材料力学简单的静不定系统

材料力学简单的静不定系统第1页，共80页，2023年，2月20日，星期一第12章

简单的静不定系统

材料力学第2页，共80页，2023年，2月20日，星期一

12.1静不定系统的几个基本概念

第12章

简单的静不定系统

12.4力法与正则方程

12.3对称性与反对称性在求解静不定问题中应用

12.5能量法在求解静不定问题中的应用

12.2简单静不定问题

第3页，共80页，2023年，2月20日，星期一第12章

简单的静不定系统

12.1静不定系统的几个基本概念第4页，共80页，2023年，2月20日，星期一

6.6简单的静不定梁

1、基本概念静不定系统的作用：为了提高工程结构中构件的强度和刚度。

静不定次数：未知力个数与独立平衡方程数之差静定问题与静定结构：未知力（内力或外力）个数等于独立的平衡方程数静不定问题与静不定结构：未知力个数多于独立的平衡方程数多余约束：保持结构静定多余的约束第5页，共80页，2023年，2月20日，星期一一、静不定结构的类型外力静不定系统

内力静不定系统

混合静不定系统

12.1静不定系统的几个基本概念

第6页，共80页，2023年，2月20日，星期一FP1FP2FP1FP2X1X2X3外力静不定系统

12.1静不定系统的几个基本概念

几次静不定？相当系统第7页，共80页，2023年，2月20日，星期一

内力静不定系统FPFPFPFPX1X2X1X2X3X3

12.1静不定系统的几个基本概念

几次静不定？相当系统第8页，共80页，2023年，2月20日，星期一

混合静不定系统FP1FP2FP1FP2X1X2X3X4X4

12.1静不定系统的几个基本概念

几次静不定？相当系统第9页，共80页，2023年，2月20日，星期一几次静不定？X6X6FP1FP2FP1FP2X1X2X3X4X4X5X5

12.1静不定系统的几个基本概念

混合静不定系统相当系统第10页，共80页，2023年，2月20日，星期一

12.1静不定系统的几个基本概念

基本静定系统：选择合适的多余约束，将其除去，使静不定结构变为静定结构，在解除约束处代之以约束力所得到的静定系统。静不定系统：凡是根据平衡方程不能确定全部未知约束力或内力的结构或者结构系统。第11页，共80页，2023年，2月20日，星期一第12章

简单的静不定系统

12.2简单静不定问题第12页，共80页，2023年，2月20日，星期一求解静不定问题，需要以下三方面的联立。平衡方程、变形协调方程、物理方程

12.2简单静不定问题第13页，共80页，2023年，2月20日，星期一yxFN2FN1FP一、拉压静不定问题

12.2简单静不定问题FPABD②①第14页，共80页，2023年，2月20日，星期一FN3

12.2简单静不定问题yxFN2FN1FPC③FPABD②①第15页，共80页，2023年，2月20日，星期一变形协调方程：物理关系FPE3A3l3E1A1l1C③ABD②①E2A2l2已知：E1A1=E2A2、l1＝l2；

E3A3、l3A´FPDl3Dl1＝

Dl2

12.2简单静不定问题第16页，共80页，2023年，2月20日，星期一将物理关系代入变形协调条件得到补充方程为：平衡方程、补充方程联立，得(拉力)(拉力)

12.2简单静不定问题第17页，共80页，2023年，2月20日，星期一装配应力：在静不定结构中，由于制造、装配不准确，在结构装配好后不受外力作用即已存在的应力。ABDABDh加工构件时，尺寸上的微小误差难以避免。对于静定结构，加工误差只会造成结构几何形状的轻微变化，不会引起内力。对静不定结构，加工误差往往要引起内力。

12.2简单静不定问题第18页，共80页，2023年，2月20日，星期一温度应力：在静不定结构中，由于温度变化引起的变形受到约束的限制，因此在杆内将产生内力和应力，称为温度应力和热应力。温度变化将会引起物体的膨胀或收缩。对于静定结构，温度均匀变化时，不会引起内力。对静不定结构，温度变化时往往要引起内力。

12.2简单静不定问题第19页，共80页，2023年，2月20日，星期一安装木地板为防止装配应力、温度应力的处理办法第20页，共80页，2023年，2月20日，星期一二、扭转静不定问题

12.2简单静不定问题

图中所示为两端固定的圆轴AB，全轴扭转刚度相同。在截面C处承受绕轴线的扭转力偶作用，力偶矩Me

为已知。试求：两固定端的约束力偶矩。

2l/3AABBMeMeMAMAMBMBl/3CC解：1．平衡方程AABMeMeMAMAMBMBCC第21页，共80页，2023年，2月20日，星期一

12.2简单静不定问题2l/3AABMeMeMAMAMBMBl/3CC2．变形协调方程3．物理方程4．解联立方程第22页，共80页，2023年，2月20日，星期一解：1.确定静不定次数，并选择基本静定梁。多余约束的数目=1

6.6简单的静不定梁

(2)简支梁(1)悬臂梁

选择合适的多余约束，将其除去，使静不定结构变为静定结构，在解除约束处代之以约束力。化为静定结构的办法：

一般来说，悬臂梁最为简单，其次是简支梁，最后为外伸梁。

BAlqBlAqBlAq

例题7三、简单的静不定梁第23页，共80页，2023年，2月20日，星期一2.列出变形协调方程（几何方程）。

根据基本静定梁的一切情况要与原超静定梁完全相同的要求，得到变形协调条件。

6.6简单的静不定梁

BAlqBlAqBlAq

例题7第24页，共80页，2023年，2月20日，星期一(1)悬臂梁：3.根据物理方程（用积分法或叠加法求变形），列出补充方程，并求出多余未知力。仅有ｑ作用，B点挠度为：仅有

作用，B点挠度为：因此解得：

6.6简单的静不定梁

BlAq

例题7第25页，共80页，2023年，2月20日，星期一4.根据平衡方程在基本静定梁上求出其余的约束力。（）

6.6简单的静不定梁

(1)悬臂梁：BlAq

例题7第26页，共80页，2023年，2月20日，星期一(+)(-)因此5.在基本静定梁上按照静定梁的方法求解内力、应力和变形。

6.6简单的静不定梁

BlAq

例题7BlAq第27页，共80页，2023年，2月20日，星期一处理具体问题时的注意点讨论：求解简单静不定梁的步骤◆

确定静不定次数，并选择基本静定梁。◆

列出变形协调方程。◆

根据物理方程（用积分法或叠加法求变形），列出补充方程，并求出多余未知力。◆

根据平衡方程在基本静定梁上求出其余的约束反力。◆

在基本静定梁上按照静定梁的方法求解内力、应力和变形。力法：以力作为未知量,将位移表示为力的形式，从而求解未知力，进而求解位移的方法。BAlq第28页，共80页，2023年，2月20日，星期一第12章

简单的静不定系统

12.3对称性与反对称性在求解静不定问题中应用第29页，共80页，2023年，2月20日，星期一

若结构的几何形状、尺寸、构件材料及约束条件都对称于某一轴，则这样的结构称为对称结构（symmetricstructure）。

在不同的荷载作用下，对称结构可能产生对称变形、反对称变形或一般变形。

正确而巧妙地应用对称性和反对称性，不仅可以推知某些未知量，而且可以使分析、计算过程大为简化。

12.3对称性与反对称性在求解静不定问题中应用第30页，共80页，2023年，2月20日，星期一

当对称结构承受对称荷载时，其约束力、内力分量以及位移都是对称的。一、对称结构的对称变形

12.3对称性与反对称性在求解静不定问题中应用第31页，共80页，2023年，2月20日，星期一

对称结构的对称变形FPFPABEFCD结构对称轴

12.3对称性与反对称性在求解静不定问题中应用位移对称第32页，共80页，2023年，2月20日，星期一

对称结构的对称变形ABEFCD结构对称轴FPFPFAxFBxFAyFByMAMB

12.3对称性与反对称性在求解静不定问题中应用约束力对称第33页，共80页，2023年，2月20日，星期一

对称结构的对称变形FPFAxFAyMAFPFBxFByMBFX1FX1FX2FX2FX3FX3

12.3对称性与反对称性在求解静不定问题中应用内力对称第34页，共80页，2023年，2月20日，星期一

当对称结构承受反对称荷载时，其上的约束力、内力分量以及位移都具有反对称的特征。二、对称结构的反对称变形

12.3对称性与反对称性在求解静不定问题中应用第35页，共80页，2023年，2月20日，星期一对称结构的反对称变形FPFPEDABC结构对称轴

12.3对称性与反对称性在求解静不定问题中应用位移反对称第36页，共80页，2023年，2月20日，星期一对称结构的反对称变形FPFPEDABC结构对称轴FAxFBxFAyFByMAMB

12.3对称性与反对称性在求解静不定问题中应用约束力反对称第37页，共80页，2023年，2月20日，星期一FX1FX1FX2FX2FX3FX3CFPDAEFPBCFAxFBxFAyFByMAMB对称结构的反对称变形

12.3对称性与反对称性在求解静不定问题中应用内力反对称第38页，共80页，2023年，2月20日，星期一ABDCABDCMMMM对称还是反对称？对称还是反对称？思考第39页，共80页，2023年，2月20日，星期一FPEDABC结构对称轴三、对称结构的一般变形及其简化

12.3对称性与反对称性在求解静不定问题中应用第40页，共80页，2023年，2月20日，星期一EDAB对称结构的一般变形EDABEDABFP/2FP/2FPFP/2FP/2

12.3对称性与反对称性在求解静不定问题中应用第41页，共80页，2023年，2月20日，星期一第12章

简单的静不定系统

12.4力法与正则方程

第42页，共80页，2023年，2月20日，星期一力法：以力作为未知量，而将位移均表示为力的形式，从而解出未知力，进而亦可解得位移。

12.4力法与正则方程

位移法：如以位移作为未知量，而将未知力均表示为未知位移的形式，从而通过求解未知位移来求解未知力。第43页，共80页，2023年，2月20日，星期一

12.4力法与正则方程

正则方程：在力法中，反映多余约束处位移受到限制的变形条件可以写成规则的未知力的线性方程组。

对于一个n次静不定系统，则有n个多余约束力（包括外约束力与内约束力），这些未知力分别用X1，X2，…

，Xn表示。第44页，共80页，2023年，2月20日，星期一ABCFPABCX1FPX2

12.3力法与正则方程

第45页，共80页，2023年，2月20日，星期一X1FPX2Δ1PΔ2PΔ1X1Δ2X1Δ1X2Δ2X2

12.3力法与正则方程

第46页，共80页，2023年，2月20日，星期一1FP1

12.3力法与正则方程

第47页，共80页，2023年，2月20日，星期一第12章

简单的静不定系统

12.5能量法在求解静不定问题中的应用第48页，共80页，2023年，2月20日，星期一

图乘法的应用

12.6能量法在求解静不定问题中的应用

第49页，共80页，2023年，2月20日，星期一例题1

平面刚架受力如图所示,各杆的弯曲刚度均为EI，不考虑剪力和轴力的影响。试：画出弯矩图。FPABCll

12.6能量法在求解静不定问题中的应用

第50页，共80页，2023年，2月20日，星期一X1X2ABC解：1、判断结构是静定的还是静不定的，确定静不定次数FAxFAyMAFPABC

12.6能量法在求解静不定问题中的应用

2、建立基本静定系统X1X2ABCFP

例题1第51页，共80页，2023年，2月20日，星期一3、根据变形协调条件，写出正则方程FPABCX1X2ABCFP

12.6能量法在求解静不定问题中的应用

例题1第52页，共80页，2023年，2月20日，星期一4、建立荷载系统与单位荷载系统，画出相应的弯矩图FP11FPlllll

12.6能量法在求解静不定问题中的应用

第53页，共80页，2023年，2月20日，星期一5、应用图乘法计算正则方程中的位移1lll1lFPlFP2l/3l

12.6能量法在求解静不定问题中的应用

第54页，共80页，2023年，2月20日，星期一2l/35、应用图乘法计算正则方程中的位移1lll1l2l/3l

12.6能量法在求解静不定问题中的应用

（位移互等定理）第55页，共80页，2023年，2月20日，星期一6、将位移代入正则方程并求解联立方程

12.6能量法在求解静不定问题中的应用

第56页，共80页，2023年，2月20日，星期一7、画出弯矩图ABCFPFP00

12.6能量法在求解静不定问题中的应用

第57页，共80页，2023年，2月20日，星期一应用“图乘法”求解静不定问题的步骤◆判断问题的性质与静不定次数◆建立基本静定系统◆建立正则方程（根据变形协调条件）。◆建立荷载系统与单位荷载系统，画出相应的弯矩图◆用图乘法计算各个荷载引起的位移◆求解全部多余约束力◆画出内力图处理具体问题时的注意点第58页，共80页，2023年，2月20日，星期一

卡氏定理的应用

12.6能量法在求解静不定问题中的应用

第59页，共80页，2023年，2月20日，星期一

将解除多余约束后所出现的未知力均作为已知量，从而写出结构的应变能表达式，以只有弯矩和扭矩作用的情形为例：

根据多余约束处的约束条件，应用卡氏定理即可建立求解这些多余约束力的变形协调方程：

12.6能量法在求解静不定问题中的应用

第60页，共80页，2023年，2月20日，星期一

上述方程中i＝0是对刚性约束而言的；对于弹性约束，i也可能不为零，而等于某一常量。

12.6能量法在求解静不定问题中的应用

第61页，共80页，2023年，2月20日，星期一应用“卡氏定理”求解静不定问题的步骤1．判断问题的性质与静不定次数2．确定合适的基本静定系统3．建立相当系统。4．建立变形协调条件。

12.6能量法在求解静不定问题中的应用

5．分段建立弯矩方程，并求出偏微分。6．用卡氏定理计算每一个荷载引起的位移。7．求解全部多余约束力。8．画出内力图。第62页，共80页，2023年，2月20日，星期一例题2

平面刚架受力如图所示,各杆的弯曲刚度均为EI，不考虑剪力和轴力的影响，试画出弯矩图。（用卡氏定理求解）FPABCll

12.6能量法在求解静不定问题中的应用

第63页，共80页，2023年，2月20日，星期一X1X2ABC解：1、原系统为二次静不定，建立下图相当系统FP

12.6能量法在求解静不定问题中的应用

FPABCll第64页，共80页，2023年，2月20日，星期一2、比较相当系统与静不定系统，根据变形协调要求写出正则方程FPABCX1X2ABCFP

12.6能量法在求解静不定问题中的应用

第65页，共80页，2023年，2月20日，星期一3、建立荷载系统与单位荷载系统，画出相应的弯矩图

12.6能量法在求解静不定问题中的应用

X1X2ABCFPxx第66页，共80页，2023年，2月20日，星期一4、应用卡氏定理计算正则方程中的位移

12.6能量法在求解静不定问题中的应用

X1X2ABCFP第67页，共80页，2023年，2月20日，星期一5、画出弯矩图ABCFPFP00

12.6能量法在求解静不定问题中的应用

第68页，共80页，2023年，2月20日，星期一

半圆形平面曲杆，其圆弧半径为R，曲杆截面直径为d，材料的杨氏模量为Ｅ，曲杆两端铰接于A、B二处，受力如图所示。

若FP、R、E、d等均为已知，并且忽略剪力和轴力的影响，求：A、B二处的水平约束力。FPRABC例题3

12.6能量法在求解静不定问题中的应用

第69页，共80页，2023年，2月20日，星期一

解：根据约束性质，A、B二处均有两个约束力；又根据对称性，两处的约束力对应相等。FP/2FP/2FHFHRFPABC

根据平衡条件可以确定垂直约束力为FP／2，水平约束力FH＝FH。无法由平衡条件求得，故为一次静不定问题。FPRABC

12.6能量法在求解静不定问题中的应用

应用卡氏定理，由A、B二处的水平位移等于零这一变形协调条件，可以确定水平约束力FH。第70页，共80页，2023年，2月20日，星期一

首先，采用角座标，写出曲杆任意横截面上的弯矩方程，即将弯矩M表示成FP和FH的函数：

在曲杆中，规定：使曲杆的曲率增大的弯矩为正。FP/2FP/2FHFHRFPABC

12.6能量法在求解静不定问题中的应用

第71页，共80页，2023年，2月20日，星期一1、利用对称性，

整个曲杆的应变能等于左、右两部分应变能之和。于是，卡氏定理可以写成利用A、B二处的约束条件，即A、B二点的相对位移等于零，上式可以写成FP/2FP/2FHFHRFPABC

12.6能量法在求解静不定问题中的应用

第72页，共80页，2023年，2月20日，星期一利用A、B二处的约束条件，即A、