优质课大赛-高中数学-2013年度-研讨课-《线性规划的专题复习》 郭施敏

第十一届全国高中信息技术第十一届全国高中信息技术与课程整合优质课大赛《线性规划专题复习》教学设计（高三第一轮总复习）学校:广东省广州市第十六中学授课教师：郭施敏数学科组指导教师：徐恒善2013年11月《线性规划专题复习》（第一轮总复习）教学设计广东省广州第十六中学数学科组郭施敏一、内容与内容解析本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修5第三章《不等式》中3.3.2《简单的线性规划问题》的第一轮总复习。主要内容是线性规划问题相关概念和解法以及线性规划问题的综合应用。线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法，广泛地应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出。线性规划以及线性规划简单的延伸，是解决二元函数的最值问题的有效途径。本节内容蕴含了丰富的数学思想方法，突出体现了优化思想、数形结合思想和化归思想。二、教学对象分析三、教学目标及教学重点、难点分析（一）教学目标分析◆知识与能力1.了解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；2.会用图解法求线性目标函数的最大值、最小值；3.与向量、函数、数列等知识的综合应用。◆过程与方法1.培养学生观察、联想、作图和综合运用知识的能力，渗透化归、数形结合的数学思想。2.培养学生自主、合作、探究的学习模式，在已有的知识结构基础上，经过课堂学习对线性规划问题的理解更深刻和解决问题的能力有所提高。◆情感态度与价值观：1.在教学中体现“重过程、重情感、重生活”的理念；2.结合教学内容培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识；3.体现新课程标准的以人为本，激发学生的创新精神，鼓励学生积极参与课堂学习，使每个学生都得到发展；（二）教学重点分析考纲的研读：了解二元一次不等式所表示的平面区域;了解线性规划的意义,并会简单的应用。基于以上研究，制定本节课的教学重点：线性规划问题的图解法；以及线性规划问题的综合应用。（三）教学难点分析1．教学问题诊断分析本节课学生在学习过程中可能遇到以下疑虑和困难：（1）用图解法解线性规划问题中，为什么要将求目标函数最值问题转化为经过可行域的直线在y轴上的截距的最值问题及如何想到这样的转化；（2）线性规划问题的适当延伸，理解不同形式下代数式的几何意义，数形结合思想的深入理解；（3）综合运用向量、函数和数列等知识把问题转化为线性规划问题。为此教学中教师要为学生精心创设探究情境和问题，并作适度的引导，通过例题的展示和一系列的变式训练，帮助学生通过观察和积极主动思考，对线性规划有更深刻的理解；借助于动手画图，几何画板展示等形式进行深入探究，对线性规划问题的解决能力有进一步提高，解决此类问题积累更丰富的经验。２.教学难点：将代数问题转化为几何问题解决，综合运用数学知识解决线性规划问题。四、教法分析新课程倡导学生积极主动、勇于探索的学习方式，课堂中应注重创设师生互动、生生互动的和谐氛围，通过学生动手实践、动脑思考等方法探究数学知识获取直接经验，进而培养学生的思维能力和应用意识等。本节课以学生为中心，以问题为载体，采用启发、引导、探究相结合的教学方法。（1）通过课前热身，帮助学生复习二次不等式与平面区域的关系为本节课做好知识铺垫；（2）通过例题展示，使学生对图解法解决线性规划问题有更深刻的认识；（3）通过精心设计的变式训练，提供“观察、探索、交流”的机会，引导学生独立思考，有效地调动学生思维，使学生体会数形结合的思想，对线性规划问题的延伸有了更宽的认识。五、教学支持条件分析根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，调动学生的学习兴趣，借助信息技术工具，以“几何画板”软件为平台完成以下教学过程：（1）将目标函数与直线方程进行转化，通过直线的平行移动的演示，观察纵坐标的变化，求出目标函数的最值。（2）在斜率和距离的理解上，直观展示定点与目标区域的关系。（3）综合运用指数函数知识，发现动态的非线性目标函数与静态的平面区域的关系。适度使用多媒体教学，让学生体会用“数形结合”思想方法建立起代数问题和几何问题间的密切联系。六、教学过程与信息技术的整合点步骤目标与内容教学方法及设计意图整合点与软件1.问题引入，联系生活感官刺激，调动学生参与课堂的积极性。让学生听录音，阅读ppt文本演示材料，并思考“选择牛奶还是果汁的问题”，激发学生学习兴趣。本整合点为：先利用ppt的语音插入功能插入全国优质课的一段课堂录音。播放调用语音，实现异时空教学。2.知识梳理，热身训练知识重温，限时训练。课前练习，自我检测线性规划知识。本整合点为：利用了ppt文本演示和复选框控件操作按钮，增强课件的交互功能。而在课件中添加“60秒时钟计时器”的flash插件，为了让学生有时间紧迫感，提高课堂效率。3.典型例题，重点突出例题讲解，突出重点，培养学生数形结合的重要数学思想。动笔作图，观察电子白板演示动画。克服传统教学的枯燥想象，真正意义上实现的数形结合。☆本整合点为：利用几何画板绘制函数和动画设置功能。动态演示可行域和目标直线，直观给学生呈现直线截距的变化对z数值的影响。4.变式训练，难点突破题组设计，层层递进。积极思考，动手操作，加深认识。利用几何画板和PPT解决了线性规划的几大难点：整点问题、距离、斜率思考：整点问题分组讨论，汇报结果。☆本整合点为：利用几何画板出现和隐藏功能，预先设置整点可行域，让学生明辨整点可行域和普通可行域。变式训练1：最优解问题变式训练2：距离问题变式训练3：斜率问题帮助学生深刻理解z的几何意义，从而突破难点。本整合点为：利用ppt文本演示的功能，精心设计元素的出现消失的先后顺序，达到了丰富的动画效果，赤裸裸展示了教师的思维过程。5.课后练习，综合应用练习1：与向量相结合几何画板嵌入ppt，节省切换时间。本整合点为：利用ppt的工具箱，添加gsp控件。练习2：与函数相结合互动软件，动态演示。根据教学需要输入a的值，自动绘制单一个函数图象，也可通过控件使得a在制定范围内连续变化，绘制连续变化的无数个函数图象，并保留动画轨迹。使得学生直观感受参数a的变化对函数图像的影响。本整合点为：利用几何画板的参数动画设置和函数轨迹追踪功能。添加交互文本框和动画控制按钮。练习3：零点的分布问题实物投影学生学案，电子白板上点评作答。★本接整合点为：实物投影学生学案的作答，使用电子白板的强大交互功能，及时修改学生错误。插入视频，展示课堂实录。6.课外拓展，丰富多彩利用excel解决线性规划问题①excel嵌套ppt，演示教师制作互动小程序，通过需要修改限制条件可马上得到最优解；②播放视频，师生一起观看制作过程。本整合点为：①使用ppt插入对象的功能，利用excel强大的函数功能，根据预设，可以找到任何二元线性目标函数任何约束条件的最优解。②利用ppt插入windowsmediaplayer控件，播放excel制作小软件教程。课外网站大搜查图片展示网站搜索相关的内容，激发学生自我学习数学的兴趣；专题网站制作，提供交互平台。本整合点：①利用百度、google等网站介绍相关内容，如mathematic、malab等数学软件解决线性规划问题。★②制作高中数学课外拓展网站，网站后台上传功能提供学生需要的课外知识。学生也能注册登录，把课外好的素材上传网站与同学分享。为师生提供了一个实时强大的交互平台和资源库。（一）知识梳理，温故知新。1．二元一次不等式表示平面区域：二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域（不包括边界）．（1）同侧同号，异侧异号；（2）直线定界，特殊点定域；2．简单线性规划问题的概念：（1）线性规划的定义：一般地，求线性目标函数（关于变量的线性函数，称为线性目标函数）在线性约束条件下（关于变量的二元一次不等式（组），称为线性约束条件）的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题。（2）可行解：满足线性约束条件的解；可行域：由所有可行解组成的集合；最优解：分别使目标函数取得最大值和最小值的可行解。3．简单线性规划问题的解法：解决简单的线性规划问题常用图解法，图解法的基本步骤如下：一析（分析z的几何意义）；二画（即作出可行域，并作出直线）；三移（即确定的平移方向，依可行域判断取得最优解的点），四求（即解相关方程组，求出最优解，从而得出目标函数的最大值或最小值）。【设计意图：数学是现实世界的反映，数学知识对生活的实际帮助以及在数学问题的解决下如何一脉相承。引导学生了解线性规划问题是解决二次函数最值问题的有效途径以及生活中优化问题的现实意义，激发学生对课堂学习的兴趣。紧接着温故线性规划的相关知识，做好本课专题复习课的知识准备。】（二）课前热身，知识铺垫。1．不等式表示的平面区域在直线的（）A．右上方B．右下方C．左上方D．左下方解析：选B2．不等式组表示的平面区域是（）ABCD解析：选A。特殊点定域，排除法。02xy02xy211【解析】平面区域D的面积为:(关注：以解析几何、三角中的曲线作为区域边界的非线性约束条件)师生活动：学生分组讨论，小组汇报答案。教师PPT展示完整解题过程。【设计意图：数学知识是一脉相承的，温故线性规划的相关知识，为本节专题复习课做好知识准备。】（三）例题辨析，巩固知识。例题：设满足约束条件，（1）求目标函数的最大值与最小值；（2）求目标函数的最大值与最小值．【解】（1）①即截距为，z的几何意义为：截距的10倍。②作出可行域，如图1，并求得A（5，2），B（1，1），。令，作直线。③当把直线向上平移时，所对应的z随之增大，当把直线向下平移时，所对应的z随之减小．④由图可得，当直线的平行线与直线重合时，即平行线经过A（5,2）或z取得最大值，；当直线的平行线经过点B（1，1）时，z取得最小值，．故z的最大值是50，最小值是16。（2）①，截距是-z，z的几何意义为：截距的相反数。②作出可行域，如图2，并求得A（5，2），B（1，1），。令，作直线．③当直线向上平移时，所对应的z随之减小，当直线向下平移时，所对应的z随之增大．④由图可得，当直线的平行线经过点A(5,2)时，z取得最大值；当直线的平行线经过点时，取得最小值。故z的最大值是8，最小值是。【小结】二元线性规划可以解决二元函数的最值问题；线性规划图解法的步骤：析、画、移、求。分析z的几何意义至关重要。当可行域是封闭的多边形内部区域，最优解常常发生在多边形顶点。第一问解答中，最大值的最优解有无数多个，因为与边界平行。教师提出思考问题：（1）若问题（2）中x，y均为正整数，对结果产生什么影响；（2）若问题（2）中，对结果产生什么影响。师生活动：教师展示线性规划问题的规范作答，学生共同动手画图完成。例题展示完成，教师引导学生总结线性规划问题的解题步骤以及各类注意事项。最后通过思考教师提出的问题，学生对边界的确定更为慎重，对整点问题有初步认识。【设计意图：例题展示既可规范作答格式，又帮助学生深刻理解数形结合的思想。让学生体会如何把代数问题转化为几何问题，以及在例题解答中产生最优解有无穷多个，引导学生积极思考和获得产生最优解有无穷多个情况的直接经验。而在例题讲解完，提出两个思考问题，使学生更加严谨对待边界实虚的处理以及整点问题方法的研究。同题研究多个问题，使课堂效率大大提高。】（四）变式思考，拓宽解题视野例题的变式训练，在线性约束条件不变的情况下，根据以下不同的目标函数完成以下练习：设满足约束条件，<变式1>目标函数（m>0），z取得最大值的最优解有无穷多个，求m的值。解：斜率m，与平行，，，<变式2>求的最大值和最小值。解：令，，故，.<变式3>求的最大值和最小值。解：z几何意义：到的距离的平方。记到的距离为d，，，<变式4>求的最大值和最小值。解：z几何意义：到的斜率，师生活动：教师引导学生如何把代数问题转化为几何问题过程，运用几何画板和PPT展示动态。学生自主观察，动手操作，教师引导学生总结代数式的各种几何意义。【设计意图：一题多变，大大提高课堂效率。通过观察、联想、思考、讨论，找到各题的解决方法。借助“几何画板”集中呈现目标函数的图形变化，建立精准的数形联系。同时二元函数的最值问题转化为点点距、点线距、斜率等几何最值问题。加深学生对线性规划问题的理解，使学生感受代数与几何的密切联系。】（五）独思共议，综合应用探究成果课堂练习1、（1）已知O是坐标原点，点A（-1,1）若点M（x,y）为平面区域上的一个动点，则·的取值范围是（） A．[-1．0] B．[0．1] C．[0．2] D．[-1．2]【解析】C（2）设x，y满足，求师生活动：学生自主完成，分小组汇报答案。学生利用例题总结“当可行域是封闭的多边形内部区域，最优解常常发生在多边形顶点。”的经验，将顶点代入解决。教师点拨第二问的换元法解答。【设计意图：通过与向量知识的综合应用，加强对“数形结合”数学思想的认识，形成学生良好的认知结构。通过此题检测学生对已学知识的掌握情况，进一步培养学生的运算能力和准确作图的能力。并在练习1的第（2）小问中，渗透换元思想。】课堂练习2、已知x、y满足平面区域M，使函数的图像经过区域M时的的取值范围___________解析：画出可行域，求出A（1,9）此时a=9；C（3,8）此时a=2；几何画板显示a从2增长至9的图像痕迹如图。答案师生活动：学生独立思考后，汇报各种解答思路。教师利用几何画板动态演示由a变化，引起目标函数的变化，从而影响目标函数与可行域的几何关系。学生通过老师的演示，分享自己对a变化的感受，以及总结此类问题的研究。进而留下思考题：若目标函数固定，可行域变化，该如何解决。【设计意图：教师预先画好可行域，突出考查重点，提高课堂效率。目标函数是指数函数，提高学生对非线性规划问题的认识。教师设计参数a，引导学生寻求解决动态目标函数问题的方法。通过与指数知识的综合应用，拓宽学生视野，提高综合运用数学知识的能力。】课堂练习3、（1）已知实系数方程的一个根大于0且小于1，另一个根大于1且小于2，求的取值范围．