上海市2023届高三数学模拟试卷（4套附参考答案）

一、填空题

高三数学二模试卷1．设集合A＝｛x｜－＜x＜2，B＝｛x｜x2≤1，则A∪B ．如果函数是奇函数，则 ．若线性方程组的增广矩阵为、解为，则 4．方程cos2x+sinx=1在（0，π）上的解集是 若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1，则此三棱锥的体积为 ．若一组样本数据2，3，7，8，的平均数为5，则该组数据的方差 .已知点在不等式组 ，表示的平面区域上运动，则 取值范围是 已知 是双曲线上的点，过点 作双曲线两渐近线的平行线 ，直线 分别交于 两点，则 ．已知 分别为 三个内角 的对边， 则 ．某居民小区有两个相互独立的安全防范系（简称系统和 系统 和系统 在任意时刻发故障的概率分别为和 ，若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，则 已知直线与直线互相平行且距离为 .等差数列的公差为 ，令，则的值为 ．已知分别是边的中点是线段 上的一动点(不包含两点且满足，则的最小值为 ．二、单选题13．已知，，，为实数，且，则“”是“”的（ A．充分而不必要条件 B．充要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条14．已知是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A．如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行B．过已知平面的一条斜线有且只有一个平面与已知平面垂直C．平面不垂直平面，但平面内存在直线垂直于平面D．若直线不垂直于平面，则在平面内不存在与垂直的直线关于函数和实数 的下列结论中正确的是（ A．若，则若，则若，则若，则设函数其中 若 、 、 是 的三条边长则下列结论：①对于一切都有；②存在 使 、 、 不能构成一个三角形的三边长；③ 为钝角三角形，存在，使，其中正确的个数为（ ）个A．3 B．2 C．1 三、解答题在长方体 －A1B1C1D1中，， ，点 是棱 上的点， .求异面直线与所成角的大小；求点到平面的距离．11态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，现有三种价格模拟函数：①②③(以上三式中 均为非零常数， .)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什么?若求出所选函数的解析式(注函数的定义域是其中 表示月份，表示2月份， ，以此类推)，为保证果农的收益，打算在价格在5元以下期间积极拓外销渠道，请你预测该水果在哪几个月份要采用外销策略？已知函数．当 时，求满足的的取值范围；若的定义域为 ，又是奇函数，求的解析式，判断其在 上的单调性并加证明．已知是椭圆 的两个焦点坐标， 是椭圆 上的一个定点， 是椭圆上的两点，点 的坐标为.求椭圆的方程；当两点关于轴对称，且 为等边三角形时，求 的长；当两点不关于轴对称时，证明：△ 不可能为等边三角形.已知无穷数列的前项和为，且满足，其中 、 、 是常数.若 ， ， ，求数列的通项公式；若 ，，，且 ，求数列 的前项和 ；试探究 、 、满足什么条件时，数列 是公比不为-1的等比数列.1｛x｜－1≤x＜2｝2．-33．164．{，}5．6．5.27．[-1，2]8．49．60°10．11．5212．13．C14．B15．C16．A17（1）解：在平面ABCD内作交于，连接，则为异面直线与所成角或其补角.因为，所以 ，所以，因为，所以而所以△ 为正三角形，，从而异面直线 与 所成角的大小为.（2）解：设点到平面的距离为，， ，由 得 ，所以18（1）解：对于①，函数是单调函数，不符合题意，对于②，二次函数的图象不具备先上升，后下降，再上升的特点，不符合题意，对于当 时函数在 上的图象是上升的在 上的图象是下降的在上的图象是上升的，满足题设条件，应选③.（2）解：依题意，，解得 ，则，由，即，而 ，解得 ，所以该水果在第月份应该采取外销策略.19（1）解：由题意，，化简得，解得所以x≤-1R，所以又所以对任意可知因为，所以，所以因此在R上递减．20（1）解：可设椭圆的方程为由题意得： ，解得： ，所以椭圆的方程为 ，即（2）解：设，，因为 为等边三角形，所以.又点在椭圆上，所以 ，消去，得到，解得或，当时，，所以；当时，，所以证明：设，则，且，所以，设 ，同理可得，且 .因为在 上单调，所以有 因为不关于轴对称，所以，所以.所以 不可能为等边三角形.21（1）解：由，得；当 时， ，即所以 ；解：由，得，进而，当 时，得，因为 ，所以，进而解：若数列是公比为的等比数列，①当由时，，，得 恒成立.所以由得，与数列是等比数列矛盾；，时，，恒成立，，对于一切正整数都成立所以， 或 或，事实上，当 ， 或或， 时，， 时， ，得或-1所以数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列一、填空题

高三数学一模试卷已知集合，若，则 .计算 .已知圆的参数方程为（为参数，则此圆的半径是 .函数的最小正周期是 .函数是奇函数，则实数 .若圆锥的底面面积为，母线长为2，则该圆锥的体积为 .函数的定义域是 .等差数列满足，则数列前项的和为 .汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位抛物线焦点处，已知灯口的直径是24cm，灯深10cm，那么灯泡与反射镜顶点(即截得抛物线顶点)的距离是 .已知曲线的焦距是10，曲线上的点到一个焦点的距离是2，则点到另一个焦点的距为 .从集合中任取3个不同元素分别作为直线方程中的，则经过坐标原点的不同直线有 条（用数值表示）设平面上的向量满足关系，又设与的模均为1且互相垂直，则与 的夹角取值范围为 二、单选题下列函数中为奇函数且在 上为增函数的是（ ）A．B．C．D．已知的二项展开式中，前三项系数成等差数列，则的值为（ A．7 B．8 C．9 D．10对于下列命题：①若则 ；②若，则.关于上述命题描述正确的是（ ）A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题复数的模为其中为虚数单位，则这样的一共（）个.A．9 B．10 C．11 D．无数三、解答题在中，所对边满足.（1）求的值；（2）若，，求的周长.第一象限内的点 在双曲线上，双曲线的左､右焦点分别记为 ，已为坐标原点.求证：；若的面积为2，求点的坐标.1､2是由四个相等的小正方如和宽度相等的矩形通道组成.展览馆可以根据实际需要进2中的八边形EFTSHQMG是小正方形中的展览区域，小正方形中的四个全等的直角三角形是休闲区域，四个八边形是整个的展览区域，16个全等的直角三角形是整个的休闲区域.设的边长300180设，求的面积关于的函数关系式；问 取多少时使得整个的休闲区域面积最大.(长度精确到1米利用精确后的长度计算面积，面积精确到1平方米)如图在正四棱锥 中分别为 的中点平面 与棱 的交点为.求异面直线 与 所成角的大小；求平面与平面所成锐二面角的大小；求点的位置.已知数列 满足 .（1）当时，求证：数列不可能是常数列；（2）若，求数列的前项的和；（3）当请说明理由.时，令，判断对任意，是否为正整数，1．32．3．24．5．06．7．8．9．3.6cm10．或1011．5412．13．D14．B15．C16．C17（1） 化简得： 两边同除以 及因为 所以.（2）因为，且 ，所以，因为 ，由正弦定理得： ，故，由余弦定理得： 即 解得： 其中 所以，故 的周长为18（1因 是双曲线第一象限内的点于是得 而 则 ，，令双曲线的半焦距为c，则，因，因此，，即，化简得，又，则有，，所以.因 为线段 的中点则 由(1)知于是有 则，因此，双曲线方程为，设点 ，则有，又 是斜边的中点，则，即，联立解得，而 ，则有，所以点 的坐标是.19（1）依题意，在 中，，则有，， ，则 的面积，所以 的面积 关于的函数关系式是：( ).（2）由(1)知，， ，令 ，当且仅当，即 时取“=，整个休闲区域是16个与全等的三角形组成因此整个休闲区域面积最大当且仅当 面积 最大，当 即 米整个休闲区域面积最大为平方米，所以当 取53米时，整个休闲区域面积最大为22235平方米20（1）连接AC，BD，相交于点O，因为四边形ABCD是正方形，所以O是正方形的中心，连接PO，因为四棱锥是正四棱锥，则PO⊥底面ABCD，连接OE，因为 为 的中点，所以EO是△PBD的中位线，所以EO∥PD，∠OEA（或补角）即为异面直线 与 所成角的大小，因为正四棱锥 中，，所以△PAB是等边三角形，所以，由勾股定理得： ，所以 因为 ，E为PB的中点，所以，在△AOE中，由余弦定理得：，所以异面直线 与 所成角的大小为EF，OPQ，QOP，EF因为分别为的中点，所以EF是三角形PBD的中位线，所以EF∥BD，因为 平面ABCD，平面ABCD，所以EF∥平面ABCD，设平面与平面相交于直线，故EF∥∥DB，连接QA，AE=AF，AQ⊥EF，OA⊥BD，故∠QAO即为平面 与平面 所成锐二面角，其中， ，所，故，即平面 与平面 所成锐二面角的大小为AQ，AQG，过点G作GM∥PO交AC于点M，因为PO⊥底面ABCD，所以GM⊥底面ABCD，设GM=CM=x，则AM=4-x，由第二问知： 所以，即，解得：，故，所以点的位置为线段PC靠近P的三等分点.21（1可能是常数列（2）因为，因为所以，所以当时，，时，，即当为奇数时，不，当为偶数时，设数列 的前项的和为当为奇数时，，当为偶数时，，综上：当 时， ， 时， 此时为等比数列首项为公比为当时， ，当时， ，故 .（3）对任意 ， 是正整数，理由如下：当时，，所以 ， ，猜想：为正整数，证明：，则，，代入到得：，整理得：，从而（ ，于是所以因此知当 时， 当 时， 以此类推，对任意，，证毕.一、填空题

高三上学期数学一模试卷函数的定义域是 ．已知集合，，则 .在的二项展开式中， 系数是 已知向量，，若，则mn的值为 .已知复数满足（为虚数单位，则复数的模等 .某个品种的小麦麦穗长度（单位：cm）的样本数据如下：10.2、9.7、10.8、9.1、8.9、8.6、9.8、9.6、9.9、11.2、10.6、11.7，则这组数据的第80百分位数为 .在平面直角坐标系中若角的顶点为坐标原点始边与x轴的非负半轴重合终边与以点O为圆心的单位圆交于点，则的值为 .若一个圆锥的侧面展开图是面积为 的半圆面，则该圆锥的体积为 .已知的三边长分别为45记的三个内角的正切值所组成的集合为 则集合 的最大元素为 .55（3的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后结束的概为 ．已知四边形ABCD是平行四边形若 且 则 上的数量投影为 .已知曲线与曲线，长度为1的线段AB的两端点A、B分别在曲线、上沿顺时针方向运动，若点A从点开始运动，点B到达点时停止运动，则线段AB所扫过的区域的面积为 .二、单选题在平面直角坐标系中“”是“方程表示的曲线是双曲线”的（ ）条A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要如图四边形ABCD是边长为1的正方形， 平面ABCD，平面ABCD，且，点G为MC的中点.则下列结论中不正确的是（ ）A．B．平面平面ABNC．直线GB与AM是异面直线 D．直线GB与平面AMD无公共点已知，且函数 恰有两个极大值点在，则 的取值范围是（ ）A．B．C．D．设a、b、c、p为实数，若同时满足不等式、与的全体实数x所组成的集合等于.则关于结论：①a、b、c至少有一个为0；②.下列判断中正确的是（ ）A．①和②都正确 B．①和②都错误C．①正确，②错误 D．①错误，②正三、解答题已知是等差数列，是等比数列，且，，，.求的通项公式；设，求数列的前2n项和.如图所示，四棱锥中，底面为菱形，且直线又棱为的中点，(Ⅰ)求证：直线；(Ⅱ)求直线 与平面的正切值.ABCDABCD步道（宽度忽略不计，长度可变）把这四个展馆连在一起，其中百米，百米，且.x，y（单位：百米）关于x的函数关系式；求步道的最短总长度（0.01）.已知椭圆的离心率为，以其四个顶点为顶点的四边形的面积等于 .动直线、都过点，斜率分别为k、 ，与椭圆C交于点A、P，与椭圆C交于点B、Q，点P、Q分别在第一、四象限且轴.C若直线与x轴交于点N，求证：；求直线AB的斜率的最小值，并求直线AB的斜率取最小值时的直线的方程.已知集合A和定义域为 的函数若对任意 都有则称是关于A的同变函数.当与时，分别判断是否为关于A的同变函数，并说明理由；若是关于的同变函数且当时，试求在上的表达式，并比较 与的大小；若n为正整数，且 是关于 的同变函数，求证： 既是关于 的同变函数，也是关于 的同变函数.1（-∞，2）2（-3，5）3．804．-25．6．10.87．8．9．10．11．1012．13．C14．D15．B16．D17（1）解：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，则，， ，又，可得，所以（2）解：由（1）可得，故，以它为通项的数列是以-1为首项、公比为-3的等比数列，所以，所以数列的前2n项和为：.即：数列 的前2n项和为.18．解：证明：∵∠ADE=∠ABC=60°，ED=1，AD=2∴△AED∠AED又∵AB∥CD,∴EA⊥AB又PA⊥平面ABCD，∴EA⊥PA,∴EA⊥平面PAB,（Ⅱ）如图所示，连结PE，过A点作AH⊥PE于H点∵CD⊥EA,CD⊥PA∴CD⊥平面PAE,∴AH⊥CD，又AH⊥PE∴AH⊥平面PCD∴∠AEPAEPCDRt△PAE，∵PA=2，AE=∴19（1）EFAD，BCM，N，若设 百米，则，所以，又因为，所以 .若设 ，则， ，则 ，解得，又因为，所以，所以）.解：设，，令 ，可得 ，当时， ，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，故当 时，取得极小值（最小值）（百米）.所以步道的最短总长度约为18.39百米.设，，令 ，可得，当时， ，当时， ，所以 在上单调递减，在上单调递增，故当时， 取得极小值（最小值）（百米，所以步道的最短总长度约为18.39百米.20（1）解：设椭圆C的焦距为2c，则由， 且 可得， ，所以椭圆C的方程为（2）证明：设，，则 ， ，可得，解得 ，又，，所以解：设，，直线，的方程分别为，，由（2）知 ，所以，又m， 均大于0，可知 由可得 ，所以，即，同理可得，直线AB的斜率为（当且仅当时取等号）.当时，，此时C所以，又，可得 ，所以直线AB的斜率的最小值为，且当直线AB的斜率取最小值时的直线的方程为.21（1）解：当时，对任意的 ， ，，由 ，可得 ，又 ，所以，故是关于的同变函数；当 时存在， 使得即 所以不是关于的同变函数.（2）解：由是关于的同变函数，可知恒成立，所以 恒成立，故 是以2为周期的周期函数.当时，，由，可知.（提示：也可通过分类讨论与累加法予以证明，下面的*式也同理可证）对任意的所以，都存在，使得，故.令，则，可得 ，所以 （当且仅当，即 时取等号）.所以当时，；当时，.（3）证明：因为是关于的同变函数，所以对任意的，，都有，故，用代换x，可得，所以，即，又，故，且.对任意的，，由可得（*）所以是关于的同变函数.所以，故是以 为周期的周期函数.对任意的，，由可得（*）所以是关于的同变函数.对任意的，存在非负整数m，使，所以，对任意的 ，，即，所以 是关于 的同变函数.故 既是关于 的同变函数，也是关于 的同变函数.一、填空题

高三上学期数学一模试卷1．已知集合，则 2．的二项展开式中的系数为 3． 若线性方程组的增广矩阵为，解为，则 在直角坐标系 中角的始边为正半轴顶点为坐标原点若角的终边经过点 则6．3位同学被推荐担任进博会3个指定展馆服务志愿者，每人负责1个展馆，每个展馆只需1位同学则共有 种不同的安排方法.已知双曲线的左，右焦点为 ，过 的直线与双曲线 的左、右支分别交于点.若为等边三角形，则边长为 在复平面 内，复数所对应的点分别为，对于下列四个式子：⑴；⑵；⑶；⑷9．设，其中恒成立的是 （写出所有恒成立式子的序号），若，则 最大值为 已知公差不为0的等差数列的前项和为，若，则的最小值为 已知点在抛物线上，点 在 的准线上，线段的中点均在抛物线 上设直线 与 轴交于点，则的最小值为 ．设曲线 与函数的图像关于直线 对称，若曲线 仍然为某函数的象，则实数 取值范围为 二、单选题13“ ”是“”的（ ）A．充分不必要条件C．充要条件14．给定一组数据B．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件，设这组数据的平均数为，中位数为，众数为，则（ ）A．B．C．D．已知平面经过圆柱的旋转轴点是在圆柱的侧面上但不在平面上则下列个命题中真命题的个数是（ ）①总存在直线且与 异面；②总存在直线且；③总存在平面④总存在平面且且；.A．lB．2C．3D．416．若函数的值域为，则的取值范围为（ ）A．三、解答题17．B．中，C．.D．求四棱锥的体积；求直线与平面所成角的正切值.已知三个内角 所对的边分别为若，求的面积；设线段 的中点为 ，若，求 外接圆半径的值.2012比前一年增加0.2万元.若每年养护保险费均为1万元设购买该种型号汽车年后共支出费用为万元求的表达式；若购买汽车后的前6年，每年养护保险费均为1万元，由于部件老化和事故多发，第年起，每一年的养护保险费都比前一年增加设使用年后养护保险年平均费用为当时，最小，请你列出时的表达式，并利用计算器确定的值（只需写出的值）已知函数.求证：函数是 上的减函数；已知函数的图像存在对称中心的充要条件是的图像关于原点中心对称判断函数的图像是否存在对称中心若存在求出该对称中心的坐标若不存在说明理由；若对任意 ，都存在及实数 ，使得 ，求实数的最大值.城市道路大多是纵横交错的矩形网格状从甲地到乙地的最短路径往往不是直线距离而是沿着格走的直角距离，在直角坐标系 中，定义点的“直角距离”为：，设.写出一个满足的点的坐标；过点作斜率为2的直线点分别是直线上的动点求的最小值；设，记方程的曲线为 ，类比椭圆研究曲线 的性质（结论要求证明，并在所给坐标系中画出该曲线；1．2．243．14．-15．6．