正方形培优试题与答案

#/13在Rt^EFC中，EF2+FC2=EC2,号2+用x+x〕2=（病+1）2.〔12分〕解得，x解得，x户历，x2=-42〔舍去负值〕.••.正方形的边长为6.〔13分〕11.以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H,顺次连接这四个点，得四边形EFGH.〔1〕如图1,当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2,当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状〔不要求证明〕;⑵如图3,当四边形ABCD为一般平行四边形时，设NADC=af0°<a<90°b①试用含a的代数式表示NHAE；②求证：HE=HG；③四边形EFGH是什么四边形？并说明理由.〔1〕解：四边形EFGH的形状是正方形.〔2〕解：①NHAE=9（T+a,在平行四边形ABCD中ABIICD,ZBAD=180°-ZADC=180°-a,丁△HAD和^EAB是等腰直角三角形，ZHAD=NEAB=45°,ZHAE=360°-ZHAD-ZEAB-ZBAD=360°-45°-45°-〔180°-a）=90°+a,答：用含a的代数式表示NHAE是9（T+a. _ _②证明：:△AEB和ADGC是等腰直角三角形，AE=^AB,DG=^CD,2 2在平行四边形ABCD中，AB=CD,，AE=DG,丁△AHD和^DGC是等腰直角三角形，，乙HDA=NCDG=45°,・•.NHDG=NHDA+ZADC+ZCDG=90°+a=NHAE,丁△AHD是等腰直角三角形，・•.HA=HD,，△HAEM△HDG,「.HE=HG.③答：四边形EFGH是正方形，（图"理由是：由②同理可得：GH=GF,FG=FE,（图"HE=HG,GH=GF=EF=HE,四边形EFGH是菱形，△HAEM△HDG,ZDHG=NAHE,•••ZAHD=NAHG+ZDHG=90°,「.ZEHG=NAHG+ZAHE=90°,「•四边形EFGH是正方形.12.如图①所示，A、B为直线1上两点，点C为直线1上方一动点，连接AC、BC,分别以AC、BC为边向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG,过点D作DD]_L1于点过点E作EEJ1于点〔1〕如图②，当点E恰好在直线1上时〔此时Ei与E重合〕，试说明DDi=AB；〔2〕在图①中，当D、E两点都在直线1的上方时，试探求三条线段DDi、EEPAB之间的数量关系，并说明理由；〔3〕如图③，当点E在直线1的下方时，请直接写出三条线段DDi、EEPAB之间的数量关系.〔不需要证明〕解答：〔1〕证明：二•四边形CADF、CBEG是正方形，，AD=CA,NDAC=NABC=90。，•.NDAD]+ncAB=90°,.DDi_LAB,•.NDDiA=NABC=90°,•.NDADi+NADDi=90°,NADD]=nCAB,在^ADD]和^CAB中，'ZDD1A=ZABC{ZAED^ZCAB, △ADDR△CAB〔AAS〕，「.DD^AB；tAD=CA⑵解：AB=DDi+EE「证明：过点C作CH_LAB于H,「DD]_LAB,•.NDD]A=NCHA=90。，NDAD*ADDi=90°,丁四边形CADF是正方形，，AD=CA,ZDAC=90°,•.NDAD"/CAH=90。，..NADD]=NCAH,在△ADD]和△CAH中，'ZDD1A=ZCHA,ZAED^ZCAH,「.△ADD1M△CAH〔AAS〕，「.DD1=AH；同理：EE1=BH,lAD=CAAB=AH+BH=DD1+EE1；〔3〕解：AB=DD1-EE1.证明：过点C作CH±AB于H,;DD1±AB,「•NDD1A=NCHA=90°,•••NDAD*ADD1=90°,丁四边形CADF是正方形，，AD=CA,NDAC=90°,「•NDAD1+NCAH=90°,「.NADD1=NCAH,在△ADD1和^CAH中，

rZDD1k=ZCHA{ZAED^ZCAH, △ADDR△CAHfAASb/.DD^AH；同理：EE^BH,tAD=CA%y”口-2高'，总3图T 图② 图⑤13.〔1〕如图①，在正方形ABCD中，4AEF的顶点E,F分别在BC,CD边上，高AG与正方形的边长相等，求NEAF的度数.〔2〕如图②，在Rt^ABD中，NBAD=90。，AB=AD,点M,N是BD边上的任意两点，且NMAN=45。，将△ABM绕点A逆时针旋转90。至AADH位置，连接NH,试判断MN,ND,DH之间的数量关系，并说明理由. _〔3〕在图①中，连接BD分别交AE,AF于点M,N,假设EG=4,GF=6,BM=3也求AG,MN的长.解：〔1〕在RtAABE和RtAAGE中，AB=AG,AE=AE,黑RtAABE^RtAAGE〔HL〕.NBAE=NGAE.同理，ZGAF=ZDAF.ZEAF=-|ZBAD=45° \⑵MN2=ND2+DH2.〔3分〕 口、•••ZBAM=NDAH,ZBAM+ZDAN=45。，•.NHAN=NDAH+NDAN=45。...NHAN=NMAN.周①、又.「AM=AH,AN=AN,「.△AMNM△AHN.「.MN=HN.〔5'分〕•••ZBAD=90°,AB=AD,•.NABD=NADB=45°.NHDN=NHDA+ZADB=90。.NH2=nd2+DH2./.MN2=ND2+DH2.(6^)TOC\o"1-5"\h\z〔3〕由〔1〕知，BE=EG,DF=FG. it设AG=x,那么CE=x-4,CF=x-6. /弋、在RrcEF中，CE2+cf2=EF2,〔x-4〕2+〔x-6〕2=102.解这个方程，得X1=12,X2=-2〔舍去负根〕. C即AG=12.〔8分〕在RtAABD中，,,BD二VAB'+AD2二42AG2= 在〔2〕中，MN2=ND2+DH2,BM=DH,・..MN2=ND2+BM2.〔9分〕设MN=a,那么相二口2&-3近-）2+（3应）2即a2=〔9&-a〕2+〔36〕2,••日二5.2即而二5.2〔10分〕

14.正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点,P是对角线AC上一动点，过点P作PF±CD于点F.如图1,当点P与点0重合时，显然有DF=CF.〔1〕如图2,假设点P在线段A0上〔不与点A、0重合〕，PE_LPB且PE交CD于点E.①求证：DF=EF；②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系，并证明你的结论；DEBC图1解：〔1〕如图2,延长FP交AB于点Q,〔2〕假设点P在线段0C上〔不与点0、C重合〕，PE_LPB且PE交直线DEBC图1解：〔1〕如图2,延长FP交AB于点Q,①〈AC是正方形ABCD对角线，・•.NQAP=NAPQ=45。，，AQ=PQ,.AB=QF,BQ=PF,/PE±PB,「.NQPB+NFPE=90°,「NQBP+NQPB=90°,・•.ZQBP=NFPE,ZBQP=NPFE=90°,/.△BQP^△PFE,/.QP=EF,.AQ=DF,，DF=EF；②如图2,过点P作PG_LAD.〈PFLCD,NPCF=NPAG=45°,△PCF和△PAG均为等腰直角三角形，•/四边形DFPG为矩形，・•.PA=6PG,PC个巧CF,.PG=DF,DF=EF,•.PA个@F,二. 〔CE+EF〕=/^CE+EeF=&CE+PA,即PC、PA、CE满足关系为：PC内耳CE+PA；2〕结论①仍成立；结论②不成立，此时②中三条线段的数量关系是PA-PCH殿E.如图3：①.PB_LPE,BC_LCE,「.B、P、C、E四点共圆，NPEC=NPBC,在△PBC和△PDC中有：BC=DC0,N