矩阵的特征值和特征向量二次型

矩阵的特征值和特征向量二次型第1页，共58页，2023年，2月20日，星期二实验目的1、学会用MATLAB软件求矩阵的特征值和特征向量2、学会用MATLAB软件将二次型化为标准型3、通过用MATLAB软件编程来判断二次型的正定性第2页，共58页，2023年，2月20日，星期二一、特征值与特征向量第3页，共58页，2023年，2月20日，星期二第4页，共58页，2023年，2月20日，星期二其中：D为由特征值构成的对角阵，V为由特征向量作为列向量构成的矩阵。且使AV=VD成立用Matlab计算特征值和特征向量的命令如下：d=eig(A)仅计算A的特征值(以向量形式d存放)[V,D]=eig(A)trace(A)计算矩阵A的迹第5页，共58页，2023年，2月20日，星期二例1：求方阵的特征值、特征向量和迹解：>>A=[22-2;25-4;-2-45];>>[VD]=eig(A)>>trace(A)第6页，共58页，2023年，2月20日，星期二V=-0.29810.89440.3333-0.5963-0.44720.6667-0.74540-0.6667D=1.00000001.000000010.0000>>trace(A)ans=12第7页，共58页，2023年，2月20日，星期二答：特征值为：第8页，共58页，2023年，2月20日，星期二第9页，共58页，2023年，2月20日，星期二例2：求方阵的特征值、特征向量和迹解：>>A=[460;-3-50;-3-61];>>[VD]=eig(A)>>trace(A)第10页，共58页，2023年，2月20日，星期二二、矩阵的相似对角化第11页，共58页，2023年，2月20日，星期二例3：判断下列方阵是否可对角化。若可对角化，求出可逆阵P，使P-1AP为对角阵。第12页，共58页，2023年，2月20日，星期二解(1)：>>A=[460;-3-50;-3-61];>>[VD]=eig(A)>>rank(V)ans=3答：A可对角化，且V=00.5774-0.89440-0.57740.44721.0000-0.57740D=1000-20001第13页，共58页，2023年，2月20日，星期二>>A=[010;-120;-111];>>[VD]=eig(A)>>rank(V)ans=2答：A不可对角化。解(2)：V=00.63250.451100.63250.45111.00000.44720.7701D=100010001第14页，共58页，2023年，2月20日，星期二下述函数可用来判断矩阵是否可对角化，若可对角化返回1，否则返回0。第15页，共58页，2023年，2月20日，星期二functiony=trigle(A)%可对角化返回1，否则返回0。y=1;c=size(A);ifc(1)~=c(2)y=0;return;ende=eig(A);n=length(A);while1ifisempty(e)return;endd=e(1);f=sum(abs(e-d)<10*eps);g=n-rank(A-d*eye(n));iff~=gy=0;return;ende(find(abs(e-d)<10*eps))=[];end第16页，共58页，2023年，2月20日，星期二functiony=trigle(A)%可对角化返回1，否则返回0。y=1;c=size(A);ifc(1)~=c(2)y=0;returnende=eig(A);n=length(A);while1ifisempty(e)%若为空阵则为真第17页，共58页，2023年，2月20日，星期二return;endd=e(1);f=sum(abs(e-d)<10*eps);%特征值d的代数重数

g=n-rank(A-d*eye(n));%特征值d的几何重数

iff~=gy=0;return;ende(find(abs(e-d)<10*eps))=[];end第18页，共58页，2023年，2月20日，星期二例4：判断下列方阵是否可对角化。若可对角化，求出可逆阵P，使P-1AP为对角阵。第19页，共58页，2023年，2月20日，星期二解(1)：>>A=[4-312;5-854;6-1285;1-322]>>trigle(A)ans=0>>A=[1111;11–1–1;1–11–1;1–1–11];>>trigle(A)ans=1答：A不可对角化。>>[PD]=eig(A)解(2)：第20页，共58页，2023年，2月20日，星期二答：A可对角化，且P=-0.50000.21130.28870.78870.50000.7887-0.28870.21130.5000-0.5774-0.28870.57740.500000.86600D=-2.000000002.000000002.000000002.0000第21页，共58页，2023年，2月20日，星期二二、二次型化标准型第22页，共58页，2023年，2月20日，星期二第23页，共58页，2023年，2月20日，星期二例5：判断下列矩阵是否对称A=[1346;3795;4941;6510];B=A';if(A==B)fprintf('A是对称矩阵')elseif(A==-B)fprintf('A是反对称矩阵')elsefprintf('A既不是对称矩阵，也不是反对称矩阵')endendA是对称矩阵解：第24页，共58页，2023年，2月20日，星期二第25页，共58页，2023年，2月20日，星期二Matlab中二次型化成标准形的命令为：[P,T]=schur(A)其中：A二次型矩阵(即实对称矩阵)；

T为A的特征值所构成的对角形矩阵；

P为T对应的正交变换的正交矩阵，

P的列向量为A的特征值所对应的特征向量[P,T]=eig(A)第26页，共58页，2023年，2月20日，星期二例6：求一个正交变换，将二次型解：该二次型所对应的矩阵为化成标准形第27页，共58页，2023年，2月20日，星期二>>A=[110–1;11–10;0–111;-1011];>>[P,T]=schur(A)P=-0.50000.70710.00000.50000.5000-0.00000.70710.50000.50000.70710.0000-0.5000-0.500000.7071-0.5000

[P,T]=eig(A)第28页，共58页，2023年，2月20日，星期二T=-1.000000001.000000001.000000003.0000答：所作的正交变换为：二次型的标准型为：第29页，共58页，2023年，2月20日，星期二例7：求一个正交变换，将二次型解：该二次型所对应的矩阵为化成标准形第30页，共58页，2023年，2月20日，星期二>>A=[4–22;-21–1/2;2–1/21];>>[P,T]=schur(A)P=0.5458-0.00000.83790.59250.7071-0.3859-0.59250.70710.3859第31页，共58页，2023年，2月20日，星期二T=-0.34230000.50000005.8423答：所作的正交变换为：二次型的标准型为：第32页，共58页，2023年，2月20日，星期二三、正定二次型的判定第33页，共58页，2023年，2月20日，星期二第34页，共58页，2023年，2月20日，星期二1.顺序主子式判断法

⑴求二次型F=X’AX的矩阵A的各阶顺序主子式Di(i=1,2,3…..);⑵判断Di

是否大于0.程序：建立函数文件shxu.m第35页，共58页，2023年，2月20日，星期二function[C,M]=shxu(A)%C为A的各阶顺序主子式组成的向量%M为判定向量:ifC(i)>0,thenM(i)=1;%othersM(i)=0n=size(A);C=[];M=[];fori=1:n(1) A1=A([1:i],[1:i]);D=det(A1);

C=[CD];ifD>0m=1;elsem=0;endM=[M,m];end第36页，共58页，2023年，2月20日，星期二2、特征值判别法⑴求二次型f=X’AX的矩阵A的全部特征值（i=1,2,……）；⑵判断是否大于0.程序：建立函数文件tezh.m第37页，共58页，2023年，2月20日，星期二

function[T,M]=tezh(A)n=size(A);T=(eig(A))’;M=[];fori=1:n(1)ifT(i)>0m=1;elsem=0;endM=[M,m];end第38页，共58页，2023年，2月20日，星期二例8

判定下列二次型是否正定解二次型矩阵第39页，共58页，2023年，2月20日，星期二方法一顺序主子式>>A=[1–121;-130–3;209–6;1–3–619];>>[C,M]=shxu(A)答：此二次型是正定的。

C=12624M=1111第40页，共58页，2023年，2月20日，星期二方法二特征值法

T=0.06432.24217.494522.1991M=1111>>A=[1–121;-130–3;209–6;1–3–619]>>[T,M]=tezh(A)答：此二次型是正定的。第41页，共58页，2023年，2月20日，星期二例9

判定下列二次型是否正定解二次型矩阵第42页，共58页，2023年，2月20日，星期二方法一顺序主子式>>A=[9–624;-6130–30;24–3071];>>[C,M]=shxu(A)答：此二次型是正定的。C=911346174M=111第43页，共58页，2023年，2月20日，星期二方法二特征值法

T=0.657665.0894144.2530M=111>>A=[9–624;-6130–30;24–3071];>>[T,M]=tezh(A);

答：此二次型是正定的。第44页，共58页，2023年，2月20日，星期二例10

判定下列二次型是否正定解二次型矩阵第45页，共58页，2023年，2月20日，星期二方法一顺序主子式>>A=[10412;42–14;12–141];>>[C,M]=shxu(A)答：此二次型不是正定的。C=104-3588M=110第46页，共58页，2023年，2月20日，星期二方法二特征值法T=-17.420910.170820.2501M=011>>A=[10412;42–14;12–141];>>[T,M]=tezh(A)答：此二次型不是正定的。第47页，共58页，2023年，2月20日，星期二第48页，共58页，2023年，2月20日，星期二function[C,M]=shxuf(A)%C为A的各阶顺序主子式组成的向量%M为判定向量:ifC(i)>0,thenM(i)=1;ifC(i)<0,thenM(i)=-1;othersM(i)=0n=size(A);C=[];M=[];fori=1:n(1) A1=A([1:i],[1:i]);D=det(A1);C=[CD];

ifD>0m=1;elseifD<0m=-1；

elsem=0;endM=[M,m];end第49页，共58页，2023年，2月20日，星期二

function[T,M]=tezhf(A)n=size(A);T=(eig(A))’;M=[];fori=1:n(1)ifT(i)<0m=-1;elsem=0;endM=[M,m];end第50页，共58页，2023年，2月20日，星期二

function[T,M]=tezhf(A)n=size(A);T=(eig(A))’;M=[];fori=1:n(1)ifT(i)>0m=1;elseifT(i)<0m=-1;elsem=0;end