2023年人教版九年级中考数学二轮专题复习-圆讲义

2022-2023中考数学二轮专题--圆复习【知识点回顾】知识点1：圆心角——顶点在圆心的角。等对等定理：圆心角、弦、弧之间关系：在一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，所对的弦也相等；如果弧相等，那么它所对的圆心角相等，所对的弦也相等；如果弦相等，那么所对的圆心角相等，圆心角所对的弧相等。1．如图，已知AD、BC是⊙O的两条弦，AD＝BC.求证：AB＝CD.知识点2：圆周角【基本概念】顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．圆周角的顶点在圆上，它的两边与圆相交．★★★圆周角定理及其推论：①圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．②同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半．③同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等圆周角所对的弧也相等．④直径定理：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．⑤圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角．1．如图1，A，B，C，是⊙O上的三个点，若∠AOC＝110°，则∠ABC＝°．2．如图2，点C在以AB为直径的⊙O上，∠A＝30°，则∠B＝_____________度3．如图3，AB是⊙O直径，C、D都是圆O上的点，∠BOC＝130°，则∠D的度数是____________．图3图3图1图2*垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。（均可使用等腰三角形的判定来推理）推论一：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧.推论二：弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧.推论三：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧.辅助线做法：连接圆心和两个端点，并利用勾股定理进行有关计算或证明。1．如图1，在⊙O中，AB是直径，AB⊥CD，∠COD＝100°，则∠COB＝__________2．如图2，⊙O表示一圆形工件，AB＝15cm，OM＝8cm，并且MB:MA＝1:4，工件半径的长cm.【解答题训练】1．如图，已知是的直径，C，D是上的点，，交于点E，连结．（1）求证：；（2）若，，求图中阴影部分的面积．2．如图已知AB是⊙O的直径，，点C，D在⊙O上，DC平分∠ACB，点E在⊙O外，．(1)求证：AE是⊙O的切线；(2)求AD的长．3．已知如图，为的直径，为的弦，垂直于过点的直线，垂足为，且平分．求证：（1）是的切线；（2）．4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的⊙O分别交AC，BC于点M，N，过点N作NE⊥AB，垂足为E，（1）若⊙O的半径为，AC=6，求BN的长；（2）求证：NE与⊙O相切．5．如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，AB=8cm，∠BAC=30°，点D是弦AC上的一点．（1）若OD⊥AC，求OD长；（2）若CD=2OD，判断形状，并说明理由．【课堂作业】一、选择题1．如图，圆内接四边形ABCD，AB＝3，∠C＝135°，若AB⊥BD，则圆的直径是()A．6B．5C．3eq\r(3)D．3eq\r(2)2．已知函数eqy＝\b\lc\{\rc\(\a\vs1\al\co1(x2＋2x－1(x≤1),\f(2,x)(x＞1)))，当随的增大而减小时，的取值范围是()A．x≥1B．x≤﹣1C．－1≤x≤1D．x≤－1或x≥1二、填空题3．已知(x－2015)2＋(x－2017)2＝100，则(x－2016)2＝．4．在平面直角坐标系中，以原点为圆心，5为半径的⊙O与直线y＝kx＋2k＋3（k≠0）交于A、B两点，则弦AB长的最小值是．三、解答题5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC．求作⊙O，使得点O在边AB上，且⊙O经过B、D两点；并证明AC与⊙O相切．(要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)6．如图，AB是ʘO的直径，AC是ʘO的切线，BC交ʘO于点E，(1)若D为AC的中点，证明DE是ʘO的切线；(2)若OA＝eq\r(3)，CE＝1，求△ABC的面积．【解答题训练】参考答案：1【解析】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵OC∥BD，∴∠AEO=∠ADB=90°，即OC⊥AD，又∵OC为半径，∴AE=ED；解：连接CD，OD，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC=30°，∴∠AOC=∠OCB+∠OBC=60°，∵OC∥BD，∴∠OCB=∠CBD=30°，∴∠COD=2∠CBD=60°，∠ABD=60°，∴∠AOD=120°，∵AB=6，∴BD=3，AD=3，∵OA=OB，AE=ED，∴OE＝BD＝，∴S阴影=S扇形AOD-S△AOD==．2【解析】（1）和是所对圆周角，；AB是圆的直径，，在中，，，，，，AE是⊙O的切线．（2）如图：AB是圆的直径，DC平分∠ACB，，，，，是直角三角形；，，．3【解析】（1）证明，．∵平分，，，．，，∴是的切线；（2）证明：连接NE，∵为的直径，∴．，．，，，．4【解析】解：（1）连接DN，ON∵⊙O的半径为，∴CD=5∵∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，∴BD=CD=AD=5，∴AB=10，∴BC==8∵CD为直径∴∠CND=90°，且BD=CD∴BN=NC=4（2）∵∠ACB=90°，D为斜边的中点，∴CD=DA=DB=AB，∴∠BCD=∠B，∵OC=ON，∴∠BCD=∠ONC，∴∠ONC=∠B，∴ON∥AB，∵NE⊥AB，∴ON⊥NE，∴NE为⊙O的切线．5【解析】解：（1）AB为⊙O的直径，AB=8cm，∠BAC=30°，OD⊥AC，，（2）是等腰三角形．理由如下：如图，过作于连接设则由勾股定理可得：是等腰三角形．【课堂作业】参考答案一、考前必练1．C2．A3．34．②5．解：（1）m＝5；（2）B组的圆心角是45°，C组的圆心角是90°；（3）恰好都是女生的概率是：eq\f(1,2)．6．（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴，∴AD＝CD．（2）解：∵AD＝CD，AD＝CM，∴CD＝CM∵DF⊥BC，∴∠DFC＝∠CFM＝90°．在Rt△CDF和Rt△CMF中，，∴Rt△CDF≌Rt△CMF（HL），∴