新课程背景下初中数学解题教学的探究与实践

新课程背景下初中数学解题教学的探究与实践

一、问题的提出（一）学生解题过程中存在一些普遍的问题著名的数学教育家波利亚说过：“中学数学教学的首要任务就是加强解题的训练”，“掌握数学意味着什么呢？就是善于解题，不仅善于解一些标准的题，而且善于解一些要求独立思考、思路合理、见解独到和有发明创造的题”.但目前学生在解题过程中还存在以下问题：1.对基本概念的理解、掌握不深刻，基本运算步骤不全，本是送分的题却丢分严重.2.审题阅读亟待加强，文字阅读能力低下，读不懂题意，对应用题、文字量大的试题存在一种本能的恐惧心理.3.解题格式及数学语言的表述不规范、表达不完整、表达太繁琐；因书写格式不规范、数学语言表达不严密而导致丢分现象较严重.4.“用数学”的意识差，即对现实生活中的问题抽象出数学的能力不强.这暴露出，我们的教学在关注学生对数学事实的真正理解，尤其在实际背景下运用的意识和能力的培养和训练严重不足.5.“做数学”的能力差，即对动手实践、合情推理和创新意识的训练不到位.对图形的变换部分学生感到困难.6.对原创题束手无策.目前各地的中考命题为了体现公平性，命题者都力求每个试题“原创”，不少平时成绩还可以的考生遇到这些“生面孔”，尽管做题不少，但还是失误较多，甚至有些题找不到解题思路.（二）当前解题教学存在的误区对于学生解题中存在的问题，不能归咎于学生的不肯动脑筋，我们应该反思自己的教学.因此，在数学教学中，加强“解题教学”的研究，重视培养学生“自觉分析”的意识和能力迫在眉睫！但是我们教师在解题教学探究中还存在以下几个误区：1.解题教学就是讲练结合解题教学常见的形式是“例题讲解→学生模仿→变式训练”，有的实际上只有前面两个环节.2.长期徘徊在一招一式的归类上，缺少观点上的提高或实质性的突破；有时候，只是解题方法的简单堆积或解题技巧的神秘出现，在解题具体操作与解题策略之间还缺少沟通桥梁.3.重结果，轻过程.注重“怎样解”，较少问“为什么这样解”，更少问“怎样会解”.4.更关注现成的、形式化问题的求解，对问题的“提出”和“应用”研究不足.5.解题研究缺少有效方法深入到心理层面.解题教学未能洞察数学解题的思维过程，解题研究缺少能深入到心理层面的有效方法.很多只是展示解题技巧和呈现解题方法，到底思维是如何展开的说不清楚，如“一题多解有利于发散思维的培养”，但却举不出例子.而现代意义上的“解题教学”注重的是解决问题的过程、策略以及思维的方法，更注重解决问题过程中情感、态度、价值观的培养.基于此，本研究旨在以新的视角重新审视解题教学，通过师生、生生之间的情感资源的多变互动交流，让学生动起来、活起来，促进学生解题能力的激活和探索能力的增强.二、教学解题教学的特点罗增儒教授把解题教学分成“简单模仿→变式练习→自发领悟→自觉分析”四个阶段（见下图），并且提出重点要加强对第四阶段的探究.第一步：简单模仿即模仿着老师或教科书的示范去解决一些识记性的问题.这是一个通过观察被模仿对象的行为，获得相应的表象的过程，从而这也是对解题基本模式加以认识并开始积累的过程.对于认知结构的改变而言，这一步具有数学学习中输入信息并开始相互作用的功能，其本身会有体验性的初步理解过程.一切的学习活动都是从模仿开始，每节数学课后的作业基本上都是模仿性练习.波利亚在《数学的发现》序言中说：解题“只能通过模仿和实践来学到它”.在这一步中，记忆是一项重要的内容，由记到忆，是指信息的巩固与输出的流畅.要注意提升记忆的敏捷性（记得快），记忆的持久性（记得牢或忘得慢），记忆的准确性（记得准），记忆的准备性（便于提取）.而要真正做到、做好这四点，还需要进入第二步.第二步：变式练习即在简单模仿的基础上迈出主动实践的一步，主要表现为做数量足够、形式变化（有干扰性）的习题，本质上是进行操作性活动与初步应用.变式练习的作用首先是通过变换条件和提问方式或增加问题数量而增强效果、巩固记忆、熟练技能；其次是通过必要的实践来理解所需要的操作数量、活动强度和经验体会.对于认知结构的心迹而言，这一步具有新旧知识相互作用的功能，做好了就能形成新认知结构的锥形.“变式”是防止非本质属性泛化的一个有效措施，中国的数学教育有“变式教学”的优良传统，“变式练习”是这一传统在解题教学上的重要体现.第三步：自发领悟即在模仿性练习与干扰性练习的基础上产生理解——解题知识的内化（包括结构化、网络化和丰富联系）.但在这一阶段，领悟常常从直觉开始，表现为豁然开朗、恍然大悟，而又“只可意会，不可言传”.这实际上是需要个人自己去体会“解题思路的探求”“解题能力的提高”“解题策略的形成”“解题模式的提炼”，从而获得能力的自身性、实质性提高的过程.对于认知结构的改变而言，这步具有形成新认知结构的功能.由于单纯的实践不能保证由感性到理性的飞跃、由“双基”到能力的升华，而这种飞跃或升华又需要一个长期的积累，因而，这是一个漫长而不可逾越的必由阶段（会存在高原现象）.目前的很多学生就挡在了这一步，很多优秀学生也停留在这一步，我们自己也总在这一阶段上挣扎，但已经认识到：为了缩短被动、自发的过程，为了增加一元主动、自觉的元素，解题学习还应有第四步.第四步：自觉分析即对解题过程进行自觉的分析，使理解进入到深层结构.这是一个通过已知学未知、通过分析“怎样解题”而领悟“怎样学会解题”的过程，也是一个理解从自发到自觉、从被动到主动、从感性到理性、从“基础”到创新，从内隐到外显的飞跃阶段.操作上通常是要经历整体分解与信息交合两个步骤.这个阶段与解题书写的最后一个环节（检查验算）是有区别的，它不仅反思计算是否准确、推理是否合理、思维是否周密、解法是否还有更多、更简单的途径等，而且要提炼怎样解题和怎样学会解题的理论启示（有构建“数学解题学”的前景）.相对于认知结构的改变而言，这一步具有形成并强化新认知结构的功能.数学新课程标准的一个显著特点是：从现行大纲的以获取知识、技能和能力为首要目标，转变为关注每一个学生的情感、态度、价值观和一般能力的发展，突出数学思维能力的培养，增进对数学的理解和应用数学的信心，初步形成评价和反思的意识.大量教育教学实践研究也表明，在数学学习过程中，如果在获得答案后不对学习过程进行回顾和反思，那么解题活动就有可能停留在经验水平上；如果在每一次解题以后都能对自己的思路作自我评价，探讨成功的经验或失败的教训，那么学生的思维就会在更高的层次上进行再概括，并促使学生的思维进入理性认识阶段.对学生而言，每次学习仅是一种经历，只有通过不断的反思，把经历提升为经验，学习才具备了真正的价值和意义.三、数学解题教学探究的例析数学解题四个阶段与数学学习的一般过程是吻合的，但由于数学解题是一种创造性活动，因而，它只是符合“钥匙原理”，而非打开一切题目大门的万能钥匙.下面以八年级《特殊四边形》的复习课——《中点四边形》教学为例，阐述数学解题教学的精神.（一）简单模仿1.引导学生回忆平行四边形的证明方法有两组对边分别平行的四边形是平行四边形；有两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线相互平分的四边形是平行四边形.2.给出题目，学生证明（二）变式训练已知：如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点.求证：四边形EFGH为平行四边形.通过引导学生分析题中的已知条件，借助罗增儒教授数学解题的信息过程：“有用捕捉、有关提取、有效整合”，得出以下信息：1.有用捕捉引导学生分析题中的已知条件，得到以下几个信息：符号信息：由点E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，容易证得AE=BE，BF=CF，CG=DG，DH=AH.图像信息1：EH是△ABD的中位线；图像信息2：FG是△BCD的中位线；图像信息3：EF是△ABC的中位线；图像信息4：GH是△ACD的中位线.2.有关提取（1）根据有关提取得到下列逻辑分析表：3.有效整合（1）由上述分析得出解法一：连接BD.因为EH是△ABD的中位线，所以EH平行并且等于BD的一半.同理FG平行并且等于BD的一半.所以EH平行且等于FG，所以四边形EFGH为平行四边形.4.有关提取（2）对上面的符号信息与图象信息通过提取选择还可以得到下面逻辑分析表：5.有效整合（2）对以上信息有效整合，得出解法二：连接AC，BD.因为EH是△ABD的中位线，所以EH//BD.同理FG//BD，所以EH//FG.同理EF//HG.所以四边形EFGH为平行四边形.综合以上解答，引导学生得出两个结论：①顺次连接任意四边形各边中点所得到的四边形叫做中点四边形.②顺次连接任意四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形.（三）自发领悟这个处理有分析、有启引，注重知识的发生过程，学生按此也能完成相应的作业，几何论证能力也会在这潜移默化中获得提高.通常的解题教学进行到这里就基本告一段落了，认为思路已经打开，解法也得出了，解题过程也就完成了，而且还用到不同的方法.但此时此刻如果忽视解题后的再思考，便是错过了提高的最好机会，无异于“入宝山而空返”.于是我试着问学生：“你们还有什么想法”？一会儿有学生回答：“既然顺次连接任意四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形，那么特殊的平行四边形的中点四边形的形状是什么”？由此引导学生进行另一个主题的学习，那就是：“特殊的平行四边形的中点四边形的形状是什么”？四、解题教学探究的几点启示（一）停留在“三个阶段”上是不够的简单模仿、变式练习主要体现了“模式识别”的解题策略和数学的“算法”特征，需要在数学内部熟练到自动化反应的程度，以获得进入数学共同体的通用语境.但是学习数学不能缺少这两步却又不能单靠这两步，能够进入“自发领悟”阶段标志着数学习的一种觉醒，但是这种领悟长期停留在自发的和个性的层面上，让学生“自发领悟”数学的精神、思想、方法和深层次结构既是困难的，又是低效的.（二）进行第四阶段“自觉分析”是有益的在解题过程中进行“自觉分析”是从质上促进理解、从量上缩短“自发领悟”过渡时间的有效途径，是促进理解进入深层次结构的有力措施，是显化“隐性知识”的一个逻辑铺垫.（三）培养学生“自觉分析”能力是必要的在解题教学中不能为解题而解题，应着重培养学生的自觉分析能力，对学生的自觉分析可以选择以下几种方式进行.1.过程性分析（即教师引导学生在学习和解题过程中的分析）（1）师生共同回顾新知获取过程——学生反思获取方法——教师提炼数学思想指导学生在数学教学活动中，要注重创设情境，引导学生通过操作实践、合作探究，主动获取数学知识，鼓励学生在获取知识后分析学习过程，引导他们在思维策略上回顾总结，分析具体解答中包含的数学基本方法，并对具体的方法进行再加工，从中提炼出应用范围广泛的数学思想.（2）学生回顾解题过程+反思关键步骤——掌握方法积极引导学生整理思维过程，确定解题关键，回顾解题思路，概括解题方法，使解题的过程清晰、思维条理化、精确化和概括化，在反思关键步骤的过程中学会解题方法.（3）学生集体评价解题方法的多样性+个体反思——开拓思路、发散思维指导学生分析解题方法的优劣，优化解题过程，努力寻找解决问题的最佳方案.通过对解题方法的评价，开阔了学生的视野，使他们的思维逐渐朝着多开端、灵活、精细和新颖的方向发展.2.纠错性反思（1）学生反思错题的解题过程+寻找错误原因——感受成功要减少学生解题过程中易发性错误出现的频率，应让学生对解题结果不断进行反思，这有利于培养学生数学思维的深刻性和严谨性.在纠正错误的同时，让他们感受成功的快乐.（2）积累错题集+分析错误原因——不断进步