页，共78页，2023年，2月20日，星期三4.

定积分的性质若f,g在[a,b]上可积,k1,k2∈R,则（2）

积分区间可加性若f在某区间I上可积,则f在I的任一子区间上可积,且a,b,c∈I,（1）

线性性质

第38页，共78页，2023年，2月20日，星期三（3）保序性若f,g在[a,b]上可积,且x∈[a,b],f(x)g(x),则推论:设f在[a,b]上可积.1)若x∈[a,b],f(x)0,则2)3)若x∈[a,b],mf(x)M,则

第39页，共78页，2023年，2月20日，星期三设f∈C[a,b],在[a,b]上的最大值为M,最小值为m.则从而故至少存在一点x∈[a,b]使即于是有如下定理:

第40页，共78页，2023年，2月20日，星期三（4）

积分中值定理若f∈C[a,b],则至少存在一点x∈[a,b]使积分中值或积分均值,它是有限个数的算术平均值的概念对连续函数的推广.注⑥:通常称为函数f在[a,b]上的注⑦:积分中值定理的几何意义:

第41页，共78页，2023年，2月20日，星期三二微积分学基本定理与基本公式1

变限的定积分（1）定义:设f(t)∈C[a,b],则x∈[a,b],f(t)在区间[a,x]上可积,于是有与之对应.由此得到一个函数称为变上限的积分所定义的函数.类似地,可以定义变下限的积分

第42页，共78页，2023年，2月20日，星期三（2）变上限积分所定义的函数的性质=(x+x)(x)=f()x.由f(x)的连续性得:类似地,由积分中值定理,界于x与x+x之间,使得x,x+x∈(a,b).(x)=f(x).设f(t)∈C[a,b],则函数[a,b]上连续可导,且(x)=f(x),x∈［a,b］.在区间

第43页，共78页，2023年，2月20日，星期三例1.设求(x).解:因为与u=x2复合而成的,是由所以(x)=f(u)u

=[ln(1+u)]2x=2xln(1+x2).例2.求解:由积分中值定理,存在界于x2与sinx之间,使=(x2sinx)ln(1+).因此这是一个0”“0型的极限.

第44页，共78页，2023年，2月20日，星期三所以

第45页，共78页，2023年，2月20日，星期三注:通常把F(b)F(a)记为例3.(1)(2)(3)(4)2.

微积分学基本公式若f(x)∈C[a,b],F(x)为f(x)在区间[a,b]上的一个原函数,则=

F(b)F(a).

第46页，共78页，2023年，2月20日，星期三例5.设其中f为连续函数,求f(8).解:因为f为连续函数,且所以f(x3)3x2=3.令x3=8得x

=2,f(8)=1/4.例6.设f为连续的偶函数,证明:F(x)=是奇函数.证明:[F(x)]

=F(x)=f(x)=f(x)=F(x).故存在常数C使得F(x)=F(x)+C.取x=0得C=F(0)

F(0)=0.因而F(x)=F(x),即F(x)是奇函数.

小结:函数、导函数、原函数基本特性之间的关系。第47页，共78页，2023年，2月20日，星期三三定积分的换元积分法设函数f∈C[a,b],函数x=j(u)满足下列条件:(1)j(a)=a,j(b)=b,(2)当u从a变到b时,对应的x从单调地a变到b.(3)j

∈C[a,b](或j∈C[b,a]).则注②

:若只假定

f可积,但要求j严格单调,

则有相同的结论成立.(为什么?)注①:注意条件以及上下限的对应关系.

第48页，共78页，2023年，2月20日，星期三解:令x=sint,则例1.计算下列定积分.(1)(2)解:令x=sint,则

第49页，共78页，2023年，2月20日，星期三例2.设函数f∈C[-a,a],证明:(1)若f为偶函数,则(2)若f为奇函数,则

第50页，共78页，2023年，2月20日，星期三若在[-a,a]上连续，则

一般性结论:如何证明?即证这只要换元即可：第51页，共78页，2023年，2月20日，星期三并计算(2)例3.设函数f∈C[0,1],证明:(1)证明:(1)令则

第52页，共78页，2023年，2月20日，星期三(2)令x=u,则于是可得因而

第53页，共78页，2023年，2月20日，星期三四定积分的分部积分法1.原理

2.举例

(1)

第54页，共78页，2023年，2月20日，星期三(3)计算(2)=1.解:令x=t2,0

t则

第55页，共78页，2023年，2月20日，星期三1计算：（1）

（2），其中在[0，1]上连续；。习题课

（3）2

估计下列定积分的值：；（2）

（1）3

计算:(1)；(2)第56页，共78页，2023年，2月20日，星期三第57页，共78页，2023年，2月20日，星期三五、无穷区间上的广义积分

1设函数f在[a,+∞)上有定义,若b>a,为f在无穷区间[a,+∞)上的广义积分,记为f在[a,b]上可积,则称如=1.即

第58页，共78页，2023年，2月20日，星期三2若极限存在,则称广义积分否则称广义积分收敛,该极限值称为f在[a,+∞)上的积分值;发散.3类似地,可以定义函数f在无穷区间(∞,b]及其敛散性.如上的广义积分=1.

第59页，共78页，2023年，2月20日，星期三不存在.4设函数f在(∞,+∞)上有定义,称为f在(∞,+∞)上的广义积分(c为任一实数).与则称收敛,否则称发散.若广义积分都收敛,

第60页，共78页，2023年，2月20日，星期三如注①

由存在推不出收敛.

第61页，共78页，2023年，2月20日，星期三5统称为无穷区间上的广义积分.

第62页，共78页，2023年，2月20日，星期三6.几何意义

7.重要的广义积分

例1.讨论广义积分的敛散性.解:当p=1时,有=+∞.

第63页，共78页，2023年，2月20日，星期三当p≠1时,有当p>1时收敛,其值为

当p1时发散.

因此广义积分

第64页，共78页，2023年，2月20日，星期三注②

在计算广义积分时,对于无穷区间上的广义

若F(x)是f(x)在[a,+∞)我们把记为积分上的一个原函数,则

第65页，共78页，2023年，2月20日，星期三对于广义积分我们把记为=10=1.若F(x)是f(x)在(∞,b]上的一个原函数,则如

第66页，共78页，2023年，2月20日，星期三一、微元法思想

§3定积分的应用

回忆曲边梯形面积的计算。1.回忆曲边梯形面积的计算设y=f(x)∈C[a,b],且f(x)非负.计算曲线y=f(x)与x=a,x=b,以及x轴所围成的曲边梯形的面积A.第67页，共78页，2023年，2月20日，星期三(1)

分割:[a,b]=[x0,x1]∪[x1,x2]∪[x2,x3]∪…∪[xn-1,xn],其中x0=a,xn=b.Dxi=xi–xi-1(i=1,2,…,n)(2)

近似:取xi∈[xi-1,xi],DAi≈f(xi)Dxi(3)

求和:A=SDAi≈Sf(xi)Dxi(4)取极限:令=max{Dxi},

第68页，共78页，2023年，2月20日，星期三由此产生微元法的思想.2.微元法设Q是由f(x)在[a,b]上确定,其中f(x)∈C[a,b],将[a,b]划分为n个小区间,取其代表[x,x+Dx],Q在[x,x+Dx]上的增量记为DQ,寻求dQ,使DQdQ为Dx的高阶无穷小量(Dx→0),我们称dQ为Q的微元,且有第69页，共78页，2023年，2月20日，星期三二、平面图形的面积(1)直角坐标系中①y=f(x)与y=g(x)以及x=a,x=b所围成的图形的面积(其中f(x)g(x))

第70页，共78页，2023年，2月20日，星期三②x=j(