2023年陕西省煤炭建设公司第一中学数学高二下期末预测试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知为坐标原点，双曲线上有两点满足，且点到直线的距离为，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．2．某工厂生产的零件外直径（单位：）服从正态分布，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为和，则可认为（）A．上午生产情况异常，下午生产情况正常 B．上午生产情况正常，下午生产情况异常C．上、下午生产情况均正常 D．上、下午生产情况均异常3．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点,点是原点,若;则的面积为（）A． B． C． D．4．某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元，每年最大规模的种植量是8万斤，每种植一斤藕，成本增加0.5元.如果销售额函数是（是莲藕种植量，单位：万斤；销售额的单位：万元，是常数），若种植2万斤，利润是2.5万元，则要使利润最大，每年需种植莲藕（）A．8万斤 B．6万斤 C．3万斤 D．5万斤5．曲线在点处的切线方程为A． B． C． D．6．若数列是等比数列，则“首项，且公比”是“数列单调递增”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．非充分非必要条件7．若命题“使”是假命题，则实数的取值范围为()A． B．C． D．8．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，=x+2y+3z，则x+y+z=（）A．1 B． C． D．9．函数在其定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象为（）A． B．C． D．10．设复数满足，则的共轭复数的虚部为（）A．1 B．-1 C． D．11．如图，在正四棱柱中，是侧面内的动点，且记与平面所成的角为，则的最大值为A． B． C． D．12．将A，B，C，D，E，F这6个字母随机排成一排组成一个信息码，则所得信息码恰好满足A，B，C三个字母连在一起，且B在A与C之间的概率为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d的部分数值如下表：x

－3

－2

－1

0

1

2

3

4

5

f（x）

－80

－24

0

4

0

0

16

60

144

则函数y＝lgf（x）的定义域为__________．14．若某学校要从5名男同学和2名女同学中选出3人参加社会考察活动，则选出的同学中男女生均不少于1名的概率是_____.15．设随机变量的概率分布列如下图，则___________．123416．已知，2sin2α=cos2α+1，则cosα=__________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）(1)设是两个正实数，且，求证：；（2）已知是互不相等的非零实数，求证：三个方程，，中至少有一个方程有两个相异实根．18．（12分）设曲线．（Ⅰ）若曲线表示圆，求实数的取值范围；（Ⅱ）当时，若直线与曲线交于两点，且，求实数的值．19．（12分）已知函数.（1）若，求的零点个数；（2）若，，证明：，.20．（12分）设1，其中pR，n，（r＝0，1，2，…，n）与x无关．（1）若＝10，求p的值；（2）试用关于n的代数式表示：；（3）设，，试比较与的大小．21．（12分）已知函数.（1）若函数存在不小于的极小值，求实数的取值范围；（2）当时，若对，不等式恒成立，求实数的取值范围.22．（10分）已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点，求抛物线的方程和双曲线的方程．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

讨论直线的斜率是否存在：当斜率不存在时，易得直线的方程，根据及点O到直线距离即可求得的关系，进而求得离心率；当斜率存在时，设出直线方程，联立双曲线方程，结合及点到直线距离即可求得离心率。【详解】（1）当直线的斜率不存在时，由点到直线的距离为可知直线的方程为所以线段因为，根据等腰直角三角形及双曲线对称性可知，即双曲线中满足所以，化简可得同时除以得，解得因为，所以（2）当直线的斜率存在时，可设直线方程为，联立方程可得化简可得设则，因为点到直线的距离为则，化简可得又因为所以化简得即所以，双曲线中满足代入化简可得求得，即因为，所以综上所述，双曲线的离心率为所以选A【点睛】本题考查了双曲线性质的应用，直线与双曲线的位置关系，注意讨论斜率是否存在的情况，计算量较大，属于难题。2、B【解析】

根据生产的零件外直径符合正态分布，根据原则，写出零件大多数直径所在的范围，把所得的范围同两个零件的外直径进行比较，得到结论.【详解】因为零件外直径，所以根据原则，在与之外时为异常，因为上、下午生产的零件中随机取出一个，，，所以下午生产的产品异常，上午的正常，故选B.【点睛】该题考查的是有关正态分布的问题，涉及到的知识点有正态分布的原则，属于简单题目.3、C【解析】

试题分析：抛物线焦点为，准线方程为，由得或所以，故答案为C．考点：1、抛物线的定义；2、直线与抛物线的位置关系．4、B【解析】

销售的利润为，利用可得，再利用导数确定函数的单调性后可得利润的最大值.【详解】设销售的利润为，由题意，得，即，当时，，解得，故，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以时，利润最大，故选B.【点睛】一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则．5、C【解析】

根据题意可知，结合导数的几何意义，先对函数进行求导，求出点处的切线斜率，再根据点斜式即可求出切线方程。【详解】由题意知，因此，曲线在点处的切线方程为，故答案选C。【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求切线方程，一般利用点斜式构造直线解析式。6、B【解析】

证明由，可以得到数列单调递增，而由数列单调递增，不一定得到，，从而做出判断，得到答案.【详解】数列是等比数列，首项，且公比，所以数列，且，所以得到数列单调递增；因为数列单调递增，可以得到首项，且公比，也可以得到，且公比.所以“首项，且公比”是“数列单调递增”的充分不必要条件.故选：B.【点睛】本题考查等比数列为递增数列的判定和性质，考查充分不不必要条件，属于简单题.7、B【解析】

若原命题为假，则否命题为真，根据否命题求的范围．【详解】由题得，原命题的否命题是“，使”，即，解得．选B.【点睛】本题考查原命题和否命题的真假关系，属于基础题．8、B【解析】

先根据题意，易知，再分别求得的值，然后求得答案即可.【详解】在平行六面体中，所以解得所以故选B【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，属于较为基础题.9、D【解析】分析：根据函数单调性、极值与导数的关系即可得到结论.详解：观察函数图象，从左到右单调性先单调递增，然后单调递减，最后单调递增.对应的导数符号为正，负，正.,选项D的图象正确.故选D.点睛：本题主要考查函数图象的识别和判断，函数单调性与导数符号的对应关系是解题关键.10、A【解析】

先求解出的共轭复数，然后直接判断出的虚部即可.【详解】因为，所以，所以的虚部为.故选：A.【点睛】本题考查共轭复数的概念以及复数的实虚部的认识，难度较易.复数的实部为，虚部为.11、B【解析】

建立以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴的空间直角坐标系，设点，利用，转化为，得出，利用空间向量法求出的表达式，并将代入的表达式，利用二次函数的性质求出的最大值，再由同角三角函数的基本关系求出的最大值．【详解】如下图所示，以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则、、，设点，则，，，，，则，得，平面的一个法向量为，所以，，当时，取最大值，此时，也取最大值，且，此时，，因此，，故选B．【点睛】本题考查立体几何的动点问题，考查直线与平面所成角的最大值的求法，对于这类问题，一般是建立空间坐标系，在动点坐标内引入参数，将最值问题转化为函数的问题求解，考查运算求解能力，属于难题．12、C【解析】

将A，B，C三个字捆在一起，利用捆绑法得到答案.【详解】由捆绑法可得所求概率为.故答案为C【点睛】本题考查了概率的计算，利用捆绑法可以简化运算.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】试题分析：由表格可知函数的图象的变化趋势如图所示，则的解为．考点：函数的图象，函数的定义域．14、【解析】

选出的男女同学均不少于1名有两种情况：1名男生2名女生和2名男生1名女生，根据组合数公式求出数量，再用古典概型计算公式求解.【详解】从5名男同学和2名女同学中选出3人，有种选法；选出的男女同学均不少于1名，有种选法；故选出的同学中男女生均不少于1名的概率：.【点睛】本题考查排列组合和古典概型.排列组合方法：1、直接考虑，适用包含情况较少时；2、间接考虑，当直接考虑情况较多时，可以用此法.15、【解析】

依题意可知，根据分布列计算可得；【详解】解：依题意可得故答案为：【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列与和概率公式的应用，属于基础题.16、【解析】

化简2sin2α=cos2α+1即可得出sinα与cosα之间的关系式，再计算即可【详解】因为，2sin2α=cos2α+1所以，化简得解得【点睛】本题考查倍角的相关计算，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析；（2）见解析【解析】

(1)先证明，再在两边同时乘以正数(a+b),不等式即得证；（2）利用反证法证明即可.【详解】(1)证明：∵，∴，∴，∴，而均为正数，∴，∴，∴成立．(2)证明：假设三个方程中都没有两个相异实根，则，，．相加有，．①则，与由题意、、互不相等矛盾．∴假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．【点睛】本题主要考查不等式的证明，考查反证法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18、(1)或.(2).【解析】分析：（Ⅰ）根据圆的一般方程的条件列不等式求出的范围；

（Ⅱ）利用垂径定理得出圆的半径，从而得出的值．详解：(Ⅰ)曲线C变形可得：，由可得或(Ⅱ)因为a=3，所以C的方程为即，所以圆心C（3,0），半径,因为所以C到直线AB的距离,解得..点睛：本题考查了圆的标准方程，考查圆的弦长的求法，属于基础题．19、（1）（2）见解析【解析】

（1）将a的值代入f(x)，再求导得，在定义域内讨论函数单调性，再由函数的最小值正负来判断它的零点个数；（2）把a的值代入f(x)，将整理化简为，即证明该不等式在上恒成立，构造新的函数，利用导数可知其在定义域上的最小值，构造函数，由导数可知其定义域上的最大值，二者比较大小，即得证。【详解】（1）解：因为，所以.令，得或；令，得，所以在，上单调递增，在上单调递减，而，，，所以的零点个数为1.（2）证明：因为，从而.又因为，所以要证，恒成立，即证，恒成立，即证，恒成立.设，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以.设，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以，所以，所以，恒成立，即，.【点睛】本题考查用导数求函数的零点个数以及证明不不等式，运用了构造新的函数的方法。20、(1).(2).(3).【解析】分析：（1）先根据二项式展开式通项公式得，解得p的值；（2）先由得,再得,等式两边对求导，得；最后令得结果，（3）先求，化简不等式为比较与的大小关系，先计算归纳得大小关系，利用数学归纳法给予证明.详解：（1）由题意知，所以.（2）当时，，两边同乘以得：，等式两边对求导，得：令得：，即（3），猜测：当时，，，，此时不等式成立；②假设时，不等式成立，即：，则时，所以当时，不等式也成立；根据①②可知，，均有.点睛：有关组合式的求值证明，常采用构造法逆用二项式定理.对二项展开式两边分别求导也是一个常用的方法，另外也可应用组合数性质进行转化：，.21、（1）；（2）.【解析】

（1）利用导数分析函数的单调性，求出函数的极值，然后令极值大于等于，解出不等式可得出实数的取值范围；（2）构造函数，问题等价于，对实数进行分类讨论，分析函数在区间上的单调性，结合条件可得出实数的取值范围.【详解】（1）函数的定义域为，.当时，，函数在区间上单调递减，此时，函数无极值；当时，令，得，又当时，；当时，.所以，函数在时取得极小值，且极小值为.令，即，得.综上所述，实数的取值范围为；（2）当时，问题等价于，记，由（1）知，在区间上单调递减，所以在区间上单调递增，所以，①当时，由可知，所以成立；②当时，的导函数为恒成立，所以在区间上单调递增，所以.所以，函数在区间上单调递增，从而，命题成立.③当时，显然在区间上单调递增，记，则，当时，，所以，函数在区间上为增函数，即当时，.，，所以在区间内，存在唯一的，使得，且当时，，即当时，，不符合题意，舍去.综上所述，实数的取值范围是.【点睛】本题考查利用导数求