2-3-随机变量及其分布-离散型随机变量的均值与方差-离散型随机变量的均值【市一等奖】

2.3.1离散型随机变量的均值离散型随机变量的均值是刻画离散型随机变量平均取值的一个指标.用Ω表示一个随机试验可能出现的所有结果,考虑定义在Ω的两个随机变量ξ=ξ(ω)和η=η(ω),ω∈Ω,如何比较它们的大小?一个直观的想法是逐个比较，当对于一切ω∈Ω都有ξ(ω)>η(ω),则称随机变量ξ大于随机变量η.但实际中常常出现对某些结果ξ比η大,而对另一些结果ξ比η小,因此前面的比较方法不能保证所有的随机变量都能进行比较.从加权平均的角度,可以比较任意两个随机变量的大小,这导致了随机变量均值的概念.另外,随机变量的均值又是这个随机变量的独立重复观测值的算术平均,并且在理论上可以证明这个算术平均随着观测次数的增加而趋近于随机变量的均值.随机变量均值的这种特性在随机变量的比较中起到重要的作用.1.对69页“思考”的分析．教科书从平均的角度引入随机变量的均值概念,引导学生通过实际问题理解这个概念.“思考”提出：“某商场要将单价分别为18元/kg,24元/kg,36元/kg的三种糖果按3:2:1的比例混合销售,如何对混合糖果定价才合理?”直观上,通过分析1kg这样的混合糖果的组成,容易得到合理的价格,即价格是三种糖价格的加权平均,权分别是各种糖的质量与总质量之比.至此问题已经解决,分析的过程似乎与随机现象无关.这只是表面现象,如果考虑1kg糖果是如何从混合糖果中取出的,就会发现问题.实际上可以把按3:2:1的比例混合在一起的糖果全体看成总体,那么所取出的1kg混合糖果可以看成是对总体的一个抽样，其样本容量就是1kg糖果或包含的颗粒数n.为了简单,假设每颗糖果的质量，外形都是相同的,就可以把混合糖果中的每一颗糖果看成一个个体,则取出的1kg糖就可以看成是从总体中摘出的一个容量为n的简单随机样本.由样本的随机性知道这1kg混合糖果中各种糖之间的比例是随机的.为了讨论方便，分别把18元／kg、24元/kg、36元／kg的糖果表示为a,b,c.事实上谁也不能保证在所取出的混合糖果中,恰好有kg的a，kg的b，kg的c.但根据频率的稳定性知道当n充分大时,a的频率f1≈,b的频率f2≈,c的频率f3≈.这里，和恰好分别是从总体中任意地抽取一颗糖果,“抽到a”的概率,“抽到b”的概率和“抽到c”的概率.进一步,如果用Xi表示样本中第i块糖的单价,则样本的平均单价为这才是所取出的1kg混合糖果的真实价值.当n很大时,这个真实价值很接近于教科书69页所给出的定价.事实上,(元/kg).既然是所取出的糖的真实价值,为什么不用它来作为混合糖果的定价呢?原因是不同的样本有不同的样本均值,而混合糖果的定价只有一个,因此只好用极限价23元/kg作为混合糖果的合理价格.{把从混合糖果中取出一颗糖果看成是一次随机试验,可以定义随机变量{18,如果取出的是a,X=24,如果取出的是b,36,如果取出的是c.则X是离散型随机变量,其分布列为X182432P这样就把混合糖的合理价格理解为随机变量X的值的加权平均,这个权就是相应的密度.把这种想法抽象出来,就要吧得到随机变量的数学期望的概念.上面分析的过程,有助于深入理解随机变量均值的含义,它可以看成是这个随机变量平均,即随着观察这个随机变量次数的增加,所得观测数据的平均值越来越接近于这个随机变量的均值.由于篇幅的限制,教科书没有介绍上述分析过程,而是通过思考栏目直接提出问题,引导学生理解混合糖果合理价格表达式中权的含义.教科书70页“思考”提出“如果混合糖果中每一颗的质量都相等,你能解释权的含义吗?”其中条件“如果混合糖果中每一颗糖果的质量都相等”的用意是保证在混合糖果中任取一颗糖果,取到每个糖果的可能性相等.这样可以根据古曲概率的计算公式得到取到每种糖果的概率就是该种糖果在全部糖果中所占的比例,从而混合糖果的合理价格实际上就是以概率为权重的每种糖果的单位价格的加权平均.由此引入取有限值的离散型随机变量均值的定义.在给出随机变量均值的一般定义之后,教科书给出了这个均值的直观含义,即“它反映了离散随机变量取值的平均水平”.这里的平均水平的含义是:反复对这个随机变量进行独立观测,所得到的各个观测值的算术平均值随着观测次数的增加而越来越接近于这个随机变量的均值.2.随机变量均值的线性性质.教科书仅介绍了随机变量均值的线性性质.更一般的随机变量均值的线性性质是指：随机变量的线性组合的均值等于随机变量均值的线性组合，即若两个随机变量X和Y的均值都为有限数,则E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)，其中a和b为任意实数.对于只取有限个值离散型随机变量，自然有X和Y的均值都为有限数，并且可以证明这个一般的均值的线性组合性质是成立的.{在有些情况下,利用均值的这个一般的线性组合性质可以简化随机变量均值的计算.例如：在计算随机变量X～B(n,p)的均值时,就可以利用均值的线性性质简化计算过程.考虑成功概率为p的n次独立重复试验中成功的次数X，则X～B(n,p).记{1,第i次试验的结果为成功,Xi=(i=1,2,…,n)0,第i次试验的结果为失败,则.进一步,Xi～B(1,p)，其分布列为Xi01P1-pp其均值为E(Xi)=O×(1-p)+1×p=p,i=1,2,…，n.由随机变量均值的线性性质得E(X)==np,即X的均值为np.随机变量的均值与样本平均数有何联系与区别呢?教科书在“思考”中提出这样的问题,用意在于让学生把学过的知识联系起来,引导他们进一步理解随机变量均值的含义，以及理解用均值解决实际问题的原理(将在后面举例说明).教科书仅介绍了取有限值的离散型随机变量的分布列,同样在本节也仅介绍取有限值的离散型随机变量的均值的定义.取有限值的离散型随机变量的均值的计算仅涉及有限和的计算,所以它们一定存在.这样做的好处是使学生能更加专注于对随机变量的期望的理解.3.教学中应注意的问题.(1)在70页“思考”的教学中,应引导学生从古典概型的角度入手解释权重的含义.实际上，从混合糖果中任意取出一颗糖果是一个随机试验,可能出现的结果有三种:“取出的是a”，“取出的是b”,“取出的是c”.“思考”中假设“混合糖果中的每一颗糖果的质量都相等”保证了每一个结果在试验中出现的可能性都相等,因此可以用古典概型描述这个随机试验.现在我们关心的是取出的这颗糖果的价格，因此把糖果的种类映射为其价格,自然得到了随机变量{18，如果取出的是a；{X=24,如果取出的是b；36，如果取出的是c.根据随机变量的定义,有P(X=18)=P(取出的是a),P(X=24)=P(取出的是b),P(X=36)=P(取出的是c).需要注意的是基本事件由混合糖果中一颗颗糖果构成，并不知道其总数n是多少.那么如何利用古典概率的计算公式来计算概率呢?根据问题背景,我们知道的是各类糖果在混合糖果的比例，即三种糖果的比例是3:2:1.由此可以根据古典概率的计算公式计算前面提到的各个事件的概率.事实上,由该比例可以知道混合糖中a的颗数为.类似地b的颗数为,c的颗数为.这样P(取出的是a)=,P(取出的是b)=,P(取出的是c)=.因此可以得到随机变量X的分布列X182432P从而混合糖果的合理价格可以表达为18×P(X=18)+24×P(X=24)+36×P(X=36),其权重恰好为随机变量X等于相应值的概率.(2)注意随机变量均值含义的正确理解.教科书指出，离散性随机变量均值“是离散型随机变量取值的平均水平”,这里“平均水平”的含义可以从两种角度来理解：一种从定义的角度，随机变量是以概率为权的加权平均；另一种是从样本(或观测)的角度理解,随机变量的均值是该随机变量的多次独立观测值的算术平均(当观测次数趋于无穷时)的极限,即由独立观测组成的随机样本的均值(当样本容量趋于无穷时)的极限.在实际应用中，特别是在决策中,常以第二种理解作为解决实际问题的依据(见教科书上73页例3的解释最后一段).(3)随机变量的均值与样本的平均值的联系与区别.教科书第71页“思考”中提出的问题的用意在于让学生把学过的知识联系起来,也隐含着引导学生从样本均值的角度考察随机变量均值的含义.①从定义可以看出,随机变量均值是一个常数，而样本平均值是一个随机变量,这是两个均值的根本区别.比如,某篮球明星的罚球命中率为，我们知道罚球命中得1分，不中得0分.设他罚球1次的得分为X，那么X是一个离散型随机变量,他罚球的平均得分就是X的均值,即E(X)=，是离散型随机变量X的均值,这是一个常数.在一场比赛中，他罚了10次球,命中8个，那么他在这场比赛中罚球10次的平均得分为8／10=.可以把该明星在这场比赛中的每一次罚球得分结果看作是对X的一次观测,则10次罚球就得到一个容量为10的随机变量X的观测样本,而这个样本平均值恰为该明星在本场比赛罚球的平均得分.根据样本平均值的知识，它会随着样本的变化而变化,谁也不能保证这位明星在每10次罚球时都会恰有8次得分.实际上，根据二项分布的知识,该明星10次罚球所得分数,即X的容量为10的样本平均数为服从二项分布B(10,的随机变量.②教科书直接给出了两个均值之间的联系，即对于简单随机样本而言,随着样本容量的增加,样本均值越来越接近于随机变量(即总体)的均值.例如掷质地均匀的骰子,用X表示出现的点数,则X是离散型随机变量,分布列为P(X=k)=,k=1,2,3,4,5,6.独立重复试验n次,用Xi表示第一次试验出现的点数,则可以把X1,X2,…，Xn看成是随机变量X的一次观测值，也可以把这些观测值看成是一个容量为n的样本.这样n个观测值的算术平均，即样本均值其中ni为n次试验中出现i点的试验次数，i=1,2,3，4，5,6.注意到恰为n次试验中出现i点的频率,根据频率与概率之间的关系可以得到即随机变量独立观测的算术平均值随着观测次数的增加而趋于该随机变量的均值，或者说样本均值随着样本容量的增加而趋于该随机变量的均值.理论上可以证明,在很一般的情况下,随机变量的样本平均值随着样本容量的增加而趋于随机变量的均值,感兴趣的可以查阅概率论中大数定律方面的内容.(4)“在实际问题中,如何估计随机变量的总体均值?”这里随机变量的总体均值就是随机变量的均值,加上“总体”两个字具有暗示作用,即需要用这个随机变量的多次独立观测样本的平均值来估计随机变量的总体均值.在实际应用中,有许多问题的解决依赖于总体均值,即表示总体指标的随机变量的均值.但总体均值是未知的,因此需要通过样本来估计.一般来讲,人们喜欢用样本平均值来估计总体均值,其依据就是前面介绍的样本平均值与总体均值之间的关系.在《数学3(必修)》中,我们采用样本平均值估计总体均值,那么为什么可以用样本平均值估计总体均值呢?因为对于简单随机样本,随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体均值.(5)例1的说明.本例的目的是训练学生用离散型随机变量均值的定义计算其均值,进而导出两点分布随机变量的均值表达公式.教学中应引导学生注意到随机变量X服从两点分布，即二项分布B(1,.然后再观察X的均值和成功概率p=之间的关系.因此不难得到教科书71页上边框问题的答案为罚球一次的得分均值为分.(6)由于两点分布和二项分布是常用的分布,所以教科书把它们的均值的计算结果作为公式给出.实际上,两点分布和二项分布有密切的关系,利用这种关系可以帮助记忆这两个数学期望与成功概率之间的关系,也可以复习前面学过的知识.对于两点分布随机变量，其均值等于其成功概率.由于独立的具有成功概率p的n个两点分布随机变量之和服从二项分布B(n，p),根据数学期望的线性性质可以知道二项分布随机变量的均值为np.教学中,可以在承认结论“随机变量线性组合的均值等于这些随机变量均值的线性组合”的情况下，利用两点分布随机变量均值来计算二项分布的均值.(7)例2的说明.教学中，可先对例题的背景加以分析，解释为什么可以利用二项分布随机变量均值的结论来求平均成绩.在本例的问题背景中，学生甲每做一道题,相当于进行一次随机试验，该试验只有两个可能的结果,即“对”或“错”，且出现对的概率为.进一步，回答20道题相当于做了20次独立试验.这样,学生甲作对题目的个数X1服从二项分布B(20,,从而他在考试中获得的分数为5X1,进而可以经由二项分布