一轮复习北师大版高考大题专项五突破2圆锥曲线中的定点定值问题学案

突破2锥曲线中的定点、定值问题题型一圆锥曲线中的定点问题(多维探究)突破策略一直接法2【例1】(2020全国1,理20)已知4夕分别为椭圆氏a+/=1(冷1)的左、右顶点，G为夕的上顶点，万・获二8.。为直线产6上的动点,PA与£的另一交点为C,PB与£的另一交点为D.(1)求夕的方程；(2)证明：直线切过定点.解题心得圆锥曲线中定点问题的常见解法⑴要证明直线或曲线过定点,可以根据已知条件直接求直线或曲线的方程,方程一旦求此即能找到直线或曲线过的定点,也就证明了过定点.(2)对于是否直线或曲线过定点问题,一般先假设过定点，并假设出定点坐标,根据题意选择参数,建立一个直线系或曲线系方程,而该方程与参数无关,故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求定点,否则说明假设不成立.(3)从特殊位置入手,找出定点,再证明该点符合题意.对点训练1(2020新高考全国1,22)已知椭圆。:马+*1(a»0)的离心率为鼻且过点Z(2,1)・a2b22(1)求。的方程；(2)点M,N在。上,且AMA.AN,ADA.MN,〃为垂足.证明：存在定点Q,使得/〃。/为定值.突破策略二逆推法［例2］设。为坐标原点,动点财在椭圆炉=i上,过点"作x轴的垂线,垂足为人点P满足丽=V2/VM.(1)求点夕的轨迹方程.(2)设点。在直线x=-3上,且赤・同工,证明：过点夕且垂直于。。的直线,过椭圆。的左焦点之解题心得由特殊到一般法求定点问题的方法：由特殊到一般法求解定点问题时,常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关.对点训练2已知抛物线。的方程①X),焦点为A点〃在抛物线。上,且点尸到点尸的距离比它到y轴的距离大L(1)试求出抛物线。的方程.(2)若抛物线。上存在两动点M,MM,"在对称轴两侧),满足OML〃饮。为坐标原点),过点少作直线交抛物线。于4夕两点，若AB//MN,则线段必，上是否存在定点£使得一「一工恒成立?若存在,请求出点EAB的坐标,若不存在,请说明理由.题型二圆锥曲线中的定值问题突破策略直接法【例3】(2020山东滨州二模,20)已知椭圆。:马+*1S苏0)经过点(V2,1),离心率为£a2b22(1)求椭圆。的方程；(2)设直线/:尸Ax〃(ZW0)与椭圆。相交于4夕两点，若以04,仍为邻边的平行四边形以处的顶点P在椭圆。上,求证:平行四边形以处的面积为定值.解题心得证明某一量为定值,一般方法是用一个参数表示出这个量,通过化简消去参数,得出定值.2 2对点训练3(2020山东泰安三模,21)已知椭圆与+£刁(人冷0)的右顶点为4上顶点为B,。为坐标原点,a2b2点。到直线的距离为衅,△以8的面积为1.(1)求椭圆的标准方程；(2)直线/与椭圆交于C〃两点，若直线/〃四,设直线劭的斜率分别为配尻证明：左•人为定值.突破2圆锥曲线中的定点、定值问题例1⑴解由题设得力(-40),8(&0),G(0,1).则而二(a,1),初二(&-1).由而•布-8得才一1在即所以夕的方程为三勺9⑵证明设C(x\,%),D(X2,%),2(6").若ZW0,设直线⑦的方程为x=my+n,由题意可知-3s<3.由于直线为的方程为吟(广3)，所以3A(x苫3).直线外的方程为y4(x-3),O所以乃4(X2-3).可得3y1(入2-3)，(X产3).v2由于言+y尹1，（久2+3）（%2-3）9可得27yl次二-（矛产3）（入2・3）,即（27力〃“）%乃力〃（"3）（y+%）+（"3）2<）•①nn2-9

m2+9n2n2-9

m2+9将x-my-f-n代入土+/=\得(仞，⑼/~f2nmy+才吟工.所以巧将二一7,9 mz+9代入①式得（27切/）（刀2_g）-2%（〃+3）力•5⑼O.故直线⑦的方程为x=my^即直线徵过定点(|,0),若义,则直线⑦的方程为片0,过点(|,0).综上,直线切过定点(|,0),对点训练1解⑴由题设得名+白刁,w=：,a2b2a222 2解得才s炉超所以。的方程为6 3(2)设#(^1,71),M^2,y2).TOC\o"1-5"\h\z2 2若直线的V与x轴不垂直，设直线的V的方程为尸加，代入土+匕=1得（1地必）学他kmxWJ弋々.6 3于是于是X\+X2于是X\+X24km 27n2-6二r———,X\X2-于是X\+X21+2/c2 1+2/c2由川吐4V知宿•前夕，故（为-2）（上2-2）+（y】T）（乃T.）4）,可得（*2+1）才/2+（筋-4-2）（为为2）+（%-1）2刈4）.整理得（24+3"+1）（2〃加-1）4）.因为4（2,1）不在直线的V上，所以2〃+%TW0,故2A+3加+1或AWL于是/瞅的方程为y=k（x~|）一，4N1）.所以直线腑过点若直线MN与x轴垂直，可得以不，.）.由俞•前4）得（X—2）（石一2）^（yi-1）（-yi-l）-O.又9+白，可得3好-8为抬-0.解得期之（舍去），乂总此时直线的v过点41，-3.令0为"的中点，即呜，）若〃与〃不重合,则由题设知AP是低△/"的斜边,故"Q/』/"/当.若〃与〃重合,则/DQ/^/AP/.综上,存在点433,使得"Q/为定值.例2⑴解设依照,加,由题意可得N（x。,0）,设P（x,力，由点P满足而=V2W.可得（『X。,y）W2（0,㈤,可_ 2 2 2得矛-照或尸&为,即有Xo=x,k冬,代入椭圆方程可得?+一=1,即有点P的轨迹方程为X”V2 2 2 2⑵证明（方法1）设。（-3,ni）,AV2cos。，&sin。）（0W。＜2兀），由而・PQ-1,可得（V^cosa、V2sin。）•（T~V^cosa、/~V^sina）-1,即为-3V2cosa-2cos之aA/2/zzsina-2sin2o-1,当。-0时,上式不成立,则0（。＜2兀，々刀4日3（1+V2cosa）解得m=~~t=- ,V2sma所以《一3,3噌")\V2sina23(1+V2cosa)

V2sina椭圆子+y=1的左焦点尸3(1+V2cosa)

V2sina由PF-0Q-(-l-V2cosa,"V2sin。)•(-3,4+3&cosa-3(1a/2cos〃)R.又过点〃存在唯一直线垂直于0Q,可得过点，且垂直于0Q的直线/过椭圆。的左焦点F.(方'法2)设。(-3,。，P(m,77),由赤•PQ-1,可得(zz7,n)•(-3-勿，t~n)=-3m-/n+nt~n=\,又夕在圆x+y=Q.上，可得自+仔2即有〃方4+3%,又椭圆的左焦点F(-l,0),而・OQ-(-1-/Z/,-n)•(-3,。4+3%-〃+3勿-3-3/zfO,则而1丽,又过点尸存在唯一直线垂直于OQ,可得过点月且垂直于。。的直线/过椭圆。的左焦点F.对点训练2解⑴由点〃到点尸的距离比它到y轴的距离大1和抛物线定义,知卜1,所以抛物线。的方程为y^4x.(2)存在.由题意，九送0,设乂¥，丫1)，八(932)(射巾)，由Q吐跳得必度二-16,直线/恻的斜率储房;，直线MN:y-yi4(x°1)，整理可得y-4(x⑷，%+为 4 yi+y2①若直线和斜率存在,设斜率为k,y=k(x-l),与jMx联立得"My”或设/(羽，丹),B(xb,公,则/曲d(l+表)/%―%/N(1*)，若点后存在，设点£坐标为(X。，㈤，/⑸V//⑸V/•/眈闫(1+*)(%-a) +高)(%-%)《1/⑸V/•/眈闫(1+*)(%-a) /⑸V/•/眈闫(1+*)(%-a) +高)(%-%)《1当.•致幺时，+等=16,解得外4)或为=(不是定点，舍去)，则点E为(4,0),经检验，此点满AB\ 八k k足所以在线段的V上.②若直线也斜率不存在,则IAB0,/EM/-IENI工X4A6、此时点£(4,0)满足题意.综合上述,定点E为(4,0).例3⑴解椭圆。过点(展1),代入椭圆方程可得彳+三口,①a 2⑵证明把y=kx+t代入椭圆方程？+一工， 2得(2发力)学他ktx包(「- 2⑵证明把y=kx+t代入椭圆方程？+一工， 2得(2发力)学他ktx包(「-2)-0,所以△=(4姐2_8(22+1)(22—2)-8[2(2^+1)-/]>0.设加几刃,BUy2),则X+X2=舄,小至端白所以P1+%4(X1+X2)吃t-.乙K।1因为四边形如阳是平行四边形，所以而=而+而=国+如%.)千|，岛)，所以点'坐标为(-蒜，品).又因为点尸在椭圆上，联立①②，解得士工尤力.2 2所以椭圆方程为?+-=L4 2所以4k2t22t2_]（2/c2+1）2 （2H+1）2 '所以.因为〃引三（》］-不）2+（涧-%）2=.因为〃引三（》］-不）2+（涧-%）2=仄="Xj的曲屈E2k2+12 2V3*Vi+fc2V2k2+1又点。到直线1的距离公鼻.V1+/C2所以平行四边形勿阳的面积所以平行四边形勿阳的面积5W2s△”/曲•所以平行四边形勿阳的面积5W2s△”/所以平行四边形勿阳的面积5W2s△”/曲•=V6,即平行四边形04%的面积为定值.对点训练3解⑴直线AB的方程阴+泊，即bx+ay-ab'因为三角形以6的面积为1,所以/勖=1,即ab2解得a2b