浅议几何题优化解题的策略 论文

2022年安徽省中小学教育教学论文评选浅议几何题优化解题的策略摘要：初中数学的教学不单单是传授知识，还担任着培养学生数学能力的任务，主要包含培养学生的运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和分析解决问题的能力；其核心是思维能力的培养。针对初中的几何知识是教学的难点，因为几何证明题的解答对学生的思维能力有着较高的要求，因此几何知识教学的过程中，教师需要通过恰当的方式打开学生分析几何问题的思路大门，引导学生分析问题，由发散思维教学，培养学生优化问题的意识，优化解题策略，提高解题效率。关键词：几何题，一题多解，优化解题。九年级数学练习时，学生在2020年安徽省数学中考试卷第20题的第一题的解题思路让老师看到了一题多解的发散思维，但是也存在一些值得思考的地方，部分学生的思路比较独特，这一问的难度系数相比较而言是比较小的，但从学生的多种解法上可以对比分析发现学生存在的问题，学生的“小题大做”让问题的证明繁琐化，进而无意识中提高了问题的难度。教学中也有学生发现自己解题思路能解决问题证，但是有时和老师或同学的方法做对比就发现了过程中的某些结论很容易推理，就会疑惑怎样提高自己的思维能力。对于这样的现象，本文以真题为例，探索优化解决几何题的方法。一、浅析真题1．（2020年安徽）20．（10分）如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD相交于点F．BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E．（1）求证：△CBA≌△DAB；

（2）若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB．本题属于几何题，难度系数不太大，但综合性较高，这里针对第一题分析：已知条件：AB是直径，AD＝BC，BE是切线。证明问题：△CBA≌△DAB；12022年安徽省中小学教育教学论文评选证明全等的方法有SSS，SAS，ASA，AAS，HL；其中HL适用于直角三角形全等的证明，其证明理论根据SSS.主要考察全等三角形的证明，但是又与圆结合，可以讲这是一道关于圆的综合题型。既要考察是否能灵活利用定理证明全等，又考察学生关于圆的相关知识。现在对于学生解决此问题的一些典型思路进行分析归纳。解法1.证明：∵AB是半圆O的直径∴∠ADB=∠BCA=90°在Rt△CBA与Rt△DAB中，AD=BCAB=BA∴Rt△CBA≌Rt△DAB（HL） ∴△CBA≌△DAB

评注：此方法是用HL证明三角形全等的，其巧妙之处在于利用圆周角定理的推论，由直径推出直角，进而得到直角三角形这个前提条件，这样就可以利用已知的一组直角边相等，斜边是公共边，用HL证得三角形全等，该方法推理思路清晰明确，证明过程简洁有条理。解法2.证明：∵AB是半圆O的直径∴∠ADB=∠BCA=90°∵AD=BC∴∠ABD=∠BAD在△CBA与△DAB中，∠ADB=∠BCA=90°∠ABD=∠BADAB=BA ∴△CBA≌△DAB(AAS)

评注：此方法是用AAS证明三角形全等的，由公共的弦AB推出两个三角形中一组角都是90度得相等，再通过题干中给的一组相等的弦得到另一组角相等，最后和一组公共的边AB构成两角及其一角对边相等证明全等。此方法的特点是把同圆中的弦相等转化成所对的圆周角相等，说明学生有着较强的思维能力，相比较于解法1也不算繁琐，逻辑思维清晰，证明过程简洁有条理。解法3.证明：∵AB是半圆O的直径22022年安徽省中小学教育教学论文评选∴∠ADB=∠BCA=90°∵AD=BC,AB=BA∴在Rt△DAB中，BD=在Rt△CBA中，AC=∴BD=AC在△CBA与△DAB中AD=BC,AB=BABD=AC ∴△CBA≌△DAB(SSS)

评注：此方法是用SSS证明三角形全等的，其难点是除了题目已知的一组边和一组公共的边相等之外，就是证明第三组边相等。学生利用圆周角定理的推论由直径推出直角，进而得到直角三角形，在运用勾股定理计算第三组对应边相等，因此由三边对应相等得到三角形全等，这个方法让我们看出学生的基本功很扎实，但是在推出直角三角形后，能想到利用勾股定理，却没有想到用HL定理证三角形全等，说明学生对该定理的印象不够深刻，其原因可能是对课堂上该定理的证明没有理解透彻，它的本质就是通过勾股定理和边边边定理共同推导出来的，其次练习度不够没有发现HL定理的使用条件及优点。此方法也可以稍作变动就是另一种证三角形全等的方法：证明：∵AB是半圆O的直径∴∠ADB=∠BCA=90°∵AD=BC，AB=BA∴在Rt△DAB中，BD=AB2AD2在Rt△CBA中，AC=AB2BC2∴BD=AC在△CBA与△DAB中AD=BC，∠ADB=∠BCA=90°,BD=AC ∴△CBA≌△DAB(SAS)

评注：此方法二次利用一组直角相等作为夹角，构成两边及其夹角对应相等证明三角形全等，学生从另一个角度出发说明学生的思维还是很发散的，对于证明三角形全等的定理掌握熟练并且灵活应用。下面是另一种利用SSS证明全等的方法：32022年安徽省中小学教育教学论文评选 证明：∵AB是半圆O的直径

∴∠ADB=∠BCA=90°

在△ADF与△BCF中

∠ADB=∠BCA

∠AFD=∠BFC

AD=BC

∴△ADF≌△BCF(AAS)

∴AF=BF,DF=CF,

∴AF+CF=BF+DF,

∴AC=BD,

在△CBA与△DAB中

AD=BC,

AB=BA

BD=AC

∴△CBA≌△DAB(SSS)

评注：此方法也是利用SSS证明的，用了两次全等推出的。对于第三组边的证明没有利用勾股定理证明，而是用到一组对顶角和已知条件推出△ADF≌△BCF，目的得到对应边相等，再利用等式的基本性质推出第三组对应边相等，最后由三组对应边相等证明△CBA≌△DAB。虽然用了二次全等，但逻辑推理严谨，推理过程层次分明；而一次全等能处理的问题用了二次全等，说明这类学生把这问题“大做”了，解题思路有点繁琐，直径推出直角时，把直角局限到两个小三角形中作为一组普通角，没有把它们放到大的直角三角形，因此就无法利用HL证明全等，这样证明的思路就有点绕了。解法4.证明：∵AB是半圆O的直径

∴∠ADB=∠BCA=90°

在△ADF与△BCF中

∠ADB=∠BCA

∠AFD=∠BFC

AD=BC

∴△ADF≌△BCF(AAS)42022年安徽省中小学教育教学论文评选 ∴∠DAF=∠CBF

∵AD=BC

∴∠ABD=∠BAD

∴∠DAB=∠CBA

在△CBA与△DAB中，

∠ADB=∠BCA=90°

AD=BC

∠DAB=∠CBA

∴△CBA≌△DAB(ASA)

评注：此方法用了两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，学生通过直径对应的圆周角是直角得到一组对应角相等，再由题干给出的一组对应边相等这两个条件，想到在证明这组边的另一邻角相等就可以利用ASA证的结论，所以也用了两次全等，第一次证出全等的目的就是为得到一组所需的对应角相等。简单的问题复杂化了，说明学生学的东西很多，但理解还不够透彻，没有找到最优解，整理出最简单的思路，因此基础不牢，解题经验还需积累，思维能力还有待于提高。解法5：

证明：连接OC,OD. ∴OC=OD,

在△AOD与△BOC中，

AD=BC,

OA=OB

OD=OC

∴△AOD≌△BOC(SSS)

∴∠DAO=∠CBO

在△CBA与△DAB中，

AD=BC

∠DAO=∠CBO

AB=BA

∴△CBA≌△DAB(SAS)

评注：此方法很新颖，添加了辅助线，其作用是构造新的三角形△AOD与△BOC，利用同一圆中半径相等这一特点推出两个新三角形全等，进而得到一组对应角相等，再结合公共的边AB的证。这个思路没有利用到直径得出的直角，方法和思路都是没有问题的，但是不用辅助线就能做出的题目用了辅助线，这就显示出学生审题不够仔细，没有抓住52022年安徽省中小学教育教学论文评选题干的重要信息，也有可能下意识会认为这个题目不简单导致心理建设较多反而忽略了关键信息，找不到解题技巧。以上这几种方法可以看出，学生真的做到一题多解，将书本上能证明三角形全等的定理都一一进行实践应用，每个学生都有着差异，他们从不同的角度、不同的方法去审视和分析问题，在依据自身的知识水平和解题经验，找到问题解决的途径。但是通过题目特点来分析，这里面相当多一部分学生的解题思路并不是理想的，学生分析问题的能力较差，思维总停留在边角上，忽略直角三角形及其特别的证明方法，导致证明时定理的选择没有技巧性，使推理过程太繁琐，耗时太多。这个时候如何培养学生面对几何题时能够快速简捷的找到解题方法，培养学生最优解的解题思维。二、优化解题策略的培养 1．优化解题的重要性

虽然我任教年限不长，但在我任教的这几年里，听到一部分学生对于几何学的感悟，它是比代数还要难把握,因为他们在处理几何时感觉难，觉得几何图形很抽象，需要涉及到诸多知识点，已知条件和图形之间关系错综复杂，无法有效结合，找不到解题思路；我班杨娜同学数学成绩还可以，我们课下交流时，她讲她能够发现题干给的隐藏条件，找到解题思路，但她对几何题还是很没信心，因为她的解题思路很繁琐，分析问题时耗精力，书写步骤时费时间，受思维定势影响，找不到解题的技巧，总感觉有简单的途径但就是摸索不到，然后就陷入自我怀疑中，不敢下笔写证明过程，碰到几何题就没自信心。针对杨娜同学这样的情况，基本题型都已熟练，多数题也都能会解，但是他们陷入了如何自我提高的困惑，这个时候就需要培养他们的自信心以及优化问题的意识，提高运算能力和优化解题策略，将问题化繁为简，减少反复推敲的时间和精力的耗费，提高处理问题的自信心。 2．辩证教学，优化几何知识体系

一道几何题综合题都会涉及多个知识点，很多条件隐藏的较深，并且图形又错综复杂，要想优化几何解题的能力，前提是需要具备良好的知识体系，并且能够熟练地掌握概念、定理和性质等条件性知识，否则在处理问题时就会出现卡壳，导致思路断裂。数学知识的学习不是靠死记硬背，所以教学中，鼓励学生多思考，从分析问题开始要让学生利用数行结合思想，先明确问题求什么和已知什么，有什么是已知的并且这些已知条62022年安徽省中小学教育教学论文评选件能推出哪些结论，图形中又有哪些隐藏条件可以利用，结合定理和性质揭示内在联系，推理问题的方式有正向推理、逆向推理以及综合推理，其方式不是一层不变的，因此多去探索解决问题的途径和方法，按照学生的知识水平设置多解类型的几何类题目，培养学生的阅读理解能力、抽象的逻辑思维能力和语言符号的意识，把知识和经验系统化，在分析问题中引导敢于发表自己的看法和见解，敢于质疑并提出问题；让学生关注学科中一些相对的知识，例如图形中的整体与局部，动与不动，内与外等，辩证思维教学，形成辩证分析问题的能力，构建夯实的知识体系。 3．一题多解，多解归一

教学中，很多问题的解法不止一种，特别是几何题有可能有好几种途径，有的甚至几十种解法，课堂上鼓励一题多解，因为它可以启发和引导学生从不同的角度和不同的途径去分析解决问题，这种从多个途径解决问题的能力有利于调动学生学习的积极性，有利于锻炼学生思维能力的灵活性，增添解题的乐趣，开阔解题思路，激发创新意识，培养学生解题思路的广阔性。但是不管什么题目，一味的寻求多种解法，就有进入另一个误区，即一题多解能发散学生的思维能力，但是不注意做到“收”，应挖掘这些方法之间的内在联系和规律，及时将多解进行归纳和总结，多解归一，“一题一解”，有利于学生对解题方法的整理与提炼，找出最优解。数学教学应先讲究“通性”，解题的方法很多，不用一一罗列，能利用基本知识和基本技能解决的就不在乎技巧解题，积累经验先达到培养解题教学的目的；再者