寒假生活练习册二解答

一.判断题（正确打√，错误打1若s不能由1,2,,s1线性表示，则1,2,,s线性无关解答：反例：取1020，则2不能由1线性表示，但1,2线性相关若,,与,等价，则,,线性相关 √R(1,2,3)R(1223，所以向量组,,线性相关可由1,2,3唯一线性表示,则1,2,3线性无关R(1,2,,mR(1,2,,mm；R(1,2,3)3，所以1,2,3线性无关.若向量组,只有一个极大无关组，则,线性无关解答：反例：取

0，则向量组,组，但,线性相关正确命题：若,线性无关，则,只有一个最大无关组.二.单项选择题 A 解答：因为32，且,,12P1可知1,2,3线设n维向量组1,2,,m线性无关，则(B（D

1

1223线性无关，但1222线性相关

下列命题错误的是(C

若n维向量组,,,m中没有一个向量能由其余向量线性表示，则该向若n维向量组,,,m的秩小于m，则此向量组线性相关若n维向量组,,,r线性无关，向量组,s也线性无关，则向量组,,,r,s的秩为rs.任何一组不全为零的数kk,kr使kkkr,,,r线性无关（A（B（D）

,也线性无关，但是,

设A：1,2,3,4是一组n维向量，且1,2,3线性相关，则(D).(A)A的秩等于4; (B)A的秩等于n;(C)A的秩等于 (D)A的秩小于等于 解答：因为,,线性相关，所以A：,, 已知向量组1,2,3线性无关, (A),,;（B

,,;

2,35,-8 -

(A): -

-10 （B） -

1011(C)：1

12 -

000

()()()0 ()( 三.n维向量1,2,3线性无关，则向量组12,23,31r 1解答：因为-

- 10,所以12,23,31线性相关 (或者因为( 所以,,线性相关)但 k()k(

1 1

k

k12 23因为,,12 23无关

0,所以, 线

,,a.若由1,2,3空间的维数为2,则a 解答：方法一因为由,,2,而 2kk以可由

唯一线性表示,所以

kk

,即 ,解

1 2

a6

方法二因为,,生成的向量空间的维数为2 关，从而(,,)，

解得a6设向量组,,,m不能由它们线性表示，则向量组,,,m的秩为m解答：因为,,,mmR(,,,m

)m,,,m,

)

m，则,,,m

能由,,,m线性表示，与已 ，故R(,,,m,

)m1

2

3

1若向量组

，

与向量组

，

4k 3

2

3

4

k

线性相关所以k 434 已知向量组,,,线性无关，则向量组,,.,,,线性无关，而,,,1(x,y,z)

2(x,z,y),3(2x,2z,2y)；1 (x,y,z),(x,z,y),(y,z,x),(z,x,1 3312(1,2,3)12

1

30，所以线性无关

已知维向量,,,，其中任意三个向量都线性无关，证明每一个向量都能证明因为n个n维向量必定线性相关，所以,,,为零的数kkkkkkkk其中必有k否则k,k,k,k不全为零上式变为kkk， k

k

k即可由其余三个向量线性表示.同理可证kkk1122已知2

,证明向量组

与1

,

112证明：因为

可由,

线性表示，又因为

2 2

110，所以1,2,3123线性表示（ 112

解得

已知向量组

2,

3,

1,,

2证明 方法 记2

,

可由

11001120，所以1,2,3可由123101123线性无关，所以1,2,3（如果要解出1,2,3i2i

，

1

1

1方法二（反证法 假设1,2,3线性相关，则秩（1,2,3）3，因为122331能由1,2,3秩（122331）秩（1,2,3）3，从而12233 设n维向量组

的秩为r1

,

,,

的秩为r21s2s,,,的秩为r.证明rrr1s2s 证明：不妨设,,,是 1212,r12,s的一个最大无关组，则11,22,,ss21由1

12,r

r1r2r32 5s2,,,2 ,

证明向量组1123s2213ss13s12011101110因 (s)(12011101110

可由

s12s线性表示，二者等价，秩相等，所以,,, s12s 若向量组,,,线性相关，证明对任意的实数k k,k,,k

也线性相关1 2 s证 方法一如果k,k,,k中至少有一个为零，则k,k,,k 1 2 s性相关.下面假设k1

全不为零.因为

ss12零的数,使得12

0 1 2 s 1(k)2(k)s(k

)0kkk1 2kkk

ss 由于,

1，2

k1 k,k,,k

线性相关1 2 s 因为,,, 秩（,

）skk,k

能由,

1 2 s

秩（kk,k

）秩（,

）s，从而kk,k1 2 s

1 2 s证明：n维向量组1,2,,n线性相关的充分必要条件是至少存在一个n维向量不能由1,2,,n线性表示.证明必要性反证法：如果一切n维向量都可由1,2,,n线性表示，那么 1,2,,n可由1,2,,n线性表示又1,2,,n可由1,2,,n线性表示所以1,