极点配置与观测器设计

极点配置与观测器设计第1页，共115页，2023年，2月20日，星期一第一节概述一、问题的提出系统的描述主要解决系统的建模、各种数学模型(时域、频域、内部、外部描述)之间的相互转换等；系统的分析，则主要研究系统的定量变化规律(如状态方程的解，即系统的运动分析等)和定性行为(如能控性、能观测性、稳定性等)。

综合与设计问题则与此相反，即在已知系统结构和参数(被控系统数学模型)的基础上，寻求控制规律，以使系统具有某种期望的性能。第2页，共115页，2023年，2月20日，星期一一般说来，这种控制规律常取反馈形式，因为无论是在抗干扰性或鲁棒性能方面，反馈闭环系统的性能都远优于非反馈或开环系统。在本章中，我们将以状态空间描述和状态空间方法为基础，仍然在时域中讨论线性反馈控制规律的综合与设计方法。由于系统的极点决定系统的稳定性，因此，为了改善系统的动态性能，可以通过构造状态反馈来调整系统的极点。第3页，共115页，2023年，2月20日，星期一ACB二、状态反馈与输出反馈的形式K1.状态反馈反馈规律开环系统：状态反馈后的闭环系统：开环极点：闭环极点：第4页，共115页，2023年，2月20日，星期一ACBH2.输出反馈第5页，共115页，2023年，2月20日，星期一问题：1.状态反馈会不会改变系统的能控性？状态反馈会不会改变系统的能观性？2.是否所有的系统都可以通过状态反馈任意配置极点？若不可以，什么条件下，可任意配置极点？什么条件下，不可任意配置极点？不能任意配置极点时，能否部分配置极点使闭环稳定？3.如何选择K？4.如何实现状态反馈？第6页，共115页，2023年，2月20日，星期一定理5-1：开环系统完全能控

经过状态反馈后的闭环系统完全能控。即：因为：∴开环系统完全能控闭环系统完全能控即，状态反馈不改变系统的能控性但状态反馈改变系统的能观性第7页，共115页，2023年，2月20日，星期一举例：能控,能观系统取状态反馈:能控不能观第8页，共115页，2023年，2月20日，星期一系统开环极点：状态反馈律：第9页，共115页，2023年，2月20日，星期一系统闭环极点：其中：开环能控极点可任意配置开环不能控极点无法改变从而有如下结论：1.状态反馈只改变能控性极点；2.只有开环系统完全能控时，所有的极点都可改变，即开环系统完全能控时，可任意配置极点；3.不能控极点不稳定时（不能控极点有实部≥0），无论如何选择K，闭环系统都不会稳定；第10页，共115页，2023年，2月20日，星期一4.只有不能控部分都具有负实部（此时称能稳系统），反馈才有意义。定理5-2：能任意配置极点开环系统完全能控。推理5-1：当开环不完全能控，能通过状态反馈使闭环稳定不能控极点具有负实部。第11页，共115页，2023年，2月20日，星期一第二节单输入系统的极点配置开环系统：（完全能控）状态反馈：闭环系统：若希望(给定)闭环极点多项式为：第12页，共115页，2023年，2月20日，星期一进行状态反馈后，应该有：即：第13页，共115页，2023年，2月20日，星期一例：分析：第14页，共115页，2023年，2月20日，星期一第15页，共115页，2023年，2月20日，星期一一、能控标准形的极点配置设n阶系统为：开环极点多项式：希望闭环极点多项式：第16页，共115页，2023年，2月20日，星期一设反馈增益矩阵：闭环系统为：仍为底友阵第17页，共115页，2023年，2月20日，星期一闭环极点多项式：应有：即：用开环极点多项式系数－闭环极点多项式系数，从常数项开始第18页，共115页，2023年，2月20日，星期一归纳步骤：第19页，共115页，2023年，2月20日，星期一例：解：由劳斯判据，显然开环不稳定。第20页，共115页，2023年，2月20日，星期一例：能控标准形要求闭环满足：根据闭环指标，选闭环系统极点设闭环极点多项式：超调量：峰值时间：阻尼振荡频率：第21页，共115页，2023年，2月20日，星期一则由自控知识：取：满足要求第22页，共115页，2023年，2月20日，星期一开环系统：第23页，共115页，2023年，2月20日，星期一二、非能控标准形的极点配置开环系统：状态反馈：闭环系统：希望极点：化能控标准形第24页，共115页，2023年，2月20日，星期一归纳步骤：第25页，共115页，2023年，2月20日，星期一P的求法：方法一：方法二：第三章方法MATLAB中采用第26页，共115页，2023年，2月20日，星期一例：解：容易验证系统是能控的，但不是能控标准形（4）求变换矩阵P第27页，共115页，2023年，2月20日，星期一第28页，共115页，2023年，2月20日，星期一第三节多输入系统的极点配置一、(A,B)能控极点配置是找适当K，使：第29页，共115页，2023年，2月20日，星期一若(A,b1)能控，即：对(A,b1)完全能控，找行向量，使为希望的极点。其余不妨取：第30页，共115页，2023年，2月20日，星期一则：但存在问题:

(A,B)能控时，不能得证(A,b1)能控。第31页，共115页，2023年，2月20日，星期一解决办法:第32页，共115页，2023年，2月20日，星期一定理5-3给出了证明。（略）能控重排Qc：顺序选n个线性无关列向量构成Q：满足：Q：n×n阶满秩阵第33页，共115页，2023年，2月20日，星期一构造：第34页，共115页，2023年，2月20日，星期一练习Q,S的取法：例:第35页，共115页，2023年，2月20日，星期一取4个线性无关的列向量构成Q,有：第36页，共115页，2023年，2月20日，星期一例:第37页，共115页，2023年，2月20日，星期一取4个线性无关的列向量构成Q,有：第38页，共115页，2023年，2月20日，星期一例:第39页，共115页，2023年，2月20日，星期一不用反馈，对第一输入就是能控。第40页，共115页，2023年，2月20日，星期一设计步骤:判断(A,b1)是否完全能控，是则直接反馈求k1；否则:第41页，共115页，2023年，2月20日，星期一定理5-4m-1注意：第42页，共115页，2023年，2月20日，星期一例：解：显然(A,B)能控，(A,b1)不完全能控。第43页，共115页，2023年，2月20日，星期一第44页，共115页，2023年，2月20日，星期一第45页，共115页，2023年，2月20日，星期一例：解：显然(A,B)能控，(A,b1)不完全能控。第46页，共115页，2023年，2月20日，星期一第47页，共115页，2023年，2月20日，星期一第48页，共115页，2023年，2月20日，星期一第49页，共115页，2023年，2月20日，星期一第50页，共115页，2023年，2月20日，星期一例：解：第51页，共115页，2023年，2月20日，星期一第52页，共115页，2023年，2月20日，星期一二、(A,B)不完全能控第53页，共115页，2023年，2月20日，星期一说明只能对能控部分配置极点第54页，共115页，2023年，2月20日，星期一归纳：第55页，共115页，2023年，2月20日，星期一例：例：(1)能控性分解第56页，共115页，2023年，2月20日，星期一第57页，共115页，2023年，2月20日，星期一第58页，共115页，2023年，2月20日，星期一返回原坐标系，可得所求状态反馈为：第59页，共115页，2023年，2月20日，星期一第四节观测器及其设计方法状态观测器实质——状态估计器(或动态补偿器)。利用被控对象的输入和输出对状态进行估计，从而解决某些状态变量不能直接测量的难题。一、开环观测器最简单、直观的想法是用仿真技术构造一个和上述系统一样的系统，为：第60页，共115页，2023年，2月20日，星期一构造状态观测器的目的是z可以逼近x，则最终两者误差应趋于零。估计器的初始状态(任意)要与系统的初始状态完全一致。所以，开环观测器在实际应用上无意义。原因：没有反馈第61页，共115页，2023年，2月20日，星期一二、闭环观测器

开环系统:只利用了系统的输入信息，没有考虑输出信息；

闭环系统:利用输出估计误差作反馈，构成一闭环系统。整理：第62页，共115页，2023年，2月20日，星期一定理5-6：系统存在观测器，且观测器极点可任意配置的充要条件是系统完全能观。推理5-2：若系统是不完全能观的，则其存在观测器的充要条件是不能观部分的极点具有负实部，称其为能检的。第63页，共115页，2023年，2月20日，星期一开环观测器结构图-状态估计值第64页，共115页，2023年，2月20日，星期一+--闭环观测器结构图第65页，共115页，2023年，2月20日，星期一三、状态观测器设计1.全阶观测器定义:如果系统的全部状态x都用观测器的输出z接近，则由于系统是n阶的，那么也是的方阵。观测器即为n维全阶观测器。设计思路：利用对偶系统来考虑第66页，共115页，2023年，2月20日，星期一第67页，共115页，2023年，2月20日，星期一总结：求其对偶系统第68页，共115页，2023年，2月20日，星期一例：解：第69页，共115页，2023年，2月20日，星期一第70页，共115页，2023年，2月20日，星期一第71页，共115页，2023年，2月20日，星期一例：解：对偶系统：第72页，共115页，2023年，2月20日，星期一第73页，共115页，2023年，2月20日，星期一第74页，共115页，2023年，2月20日，星期一第75页，共115页，2023年，2月20日，星期一第76页，共115页，2023年，2月20日，星期一第77页，共115页，2023年，2月20日，星期一2.降阶观测器考虑系统C阵为如下形式：第78页，共115页，2023年，2月20日，星期一那么利用已知的，不通过反馈，比估计值更精确。即：只由观测器估计x中其它n-p个未知的状态。为此设计的观测器即为降阶观测器。第79页，共115页，2023年，2月20日，星期一设计思路：对于单输出系统，降阶观测器为n-1维。第80页，共115页，2023年，2月20日，星期一展开：(a)(b)(c)第81页，共115页，2023年，2月20日，星期一(d)(c)－(b)为：降阶观测器方程为：第82页，共115页，2023年，2月20日，星期一第83页，共115页，2023年，2月20日，星期一第84页，共115页，2023年，2月20日，星期一第85页，共115页，2023年，2月20日，星期一多输出系统降维观测器设计步骤：第86页，共115页，2023年，2月20日，星期一第87页，共115页，2023年，2月20日，星期一第88页，共115页，2023年，2月20日，星期一例：解：直接利用步骤(4)-(7)计算，无需进行线性变换第89页，共115页，2023年，2月20日，星期一第90页，共115页，2023年，2月20日，星期一例：解：单输出p=1C1C2第91页，共115页，2023年，2月20日，星期一第92页，共115页，2023年，2月20日，星期一第93页，共115页，2023年，2月20日，星期一第94页，共115页，2023年，2月20日，星期一第五节用状态观测器的反馈系统一、用状态观测器的反馈系统性能讨论在系统实际执行状态反馈时，并不是由被控系统的状态x作状态反馈，而是由其估计值z作反馈。这样的反馈比直接反馈要复杂。状态观测器为：第95页，共115页，2023年，2月20日，星期一问题：1.当初配置极点时，只考虑系统本身，并没有考虑带有观测器的系统。原来配置的闭环极点会不会受观测器影响而发生变化？2.设计观测器时也是单独进行，这样将两者放在一起，会不会改变观测器性能？

下面以全阶观测器为例分析这样的系统，对用最低阶观测器分析结果一样。第96页，共115页，2023年，2月20日，星期一(1)(2)(3)(4)(4)代入(1)，(3)；(2)代入(3)得：矩阵形式：(*)(6)(5)第97页，共115页，2023年，2月20日，星期一(6)－(5)得：调整(5)式得：写成矩阵形式：第98页，共115页，2023年，2月20日，星期一图形说明：第99页，共115页，2023年，2月20日，星期一结论：闭环系统的维数是被控系统的维数+观测器维数。

（用降阶观测器，结论一样）闭环极点设计分离性3.带观测器反馈系统的传函与不带观测器反馈系统传函一样。（传函不变性）4.带观测器反馈系统的极点具有分离性，可分开独立设计。5.观测器反馈与直接状态反馈的等效性。第100页，共115页，2023年，2月20日，星期一这样，设计时分两部分独立设计，为设计带来方便。带观测器反馈系统的鲁棒性较直接反馈差。鲁棒性：当系统参数有变动时，仍有良好性能（抗干扰能力）。通常，取观测器的极点比闭环极点远2～3倍。即：如：则：第101页，共115页，2023年，2月20日，星期一二、动态补偿器的设计稳定动态补偿器问题：当x不能直接反馈时，可用x的估计值z代替，则补偿器为：第102页，共115页，2023年，2月20日，星期一带观测器的动态补偿系统这样设计的系统可以获得稳定的极点，使系统还稳定。设计时，闭环极点与观测器极点具有分离性，分开来设计，最后只不过只用即可。()第103页，共115页，2023年，2月