二次函数零点问题

二次函数零点问题二次函数零点问题【探究拓展】探究1：设分别是实系数一元二次方程和的一个根，且求证：方程有且仅有一根介于之间.变式1：已知函数f(x)＝ax2＋4x＋b(a<0，a、b∈R)，设关于x的方程f(x)＝0的两实根为x1、x2，方程f(x)＝x的两实根为α、β.（1）若|α－β|＝1，求a、b的关系式；（2）若a、b均为负整数，且|α－β|＝1，求f(x)的解析式；（3）若α<1<β<2，求证：(x1＋1)(x2＋1)<7.变式2：二次函数满足且方程有实根.（1）求证：函数在上是增函数.（2）设函数的零点为和，求证：.（2）求证：函数在区间上是单调函数.变式：已知二次函数和（1）若为偶函数，试判断的奇偶性；（2）若方程有两个不相等的实根，当时判断在上的单调性；（3）若方程的两个不相等的实根为，的两实根为，求使得成立的的取值范围.探究3：二次函数，方程的两根和满足（1）求实数的取值范围；（2）试比较与的大小．并说明理由变式：已知，是的零点，且，则从小到大的顺序为_________________探究4：已知是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求的取值范围解析1：函数在区间[-1，1]上有零点，即方程=0在[-1，1]上有解.a=0时，不符合题意，所以a≠0,方程f(x)=0在[-1，1]上有解<=>或或或或a≥1.所以实数a的取值范围是或a≥1.点评：通过数形结合来解决一元二次方程根的分布问题.解析2：a=0时，不符合题意，所以a≠0,又∴=0在[-1，1]上有解，在[-1，1]上有解在[-1，1]上有解，问题转化为求函数[-1，1]上的值域；设t=3-2x，x∈[-1，1]，则，t∈[1,5],，设，时，，此函数g(t)单调递减，时，>0,此函数g(t)单调递增，∴y的取值范围是，∴=0在[-1，1]上有解∈或.点评:将原题中的方程化成的形式,问题转化为求函数[-1，1]上的值域的问题,是解析2的思路走向.变式1：已知函数．（1）求证：函数y=f(x)的图象恒过两个定点．（2）若y=f(x)在（1，3）内有零点，求a的取值范围．（1）设，即． 令x2=4，得x=2或2． 则函数y=f(x)的图象恒过定点（2，7），（2，1）．（2）∵f(2)=7>0，f(2)=1<0， ∴y=f(x)在（2，2）内有零点． 1）若a>0，抛物线开口向上，y=f(x)在（1，3）内有零点， 当且仅当f(1)>0，或f(3)>0． 则， 或． ∴0<，或． 2）若a<0，抛物线开口向下，y=f(x)在（1，3）内有零点， 当且仅当f(1)>0．即． ∴，结合a<0，得a<0． 3）若a=0，y=f(x)的零点为，在（1，3）内．综合1），2），3），得a的取值范围为（∞，）∪（，∞）．变式2：已知函数．（1）若的解集是，求实数的值；（2）若为整数，，且函数在上恰有一个零点，求的值．探究5：已知函数，，若对于任意的实数，与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是________. 变式1：已知函数f(x)＝2mx2－2(4－m)x＋l，g(x)＝mx，若对于任一实数x，f(x)与g(x)的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是.分析：问题可转化为数学符号语言：“已知函数f(x)＝2mx2－2(4－m)x＋l，g(x)＝mx，R，或”，求实数m的取值范围.不难发现，若利用上述解法3，采用对立转化法，即可设命题，或；则命题，.若命题成立时：首先，当时，，存在实数，使得不等式组成立.其次，当时，函数f(x)为开口向下的二次函数，g(x)为上的减函数且值域为，必存在，使得函数且.再者，当时，g(x)为上的增函数且值域为；若存在实数使成立，即要有.又，解得或；综上，若命题成立时：有或；即可知当命题成立时：.答案错了变式2：设函数，函数，若存在，使得与同时成立，则实数的取值范围是____________挖掘题中隐含条件：存在，使得，从而对参数的范围进行局部缩小；解析：由知，又存在，使得知即或，另中恒过，故由函数的图象知：①若时,恒大于0，显然不成立。②若时，③若时，，另，显然不成立。解法1（分离参数法）时，或者当时，都有.当时，则有：当时，；当时，；因此，若R，使得与同时成立，则由上分析可知：只有当时，不等式成立.设函数，.令，，易求.则解法2（数形结合法）由于；.若存在R，使得，则，即；则：1°当时，由题意可知，，.二次函数对称轴，在上为减函数，则，即.2°当时，，.而二次函数对称轴，在上为增函数，又，因此，，此情形下.综上，.解法3（对立转化法）命题p：若R，使得与同时成立.则p：对R，或成立.下研究若命题p成立时，参数的取值范围：1°当时，R，恒成立，因此，适合题意.2°当时，；则，2.1°，即；2.2°，即；因此有.3°当时，；则，有，即；因此，.综上，当时，p成立；那么，命题p成立时，.变式3：设函数，函数，若不存在，使得与同时成立，则实数的取值范围是_______评注：（1）含参曲线的特征观察（定点？平行直线系？切线构成的包络线？）（2）充分挖掘题中的隐含条件，从而对参数的范围进行局部缩小；变式4：函数，，对有或成立.若，则实数的取值范围是________.变式5：已知，，若同时满足条件：①，或；②(-∞,-4),，则m的取值范围是_______分析：对于条件①，仍然采用对立转化法，分析命题“，且”.又当时，函数，则只要存在实数使成立即可.首先，当时，，则适合；其次，当时，二次函数开口向上，则总存在实数使成立.再者，当时，二次函数开口向下，即要有；又此时二次函数对称轴方程为，则，解得；因此，命题成立时，或；那么条件①成立时，；对于条件②，当时，，则可知存在，；并且.可分如下两种情形：(1)，解得；(2)，解得；综上可知，当条件①②都成立时，.探究6：设，方程的两个根是和，且，.又若，试比较与的大小.

【解】因为、是方程的两个根，

所以，，.

因此

.

由，及，，得.所以，当时，有.

探究7：实数R，函数，，且满足.（1）求的取值范围；（2）设为常数，且a0，已知函数的两个零点为x1，x2，令且，，求证：.探究8：设函数（1）当，求函数的零点；（2）当时，求证：函数在内有且仅有一个零点；（3