安徽省淮北市同仁中学2023年高二数学第二学期期末学业水平测试模拟试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．奇函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集是（）A． B．C． D．2．体育场南侧有4个大门,北侧有3个大门,某学生到该体育场练跑步,则他进出门的方案有()A．12种 B．7种 C．24种 D．49种3．已知为虚数单位，，则复数的虚部为()A． B．1 C． D．4．某农场给某种农作物的施肥量x(单位：吨)与其产量y(单位：吨)的统计数据如表：由于表中的数据，得到回归直线方程为y=9.4x+a.，当施肥量x=6时，该农作物的预报产量是(A．72.0 B．67.7 C．65.5 D．63.65．从一批苹果中抽出5只苹果，它们的质量分别为125、a、121、b、127(A．4 B．5 C．2 D．56．在极坐标系中，圆的圆心的极坐标为（）A． B． C． D．7．已知集合，，若图中的阴影部分为空集，则构成的集合为（）A． B．C． D．8．将函数的图象向右平移个单位长度得到图象，则函数的解析式是（）A． B．C． D．9．从1，2，3，4，5中不放回地依次选取2个数，记事件“第一次取到的是奇数”，事件“第二次取到的是奇数”，则（）A． B． C． D．10．已知某批零件的长度误差（单位）服从正态分布，若，，现从中随机取一件，其长度误差落在区间内的概率（）A．0.0456 B．0.1359 C．0.2718 D．0.317411．2只猫把5只老鼠捉光,不同的捉法有()种.A． B． C． D．12．如图，已知棱长为1的正方体中，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．复数其中i为虚数单位，则z的实部是________________.14．四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有两个空盒的不同放法共有__________种.15．极坐标方程化成直角坐标方程是__________.16．在上海高考改革方案中，要求每位高中生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科（3门理科，3门文科）中选择3门学科参加等级考试，小李同学受理想中的大学专业所限，决定至少选择一门理科学科，那么小李同学的选科方案有________种.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）讨论的导函数零点的个数；（2）若函数存在最小值，证明：的最小值不大于1．18．（12分）中国高铁的快速发展给群众出行带来巨大便利，极大促进了区域经济社会发展.已知某条高铁线路通车后，发车时间间隔（单位：分钟）满足，经测算，高铁的载客量与发车时间间隔相关：当时高铁为满载状态，载客量为人；当时，载客量会在满载基础上减少，减少的人数与成正比，且发车时间间隔为分钟时的载客量为人.记发车间隔为分钟时，高铁载客量为.求的表达式；若该线路发车时间间隔为分钟时的净收益（元），当发车时间间隔为多少时，单位时间的净收益最大？19．（12分）小王每天自己开车上班，他在路上所用的时间（分钟）与道路的拥堵情况有关.小王在一年中随机记录了200次上班在路上所用的时间，其频数统计如下表，用频率近似代替概率.（分钟）15202530频数（次）50506040（Ⅰ）求小王上班在路上所用时间的数学期望；（Ⅱ）若小王一周上班5天，每天的道路拥堵情况彼此独立，设一周内上班在路上所用时间不超过的天数为，求的分布列及数学期望.20．（12分）已知函数f(x)＝ln.(1)求函数f(x)的定义域，并判断函数f(x)的奇偶性；(2)对于x∈[2，6]，f(x)＝ln＞ln恒成立，求实数m的取值范围．21．（12分）已知.（I）求的最小值及最大值；（II）设，，，求的最大值.22．（10分）若，求证：．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

根据函数为奇函数，以及上的单调性，判断出上的单调性，求得的值，对分为四种情况讨论，由此求得不等式的解集，进而求得的解集.【详解】由于函数为奇函数，且在上递减，故在上递减，由于，所以当或时，；当或时，.所以当或时.故当或即或时，.所以不等式的解集为.故本小题选A.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性、单调性，考查函数变换，考查含有函数符号的不等式的解法，属于中档题.2、D【解析】第一步，他进门，有7种选择；第二步，他出门，有7种选择．根据分步乘法计数原理可得他进出门的方案有7×7＝49(种)．3、A【解析】

给两边同乘以，化简求出，然后可得到其虚部【详解】解：因为，所以所以，所以虚部为故选：A【点睛】此题考查复数的运算和复数的有关概念，属于基础题4、C【解析】

根据回归直线方程过样本的中心点(x,y)，先求出中心点的坐标，然后求出【详解】x=2+3+4+54=3.5,y=26+39+49+544=42，因为回归直线方程过样本的中心点(x【点睛】本题考查了回归直线方程的性质，考查了数学运算能力.5、C【解析】

本题由题意可知，首先可以根据a、b中一个是124，得出另一个是：【详解】从一批苹果中抽出5只苹果，它们的质量分别为125、a、该样本的中位数和平均值均为124，所以a，b中一个是另一个是：5×124-125-124-121-127=123，所以样本方差s2所以该样本的标准差s是2，故选：C。【点睛】本题考查样本的标准差的求法，考查平均数、中位数、方差、标准差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题，本题主要是能够读懂题目，能从题目所给条件中找出a、6、A【解析】由圆，化为，∴，化为，∴圆心为，半径r=．∵tanα=，取极角，∴圆的圆心的极坐标为．故选A．7、D【解析】

先化简集合，注意，由题意可知，，确定即可【详解】或，图中的阴影部分为空集，或，即或又，，故选D【点睛】考查维恩图的识别、对数计算、列举法及集合的关系8、C【解析】

由题意利用三角函数的图象变换原则，即可得出结论．【详解】由题意，将函数的图象向右平移个单位长度，可得.故选C．【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换，熟记图像变换原则即可，属于常考题型.9、A【解析】分析：利用条件概率公式求.详解：由条件概率得=故答案为：A.点睛：（1）本题主要考查条件概率的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)条件概率的公式:=.10、B【解析】

，由此可得答案．【详解】解：由题意有，故选：B．【点睛】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．11、B【解析】分析：利用乘法分步计数原理解决即可.详解：由于每只猫捉老鼠的数目不限，因此每一只老鼠都可能被这2只猫中其中一只捉住，由分步乘法计数原理，得共有不同的捉法有种.故选：B.点睛：(1)利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．(2)分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成．12、D【解析】

根据与平面的关系，先找到直线与平面的夹角，然后通过勾股定理求得各边长，即可求得夹角的正弦值。【详解】连接、相交于点M，连接EM、AM因为EM⊥AB，EM⊥BC1所以EM⊥平面则∠EAM即为直线与平面所成的角所以所以所以选D【点睛】本题考查了空间几何体线面的夹角关系，主要是找到直线与平面的夹角，再根据各长度求正弦值，属于中档题。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、5【解析】试题分析：．故答案应填：5【考点】复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如，其次要熟悉复数的相关概念，如复数的实部为，虚部为，模为，共轭为14、84【解析】分析：先选两个空盒子，再把4个小球分为，两组，分到其余两个盒子里，即可得到答案.详解：先选两个空盒子，再把4个小球分为，两组，故有.故答案为84.点睛：本题考查的是排列、组合的实际应用，考查了计数原理，注意这种有条件的排列要分两步走，先选元素再排列.15、【解析】分析：由极坐标方程可得或，化为直角坐标方程即可.详解：由极坐标方程可得或，，即或即答案为或.点睛：本题考查极坐标与直角坐标的互化，属基础题.16、19【解析】

6门学科（3门理科，3门文科）中选择3门学科可以分为全为理科，有理科有文科，全为文科，决定至少选择一门理科学科包括前两种，考虑起来比较麻烦，故用间接法：用总数减去全为文科的数量.【详解】根据题意，从物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科任选3门，有种选取方法，其中全部为文科科目，没有理科科目的选法有种，所以至少选择一门理科学科的选法有20－1＝19种；故答案为：19，【点睛】本题考查排列组合.方法：1、直接考虑，适用包含情况较少时；2、间接考虑，当直接考虑情况较多时，可以用此法.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）证明见解析.【解析】

（1）根据条件求出f'（x），然后通过构造函数g（x）＝x2ex（x＞1），进一步得到f'（x）的零点个数；（2）由题意可知a≥1时，函数f（x）无最小值，则只需讨论当a＜1时，f（x）是否存在最小值即可．【详解】(1),令,故在上单调递增,且.当时,导函数没有零点,当时,导函数只有一个零点.(2)证明:当时..则函数无最小值.故时,则必存在正数使得.函数在上单调递减,在上单调递增，,令.则令,则,所以函数在上单调递减,在上单调递增，所以,即.所以的最小值不大于1.【点睛】本题考查了函数零点个数的判断和利用导数研究函数的单调性与最值，考查了函数思想和分类讨论思想，属中档题．18、（1）（2）发车时间间隔为分钟时，最大【解析】

（1）分和两段求函数的解析式，当时，，当时，，求；（2）根据（1）的结果，分段求函数，利用导数求函数的最大值.【详解】解：（1）当时，不妨设，因为，所以解得.因此.（2）①当时，因此，.因为，当时，，单增；当时，，单减.所以.②当时，因此，.因为，此时单减.所以，综上，发车时间间隔为分钟时，最大.【点睛】本题考查了分段函数求解析式，以及利用导数解实际问题的最值，本题的关键是正确表达和.19、(Ⅰ)；(Ⅱ)答案见解析.【解析】分析：（Ⅰ）先由题得到x=15,20,25,30，再求出其对应的概率，最后得到X的分布列和期望.（Ⅱ）利用二项分布求的分布列及数学期望.详解：（Ⅰ），，，，的分布列为15202530所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，每天上班在路上所用时间不超过的概率为，依题意，，分布列为，，012345.点睛：（1）本题主要考查随机变量的分布列和数学期望，考查二项分布，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)若～则利用该公式可以提高计算效率.20、(1)(－∞，－1)∪(1，＋∞)，奇函数．(2)0＜m＜7.【解析】

(1)解不等式＞0，即得函数的定义域.再利用奇偶函数的判定方法判断函数的奇偶性.（2）转化成以0＜m＜(x＋1)(7－x)在x∈[2，6]上恒成立．再求出函数的最小值得解.【详解】(1)由＞0，解得x＜－1或x＞1，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f(－x)＝ln＝ln＝ln＝－ln＝－f(x)，所以f(x)＝ln是奇函数．(2)由于x∈[2，6]时，f(x)＝ln＞ln恒成立，所以＞＞0，因为x∈[2，6]，所以0＜m＜(x＋1)(7－x)在x∈[2，6]上恒成立．令g(x)＝(x＋1)(7－x)＝－(x－3)2＋16，x∈[2，6]，由二次函数的性质可知，x∈[2，3]时函数g(x)单调递增，x∈[3，6]时函数g(x)单调递减，即x∈[2，6]时，g(x)min＝g(6)＝7，所以0＜m＜7.【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，考查对数函数的单调性和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.21、（Ⅰ），.（Ⅱ）【解析】

（I）利用绝对值三角不等式求的最小值及最大值；（II）先利用基本不等式求出，再求解.【详解】解：（Ⅰ