第章 弹塑性力学问题的提法

第五章弹塑性力学问题的提法弹塑性理论1第五章弹塑性力学问题的提法基本方程问题的提法弹性力学问题的基本解法解的惟一性圣维南原理叠加原理塑性力学问题的提法简例第五章弹塑性力学问题的提法

2基本方程第五章弹塑性力学问题的提法由以前几章的讨论，我们得出了在三维情况下弹塑性力学的下列基本方程：平衡方程或者3第五章弹塑性力学问题的提法几何方程应变位移关系导出的应变协调方程4第五章弹塑性力学问题的提法本构方程弹性阶段，应力满足屈服不等式在此条件下本构关系为广义胡克定律。5第五章弹塑性力学问题的提法如用应变表示应力，则有其中6第五章弹塑性力学问题的提法塑性阶段，应力满足屈服函数，在此条件下，根据增量理论有其中7第五章弹塑性力学问题的提法如果采用全量理论，则应变偏量为8第五章弹塑性力学问题的提法总括起来，当物体处于弹性状态时，我们有3个平衡方程，6个几何方程，6个本构方程，共15个方程（统称为泛定方程）。其中包括6个应力方程，6个应变分量，3个位移分量，共15个未知函数，因而在给定边界条件时，问题是可以求解的。当物体处于弹塑性状态时，我们同样有3个平衡方程，6个几何方程以及6个本构方程。此外，在此情况下多引进了一个参数，不过也增加了一个屈服条件，只有在应力满足屈服条件时，才不等于零。应当指出，加载过程的弹塑性问题可作为非线性弹性力学问题来处理。这时，要注意的是卸载问题，卸载时要遵守卸载定律。如上所述，在一定的边界条件下，原则上，问题是可以求解的。弹塑性静力学的这种问题上在数学上称为求解边值问题。9第五章弹塑性力学问题的提法在研究弹塑性小变形平衡问题的范围内，上述弹塑性力学问题的解，必须满足边界上给定的应力边界条件位移边界条件以上这些方程的解是唯一的10第五章弹塑性力学问题的提法问题的提法弹塑性力学问题的提法必须使定解问题是适定的，即：（1）有解；（2）解是唯一的；（3）解是稳定的。就是说，如定解条件（边界条件和初始条件）有微小变化，只引起解作微小变化。我们这里只限于讨论前两个问题。求解弹塑性力学问题的目的，在于求出问题内各点的应力和位移，即应力场、位移场。因而，问题的提法是，给定作用在物体全部边界或内部的外界作用（包括温度影响，外力等），求解物体内因此产生的应力场和位移场。具体地说。对物体内每一点，当它处在弹性阶段，其应力分量、应变分量、位移分量等15个未知函数要满足平衡方程、几何方程、本构方程这15个方程（泛定方程），并要在边界上满足给定的全部边界条件。11第五章弹塑性力学问题的提法当处在塑性阶段，则16个未知函数及要满足平衡方程、几何方程、本构方程及屈服条件等16个方程，同样，在边界上要满足全部边界条件。弹性力学的15个基本方程（泛定方程）含有15个未知函数，是一个封闭的方程组，但只有这组方程组并不能解决具体问题。在所有满足泛定方程的应力、应变和位移分布的函数中，只有与定解条件（边界条件）相符合的解，才是我们需要的解答。因而，边界条件的重要性是不容忽视的。边界条件分为应力边界条件、位移边界条件和混合边界条件三种。应当强调指出，这些边界条件的个数必须给得不多也不少，才能得出正确的解答。例如对于空间问题的应力边界，必须在边界的每一点上有三个应力边界条件，如果条件给多了，就找不到满足全部条件的解；如果给少了，就会有许多的解满足所给的条件，因而也就无法判断哪些是正确的解。12第五章弹塑性力学问题的提法由此可见，弹塑性力学的基本方程组一般地控制了物体内部应力、应变和位移之间相互关系的普遍规律，而定解条件则具体地给出了每一个边值问题的特定规律，每一个具体的问题反映在各自的边界条件上。于是，弹塑性力学的基本方程组和边界条件一起构成了弹塑性力学边值问题的严格完整的提法。根据具体问题边界条件类型的不同，常把边值问题分为以下三类：第一类边值问题：给定物体的体力和面力，求在平衡状态下的应力场和位移场，即所谓边界应力已知的问题。第二类边值问题：给定物体的体力和物体表面各点的位移，求在平衡状态下的应力场和物体内部的位移场，即所谓的边界位移已知的问题。第三类边值问题：在物体表面上，一部分给定面力，其余部分给定位移（或在部分表面上给定外力和位移关系）的条件下求解上述问题，即所谓混合边值问题。13第五章弹塑性力学问题的提法在求解以上边值问题时有三种不同的处理方法，即（1）位移法，用位移作为基本未知量，来求解边值问题，叫位移法。此时将一切未知量和基本方程都转换为用位移表示。通常，给定位移边界条件（第二类边值问题）时，宜用位移法。（2）应力法，用应力作为基本未知量来求解边值问题，叫应力法。此时将一切未知量和基本方程都转换为用应力表示。显然，当给定应力边界条件（第一类边值问题）时，宜用应力法。（3）混合法，对第三类边值问题则宜以各点的一部分位移分量和一部分应力分量作为基本未知量，混合求解。这种方法叫混合法。对于塑性力学问题，还有一些特有的问题需要专门进行讨论。一下专门讨论弹性力学问题的解法。14第五章弹塑性力学问题的提法弹性力学问题的基本解法解的惟一性位移法--位移作为基本未知量，必须将泛定方程改用位移来表示代入平衡方程余类推。15第五章弹塑性力学问题的提法上式称为拉梅-纳维方程16第五章弹塑性力学问题的提法方程组是基本方程的综合（包括平衡方程、几何方程及本构方程）、方程组含有三个未知函数。此外，边界条件也要用位移表示，当给定位移边界条件时，问题自然简单。如给定应力边界条件，则需将边界条件加以变换，改用位移表示。17第五章弹塑性力学问题的提法应力法应力作为基本未知量，需将泛定方程改用应力分量表示，并求出6个应力分量所满足的6个方程。由此所求得的解，应满足应变协调条件和边界条件，为此应将应变协调方程改用应力表示。18第五章弹塑性力学问题的提法19第五章弹塑性力学问题的提法20第五章笨弹塑性夫力学问陕题的提凑法于是得到怪利用应力肺表示的6个协调众方程21第五章局弹塑性双力学问锯题的提除法当体力废不计时因三个陵平衡方含程中含娇有6个未知量深，在给定咱边界条件泰下，尚需允增加协调恒方程，使6个应力分勺量对9个方程同雪时满足。用应力秩法解弹耍性力学筹问题，蝴就归结付为求满皂足平衡禽方程，禽协调方拳程及边罢界条件犹的应力殊分量的齿数学问毕题22第五章贡弹塑性矮力学问参题的提乎法逆解法与炉半逆解法由以上讨悬论可以看该出，对于泼弹性力学罚问题需要梢在严格的卸边界条件纺下解复杂侍的微分方必程组。在起一般情况蹲下，这是醉一件很不垄容易的事炼，因为往问往难以克酿服数学上担的困难。幻玉因而，人念们研究了吧各种解题贿方法，如地逆解法、慨半逆解法垃等。所谓逆解法，就是他选取一师组位移石或应力乱的函数鹊，由此康求出应嫌变与应后力，然钢后验证战是否满拐足基本摔方程。胆若满足帜，则求满出与之撑对应的赠边界条垫件上的兔位移或与面力，抖再与实授际边界赔条件比烂较。如壶果相同迁或可认婶为相近检，就可蔑把所选可取的解丽作为所已要求的茅解。所谓半逆解昂法又叫凑住合解法寒，就是希在未知苹量中，莲先根据宗问题的堵特点假膝设一部辉分为已宏知，然读后在基错本方程瞎和边界础条件中端，求另弯一部分烦，这样府便得到讲了全部聚未知量诸。此外丙，尚有扬近似解幅法、数瓶值解法卵等。解的存枝在定理祝证明过郊程冗长竟，不拟男介绍，璃解的唯姨一性自角修。23第五章嘱弹塑性折力学问滴题的提抱法圣维南原播理圣维南原授理如泳作用在弹合性体表面会上某一不咳大的局部席面积上的沃力系，为昏作用在同吓一局部面秧积上的另页一静力等洁效力系所技代替，则育载荷的这怎种重新分里布，只在计离载荷作只用处很近名的地方，歉才使应力妈的分部发榴生显著的询变化，在组离载荷较毯远处只有穴极小的影类响。如果把矿物体的究一小部援分边界伙上的面债力，变婶换为分摆布不同冒但静力怜等效的聚面力（扛主矢量拌相同，粪对于同亲一点的前主矩也笋相同）弊，那么全，近处富的应力种分布将识有显著浊的改变屈，但是歉远处所栋受的影革响可以龄不计24第五章轻弹塑性稳力学问逝题的提阵法图2-9(a)(b)(c)(d)(e)在上述四恭种情况下通，离开两伐端较远的汇部分的应园力分布，馅并没有显巡寿著的差别。注意：应用圣亦维南原勒理，绝锡不能离援开“静力等尼效”的条件。25第五章视弹塑性乳力学问后题的提请法叠加原理叠加原理成立的条犬件为：小让变形、线蝇性弹性本枯构方程。阻对于大变策形情况，润物体的变果形将影响窗外力的作戏用，如受惠纵向和横懒向外力作相用的梁，除就必须考物虑变形的挣影响，此巷时，26第五章彻弹塑性窗力学问填题的提征法塑性力循学问题把的提法塑性力学阴边值问题唉的提法与僚弹性力学椒问题相同衡，也必须君使定解问泳题是适用盒的，即要捕求所提问沟题：①有芽解；②解党是惟一的臭；③解是刮稳定的。番就是说，盲如定解条途件（边界槽条件和初绝始条件）桐有微小变席化，只引代起解作微洪小变化弹塑性讯力学边布值问题蹈的基本亮方程为平衡方程对增量理库论为对全量理炮论为或者27第五章弹饶塑性力学吓问题的提弦法几何方租程对增量理钓论为对全量堤理论为本构关系对弹塑性抵材料的增根量理论为应力空价间的屈锈服面或栽加载面对全量春理论为是材料常数28第五章询弹塑性每力学问远题的提黄法边界条俩件对增量理互论为对全量理标论为29第五章弹食塑性力学鸣问题的提菠法(1)解的唯一栏性在线性弹稀性力学问灿题中,解的唯一船位定理是愉成立的。局而在弹塑内性力学问捡题中,本构方程晨为非线性,且应力与朝应变不存店在单值对腥应关系,因而问愤题就比餐较复杂勿。如果愉结构是炉简单加压载并全工量理论叔求解,则解是唯鹅一的。在芽必须采用辟增量理论烤求解的问滴题中,对于硬化移材料,当应力确百定时,对应的姜应变增老量也是居唯一确寸定的;对于理撕想塑性前材料,就给定的饲应力值,不能唯袖一地确合定应变基增量,即应变增歉量可以不吵唯一。(2)求解的眨方法弹塑性力哭学问题的裁基本求解树方法仍然燃是位移法谢和应力法嫌。由于涉盾及到复杂帐的非线性局本构方程,通常情紫况下解惯析解是载无法得页到的,只能采用律数值方法决求近似解枝。如果材忆料是理想桃弹塑性的殃或线性硬略化弹塑性菌的,则对于妙某些简婶单弹塑勒性问题,可以得童到解析蔽解。梁的弹塑睁性弯曲，链见薛守义挑弹塑性力蔽学P22祸530第五章舌弹塑性宿力学问颜题的提奔法如图所销示的曲叠杆（四昨分之一咬圆环）时上端承仇受水平斯力的作带用，求粮曲杆的有应力。解:如本题图所示,曲杆任一横截面上的弯矩与成正比，因此应力函数也应与成正比，设应力函数为：把应力慈函数代服入相容闯方程：解该常躁微分方雁程得到31第五章尚弹塑性籍力学问淋题的提惑法于是，怀由应力造函数得狸到应力忠分量为积分常数