概率随机变量的函数的分布

概率随机变量的函数的分布第1页，共46页，2023年，2月20日，星期一比如，某厂的电机的噪声电压V的密度分布：求功率

W=V2/R

(R为电阻)的分布.

在实际应用中，人们常常对随机变量的函数感兴趣.§2.4随机变量函数的分布第2页，共46页，2023年，2月20日，星期一在许多实际问题中,常常需要研究随机变量的函数,例:☆测量圆轴截面的直径d,而关心的却是截面积：d为随机变量,S就是随机变量d的函数。的分布。☆

在统计物理中,已知分子的运动速度x的分布,求其动能：一般地，设y=g(x)是一元实函数，X是一个随机变量，若X的取值在函数y=g(x)的定义域内，则Y=g(X)也为一随机变量。第3页，共46页，2023年，2月20日，星期一随机变量的函数随机变量分布函数密度函数第4页，共46页，2023年，2月20日，星期一随机变量的函数是一个这样的随机变量，若随机变量Y满足：

Y=g(X)则称随机变量Y是X的随机变量的函数。设随机变量X的分布已知，Y=g(X)(设g是连续函数），如何由X的分布求出Y的分布？方法将与Y有关的事件转化成X的事件第5页，共46页，2023年，2月20日，星期一设r.v.

X的分布律为由已知函数g(x)可求出r.v.

Y的所有可能取值，则Y的概率分布为离散型r.v.函数的分布第6页，共46页，2023年，2月20日，星期一设X为离散型R．V,其分布律为X

x1x2x3

．．．．．．．xn．．．．pk

p1p2p3．．．．．．．pn．．．．随机变量X的函数Y=g(X)的分布律为Y

g(x1)

g(

x2)g(x3)．．．．．g(xn)．．．．pk

p1p2p3．．．．．pn．．．．有可能g(xi)与g(xj)相同，此时将两项合并，对应概率相加．

离散随机变量的函数的分布第7页，共46页，2023年，2月20日，星期一【例】已知X的概率分布为Xpk-1012求Y

1=2X–1与

Y2=X

2

的分布律第8页，共46页，2023年，2月20日，星期一【例】

已知

X

的概率分布为其中

p+q=1,0<p<1,求

Y=SinX

的概率分布解第9页，共46页，2023年，2月20日，星期一第10页，共46页，2023年，2月20日，星期一故Y的概率分布为Ypi-101第11页，共46页，2023年，2月20日，星期一课堂练习：加油站代营出租车业务，每出租1辆车收入3元。该油站每天要付出60元工职。每天出租汽车数X的分布律如下：X10203040P0.150.250.450.15求加油站获利的概率。第12页，共46页，2023年，2月20日，星期一方法：（1）从分布函数出发（2）用公式直接求密度函数连续性r.v.函数的分布设X为一个连续型R.V，其概率密度函数为f(x)。y=g(x)为一个连续函数，求随机变量Y=g(X)的概率密度函数fY(y)。第13页，共46页，2023年，2月20日，星期一(1)求Y的分布函数FY(y)根据分布函数的定义(2)对FY(y)求导，得到fY(y)分布函数法解不等式转化为求关于X的概率第14页，共46页，2023年，2月20日，星期一【例】设随机变量X具有概率密度求随机变量Y=2X+8的概率密度。

先求Y=2X+8的分布函数FY(y).Step1:第15页，共46页，2023年，2月20日，星期一求Y=2X+8的概率密度Step2:第16页，共46页，2023年，2月20日，星期一【例】设随机变量X具有概率密度求的概率密度。解先求分布函数FY(y)。由于解不等式转化为求关于X的概率第17页，共46页，2023年，2月20日，星期一于是得Y的概率密度为：第18页，共46页，2023年，2月20日，星期一

从上述两例中可以看到，在求P(Y≤y)

的过程中，关键的一步是设法从{

g(X)≤y

}中解出X,从而得到与{g(X)≤y}等价的X的不等式。

这样做是为了利用已知的X的分布，从而求出相应的概率。这就是分布函数法。例如，用代替

{2X+8≤y}用

代替{X2

≤

y}第19页，共46页，2023年，2月20日，星期一【例】

已知随机变量X～N(0,1)。解第20页，共46页，2023年，2月20日，星期一【例】已知随机变量X～解第21页，共46页，2023年，2月20日，星期一定理

设随机变量X具有概率密度

又设函数处处可导，且（或），是连续型随机变量，其概率密度为：则其中是函数的反函数.第22页，共46页，2023年，2月20日，星期一【例】设X~N（0，1），其概率密度为：则概率密度函数为：此时称Y服从自由度为1的

分布。第23页，共46页，2023年，2月20日，星期一【例】设随机变量，证明解第24页，共46页，2023年，2月20日，星期一推论定理第25页，共46页，2023年，2月20日，星期一求的密度函数解:是x的单调可导函数,第26页，共46页，2023年，2月20日，星期一即Y服从[19，21]上的均匀分布．Y=0.1X+10的密度函数为X的密度函数为

设随机变量服从[90，110]上的均匀分布,求

Y=0.1X+10的密度函数。例解第27页，共46页，2023年，2月20日，星期一注意连续r.v.的函数的分布函数不一定是连续函数例如X~U(0,2)令Y=g(X)xy1FY(y)不是连续函数第28页，共46页，2023年，2月20日，星期一2.设随机变量，求的概率密度。

练一练第29页，共46页，2023年，2月20日，星期一X,

求其密度函数f(x).

ABCh.M问题在高为h

的ABC中任取一点M,点M到AB

的距离为随机变量X,

求其密度函数f(x).

问题ABCh.M第30页，共46页，2023年，2月20日，星期一设r.v.服从(0,1)内均匀分布,又其中求r.v.的p.d.f.问题第31页，共46页，2023年，2月20日，星期一思考题：设随机变量X服从(0,2)上的均匀分布,设Y=g(X)是连续型的随机变量吗?第32页，共46页，2023年，2月20日，星期一思考题答案：否.∵Y在[0,1]上取值,Y的分布函数为第33页，共46页，2023年，2月20日，星期一不是连续函数,∴Y不是连续型的随机变量.又∵Y的取值不是有限个或可列个,∴Y

也不是离散型的随机变量.Y是一个非离散非连续型的随机变量.第34页，共46页，2023年，2月20日，星期一1.设离散型随机变量X

的分布律为练习题：求:(1)X+2;(2)的分布律.2.若X

服从上的均匀分布,求Y=tanX

的密度函数.第35页，共46页，2023年，2月20日，星期一3.对圆的直径作近似度量,设其值均匀分布于(a,b)内,试求圆的面积的密度函数.4.设随机变量X

的密度函数为求

的分布函数和密度函数.5.随机变量X服从参数为θ的指数分布,求Y=1/X

的概率密度.第36页，共46页，2023年，2月20日，星期一6.设随机变量X

服从参数为p

的几何分布,即求:的分布律.第37页，共46页，2023年，2月20日，星期一1.(1)(2)练习题答案：第38页，共46页，2023年，2月20日，星期一3.解:设圆的直径为随机变量D,圆的面积第39页，共46页，2023年，2月20日，星期一第40页，共46页，2023年，2月20日，星期一4.解法一(分布函数法)X的取值范围是(-1,1),Y的取值范围是[1,2),第41页，共46页，2