人教课标实验A版-选修2-3-第一章 计数原理-1.2　排列与组合-1.2.1 排列

排列；排列数公式·典型例题分析例1计算解法一应用公式①计算：==解法二应用公式③计算：===例2求证：（1）+++^+=1-(2)A+AA+AA=A(n,mN,nm2).分析

由于涉及排列数恒等式的证明，因此选用公式Ann=n！和Anm证明（1）+++^+=+++^+ ==-， 左边=（1-）+（-）+（-）+^+[-]=1-(2)A+AA+AA=+m*+m(m-1)*====A评注：(1)等式左边是n-1项的和，右边是两项的差，因此与数列求得它们的和．(2)在通分时要注意它们的公分母是什么，变形时要观察它们有没有含阶乘的公因式，如有，要及时提出公因式．例3

解方程或不等式：(1)3Ax3=2Ax+12+6Ax2；(2)A8x＜6A8x-2分析(1)这里虽然涉及含字母的排列数，但因2，3数字比较小；仍应用公式Anm=n(n-1)…(n-m+1)．(2)由于题目中x、x-2为字母，只能应用公式A=解

(1)3x(x-1)(x-2)=2(x+1)x+6x(x-1)．∴x≥3，∴3(x-1)(x-2)=2(x+1)+6(x-1)，x2-19x+84＜0．∴7＜x＜12．又∵8≥x且x-2≥0，即2≤x≤8，∴x=8．说明

在解有排列数的方程或不等式时，必须注意Anm中的n为自然数，m为非负整数，且n≥m．因此求出方程或不等式的解后，要进行检验，把不符合的解舍去．例4

有4位司机，4位售票员分配到四辆公共汽车上工作，每一辆汽车分别有一位司机和一位售票员，则所有不同的分配方法总数是

[

]A．A84B．A88C．A44·A44D．4A44解

把四辆汽车看成是不同的四个位置1，2，3，4；第一步把4名司机分配到四辆车上的方案是A44；第二步再把4名售票员分到四辆车上分配方法也是A44．此两步完成则分配方案即告完成，所以分配方法为A44·A44种，故选C．例5

某教室第一排有标着1～8八个号码的座位，现有3个学生去坐，有多少种不同的坐法？分析

把8个号码看成是8个不同元素，把3个学生A、B、C作为三个“位置”，以8个不同元素中每次取出三个元素的一种排法可以对应于一种坐法，如371，表示A、B、C三个学生分别坐在第3、7、1号．因此问题归结为从8个不同元素中每次取出3个不同元素的排列数A83．解

A83=8×7×6=336(种)答

有336种不同的坐法．说明

也可以这样想，学生A先选座位，有8种不同的选法；其次学生B选座位，因学生A已占了一个座位，所以只有7种不同的坐法；最后学生C确定座位，则只有6种不同的坐法．因为这是分步问题，所以应当用乘法原理，共有8×7×6种不同坐法．例6

在3000与8000之间，数字不重复的奇数有多少个？分析

符合条件的奇数有两类．一类是以1、9为尾数的，共有A21种选法，首数可从3、4、5、6、7中任取一个，有A51种选法，中间两位数从其余的8个数字中选取2个有A82种选法，根据乘法原理知共有A21A51A82个；一类是以3、5、7为尾数的共有A31A41A82个．解

符合条件的奇数共有A21A51A82+A31A41A82=1232个．答

在3000与8000之间，数字不重复的奇数有1232个．例7

某小组6个人排队照相留念．(1)若分成两排照相，前排2人，后排4人，有多少种不同的排法？(2)若分成两排照相，前排2人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种排法？(3)若排成一排照相，甲、乙两人必须在一起，有多少种不同的排法？(4)若排成一排照相，其中甲必在乙的右边，有多少种不同的排法？(5)若排成一排照相，其中有3名男生3名女生，且男生不能相邻有多少种排法？(6)若排成一排照相，且甲不站排头乙不站排尾，有多少种不同的排法？分析

(1)分两排照相实际上与排成一排照相一样，只不过把第3～6个位子看成是第二排而已，所以实际上是6个元素的全排列问题．(2)先确定甲的排法，有A21种；再确定乙的排法，有A41种；最后确定其他人的排法，有A44种．因为这是分步问题，所以用乘法原理，有A21·A41·A44种不同排法．(3)采用“捆绑法”，即先把甲、乙两人看成一个人，这样有A55种不同排法．然后甲、乙两人之间再排队，有A22种排法．因为是分步问题，应当用乘法原理，所以有A55·A22种排法．(4)甲在乙的右边与甲在乙的左边的排法各占一半，有A6种排法．(5)采用“插入法”，把3个女生的位子拉开，在两端和她们之间放进4张椅子，如____女____女____女____，再把3个男生放到这4个位子上，就保证任何两个男生都不会相邻了．这样男生有A43种排法，女生有A33种排法．因为是分步问题，应当用乘法原理，所以共有A43·A33种排法．(6)符合条件的排法可分两类：一类是乙站排头，其余5人任意排有A55种排法；一类是乙不站排头；由于甲不能站排头，所以排头只有从除甲、乙以外的4人中任选1人有A41种排法，排尾从除乙以外的4人中选一人有A41种排法，中间4个位置无限制有A44种排法，因为是分步问题，应用乘法原理，所以共有A41A41A44种排法．解

(1)A66=720(种)(2)A21·A41·A44=2×4×24=192(种)(3)A55·A22=120×2=240(种)(4)A66=360(种)(5)A43·A33=24×6=144(种)(6)A55+A41A41A44=120+4×4×24=504(种)或法二：(淘汰法)A66-2A55+A44=720-240+24=504(种)说明

(1)“相邻”问题，n个元素排成一排，其中有m个元素相连的排法数A(2)“相间”问题中，若两类元素个数相同(都是n个)，则排列总数为2An+1nAnn；若两类元素个数不同(一类n个，另一类n+1个)，则排列总数是An+1n+1Ann．(3)“次序”一定问题中，n个元素排成一行，其中有m个元素次序一定的排法数是Ann/Amm．(4)“不相邻”问题中，n个元素排成一行，其中有m个元素两两不相邻的排法数是AA例8

用0，1，2，3，4这五个不同数字组成无重复数字的五位数，(1)若按由小到大的顺序进行排列，则42130是第多少个数？(2)第60个数是什么数？解

(1)首数分别是1，2，3的五位数有A31·A44=72个；以41，40为首二位的共有2A33=12个，以420为首三位的有A22=2个；以421为首位的有42103，42130两个，其中，42130大．所以42130是第72+12+2+2=88个数．(2)以1，2为首位的有A21A44=48个，以30，31为首二位的有A21·A33=12个，其中最大的是31420，所以第60个数是31420．说明

这是一个综合运用分步计数原理与分类计数原理的题目，解题时注意处理好如何分类．如何分步骤的问题．例9

以2、3、4、5四个数组成没有重复数字的四位数．(1)求所有这样的四位数的数字之和．(2)求所有这些四位数之和．分析

(1)每一个这样的四位数的数字之和相同，都是2+3+4+5=14．故问题的关键是求有多少个这样的四位数．由排列公式易得四位数的个数为A44．(2)解此问必须采用不同于第一问的思维方法．因为任意一个四位数abcd都可以写成a×103+b×102+c