浅析新课程新教材背景下数学建模核心素养的培养 论文

浅析新课程新教材背景下数学建模核心素养的培养摘要：在《普通高中数学课程标准》（2017年版2020年修订）（以下简称《新课标》）的要求下，新教材调整了对数学建模这一核心素养的体现，本文就数学建模在指数函数中的体现进行具体分析，通过一个具体的数学建模教案谈谈自己的感受与收获.关键词：核心素养、新课标、数学建模、感悟引言：高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向，而教好数学就是落实数学学科核心素养。数学学科核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。数学建模是架于实际问题和数学理论之间的桥梁，《新课标》要求在高中阶段至少为学生安排一次数学建模活动，但内容和课时没做具体安排。于是在新教材中，数学建模思想几乎融入所有章节。我们研究数学建模的教学，能帮助学生积累数学活动经验，培养他们的创新意识.一、什么是数学建模数学建模是实际情境与数学之间的一座桥梁，即将一个实际情境抽象成相应的数学问题，然后运用数学知识进行分析、讨论和计算，从而得到解答，再将所得到的解答回归实际，看能不能有效地解决原先的实际问题，如果不能，则再进行调整，直到结果合乎实际，这个过程就是数学建模的过程。其基本步骤如下：实际情境提出问题建立模型分析、运算检验不合实际合乎实际实际结果二、指数函数概念形成中的数学建模思想案例分析 新教材中几乎所有章节都蕴含着数学建模思想，以必修第一册第四章“指数函数的概念”为例，分析教材如何渗透数学建模思想.1.实际情境

指数函数是刻画客观世界中变量之间关系的数学模型，它的引入需要通过大量的现实背景、历史背景以及数学背景的素材，教材中用景区游客人数增长和生物体中碳14的含量与生物死亡年数之间的关系引入指数函数的概念：问题1随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成立越来越多家庭的重要生活方式。由于旅游人数不断增加，A、B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门票，表1给出了A，B两地景区2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量。比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？表1时间/年A地景区B地景区人次/万次年增加量人次/万次年增加量/万次20016002782002609930931200362011344352004631113833920056411042744200665094754820076611152853200867110588602009681106556720106911072974201170211811822012711990392201372110100510220147321111181132015743111244126问题2当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？2.提出问题

在上述情境中

问题1通过观察表格和图象，我们发现，对于A地景区和B地景区，游客人次分别是按照一定规律随着年数的增加而增加，其每年的游客人次如何用年数来描述？问题2死亡生物体内碳14含量的衰减规律又可以如何表示呢？3.建立模型

问题1对于A地景区，游客人次近似直线上升（线性增长），年增加量大致相等，约为10万次，即每一年游客人次比上一年增加约10万人次.由于2001年游客人次为600万人，

因此A地景区游客人次可表示为y y=600+10x(x∈[0,+∞));对于B地景区，游客人次则是非线性增长，年增加量越来越大，但从图象和年增加量都很难看出变化规律，因此不能用年增加量来描述其变化规律，教师可引导学生将相邻两年游客人次做做除法，即将每年游客人次除以上一年的游客人次，发现每一年游客人次是上一年的1.11倍，如果设经过x年后的游客人次为2001年的y倍，那么y=1.11x(x∈[0,+∞)).因此经过年后的游客人次x 278×1.11x(x∈[0,+∞))人.问题2设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为,如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么死亡1年后，生物体内碳14含量为(1-p)1；死亡2年后，生物体内碳14含量为(1-p)2；死亡3年后，生物体内碳14含量为(1-p)3；⋯⋯死亡5730年后，生物体内碳14含量为(1-p)5730.根据已知条件，(1-p)5730=111 15730 157302 ，从而1-p=(2) ,,所以p=1-(2) .1x. 1

则y=(1-p)x,即y=((2)5730)(x∈[0,+∞))模型的形成：观察问题1中的B地景区得到的函数关系式y=1.11x1x 1

(x∈[0,+∞))与问题2中得到的关系式y=((2)5730)(x∈[0,+∞))，我们会发现它们1） 都是幂的形式；2） 底数都是常数；

3） 自变量都在指数位置.如果我们用字母代替上述两个函数中的底数，则这两个函数都可以表示为ay=ax的形式，这就是指数函数.如此我们就得到了指数函数的模型，完成课堂指数函数概念的形成.4.分析、运算、解决问题

在上述情境中，我们得到了指数函数的模型，在本节的例2中又将从情境中得到的函数模型运用到解决实际问题中.例2（1）在问题1中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，A地景区的门票价格为150元，比较这15年间A，B两地旅游收入变化情况. （2）在问题2中，某生物死亡10000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几？解：设经过年，游客给A，B两地带来的收入分别为x f(x)和g(x),则 f(x)=1150×(10x+600),g(x)=1000×278×1.11x.利用计算工具可得，

当x=0时，f(0)-g(0)=412000.当x≈10.22时，f(10.22)≈g(10.22).结合图4.2-3可知：

当x<10.22时，f(x)>g(x),

当x>10.22时，f(x)<g(x).当x=14时，g(14)-f(14)≈347303. 这说明，在2001年，游客给A地带来的收入比B地多412000万元；随后10 的增长速度大于f(x)；根据上述数据，并考虑到实年，虽然f(x)>g(x)，但g(x)

际情况，在2011年3月某个时刻就有f(x)=g(x)，这时游客给A地带来的收入 ，游客给B地带来的收入超过了A地；由于g(x)和B地差不多；此后，f(x)<g(x)

增长得越来越快，在2015年，B地的收入已经比A地多347303万元了.（2）设生物死亡年后，它体内碳14含量为h(x).1x 1如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么h(x)=((2)5730). 10000

当=10000时，利用计算工具求得h(10000)=( 1 2)5730≈0.30.所以，生物死亡10000年后，它体内碳14含量衰减为原来的约30%.三、教学建模活动实例对于数学建模的教学，不是只靠纸上谈兵的理论输入，而是应该组织学生切实体验选题、开题、做题、结题的全过程，才能提高他们发现和提出问题的能力以及分析和解决问题的能力，使他们从心底重视数学建模、热爱数学建模. 在新教材必修第一册第四章结束后，可以组织学生进行高中阶段第一次的数学建模活动

表2“建立函数模型解决实际问题”教案内容学习建立函数模型解决实际问题目标设通过高中数学建模课程的学习，学生能有意识地用数学语言表达现实世界，发现和提出问题，计感悟数学与现实之间的关联；学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践的经验，认识数教学流程目标学模型在科学、社会、工程技术等诸多领域的作用，提升实践能力，培养创新意识和科学精神.重点将实际问题转化为数学问题，数据的收集与函数模型的选择和建立.难点数据的收集，函数模型的选择.选题开题做题结题一、选题（实际情境）教学过程 可在教科书中给学生提供的五个选题中选择一个，也可以根据自己的兴趣，与教师商议确 定一个感兴趣的课题.如“不同室温下泡制一杯最佳口感茶水所需的时间.”

二、开题（提出问题）

组建小组团队（一般3至5人）确定选题后，小组需要撰写开题报告，开题报告包括课题 名称、团队组成员及分工、选题意义与目标、研究计划（包括研究的思路、可能遇到的困难 以及解决策略等）、预期的结果与呈现方式. 以探究茶水水温为例：

1、课题名称：探究茶水水温的变化规律

2、团队组成成员及分工

成员1：撰写开题报告、制作演示文稿；

成员2和成员3：实验探究，收集数据；

成员4：建立模型，检验模型，得出结论；

成员5：撰写研究报告，汇报研究成果.3、选题的意义：中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水温有关经过查找资料和人们的经验，表明某种绿茶用85℃的水泡制，再等到水温降到60℃时饮用，口感最佳，那么在室温25℃的环境下泡制好的茶水要等多久饮用，可以有最好的口感呢？我们可以通过实验，收集测试数据，建立茶水温度关于时间的函数模型，再根据模型计算出泡好的茶放置多少时间达到最佳饮用口感.4、研究计划

（1）实验准备：茶叶、水、测温设备（用带测温装置的茶杯最佳）；（2）实验获取数据并记录； （3）分析数据（可做散点图），在此基础上选择合适的函数模型；

（4）检验模型，将已知的数据代入模型，根据模型与实际数据吻合程度，进行模型的调整直到得出最符合实际的函数模型

（5）解决实际问题.三、做题（研究过程）

此过程为数学建模的核心过程.做题的基本过程包括问题的重述、基本假设、符号说明、问题分析、模型的建立与求解、模型分析与模型的应用七个方面.以探究茶水水温为例：

1、问题重述：在室温25℃的环境下，刚泡好的茶水（85℃）大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？2、变量和符号；茶水放置的时间min,对应的茶水温度℃；3、研究假设：y=f(x)

4、研究目的：求f(x);方程f(x)=60的解，并进行实践检验.5、研究过程

（1）收集数据

泡好一杯茶水，用测温设备收集茶水温度随时间变化的数据，得到的数据填入表2.1.表2.1时间/min012345水温/℃（2）分析数据

根据表2.1画散点图，如图1图1y

100 80 60 40 20 001234x5 （3）建立模型

观察散点图的分布状况，学生可能会考虑三种函数模型来描述：一次函数、反比例函数和指数型函数.那么选择哪种函数模型来描述茶水温度与时间的关系呢？教师应鼓励学生多查阅资料、多做尝试，亲身体验遇到问题、分析问题、解决问题的过程.最后根据自己小组的努力确定函数模型，通过运算，计算出最终函数.实际上，基于物体冷却原理的分析，温差越大冷却速度越快，并且茶水温度降至室温就不能在降，所以茶水温度随着时间降低的速度是先快后慢的，通过查阅资料，发现根据牛顿冷却定律模型，茶水水温与时间的关系考虑指数型函数y=kax+25.通过具体数值可计算出参数和. （4）检验模型

“实践是检验真理的唯一标准”，将已知的实验数据代入已确定的模型，如果函数模型与实际数据基本吻合，说明此函数模型能很好的描述实际问题，否则需要重新选择函数重复进行上述过程，直到最终符合实际问题的模型. （5）求解问题

确定好模型之后，根据模型求出最终需要的结果：泡制一杯最佳口感的某种茶水所需时间大约是多少分钟.四、结题（撰写研究报告、汇报研究成果、做此研究的评价）

各小组根据教科书P165页的研究报告参考格式，跟本小组成员商议后如实填写自己小组对于本课题的研究过程，并且制作演示文稿（形式多样）；然后在全班展示交流小组在的具体研究过程、遇到的问题和解决的策略、在研究活动中的收获与体会等；最后并