北工商《概率论与数理统计》试题库

《概率论与数理统计》试题（A）一、判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”）⑴对任意事件A和B，必有P(AB)=P(A)P(B)()⑵设A、B是Ω中的随机事件,则(A∪B)-B=A()⑶若X服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX()⑷假设检验基本思想的依据是小概率事件原理（）⑸样本方差=是母体方差DX的无偏估计（）二、（20分）设A、B、C是Ω中的随机事件，将下列事件用A、B、C表示出来（1）仅发生，B、C都不发生；（2）中至少有两个发生；（3）中不多于两个发生；（4）中恰有两个发生；（5）中至多有一个发生。三、（15分）把长为的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率.四、（10分）已知离散型随机变量的分布列为求的分布列.五、（10分）设随机变量具有密度函数，＜x＜，求X的数学期望和方差.六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求.x00.511.522.53Ф(x)0.5000.6910.8410.9330.9770.9940.999七、（15分）设是来自几何分布，的样本，试求未知参数的极大似然估计.《概率论与数理统计》试题（A）评分标准一⑴×；⑵×；⑶√；⑷√；⑸×。二解（1）（2）或；（3）或；（4）；（5）或每小题4分；三解设‘三段可构成三角形’，又三段的长分别为，则，不等式构成平面域.------------------------------------5分aS发生aSa/2不等式确定的子域，----------------------------------------10分a/2所以Aaa/20-----------------------------------------15分Aaa/20四解的分布列为.Y的取值正确得2分，分布列对一组得2分；五解，（因为被积函数为奇函数）--------------------------4分----------------------------------------10分六解X～b(k;100,0.20),EX=100×0.2=20,DX=100×0.2×0.8=16.----5分---------------------------10分=0.994+0.933--1.--------------------------------------------------15分七解----------5分--------------------------------10分解似然方程，得的极大似然估计。--------------------------------------------------------------------15分《概率论与数理统计》期末试题（2）与解答一、填空题（每小题3分，共15分）设事件仅发生一个的概率为0.3，且，则至少有一个不发生的概率为__________.设随机变量服从泊松分布，且，则______.设随机变量在区间上服从均匀分布，则随机变量在区间内的概率密度为_________.设随机变量相互独立，且均服从参数为的指数分布，，则_________，=_________.设总体的概率密度为.是来自的样本，则未知参数的极大似然估计量为_________.解：1．即所以.2．由知即解得，故.3．设的分布函数为的分布函数为，密度为则因为，所以，即故另解在上函数严格单调，反函数为所以4．，故.5．似然函数为解似然方程得的极大似然估计为.二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设为三个事件，且相互独立，则以下结论中不正确的是（A）若，则与也独立.（B）若，则与也独立.（C）若，则与也独立.（D）若，则与也独立.（）2．设随机变量的分布函数为，则的值为（A）.（B）.（C）.（D）.（）3．设随机变量和不相关，则下列结论中正确的是（A）与独立.（B）.（C）.（D）.（）4．设离散型随机变量和的联合概率分布为若独立，则的值为（A）.（A）.（C）（D）.（）5．设总体的数学期望为为来自的样本，则下列结论中正确的是（A）是的无偏估计量.（B）是的极大似然估计量.（C）是的相合（一致）估计量.（D）不是的估计量.（）解：1．因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A），（B），（C）都是正确的，只能选（D）.SASABC2．所以应选（A）.3．由不相关的等价条件知应选（B）.4．若独立则有YXYX，故应选（A）.5．，所以是的无偏估计，应选（A）.三、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.解：设‘任取一产品，经检验认为是合格品’‘任取一产品确是合格品’则（1）（2）.四、（12分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5.设为途中遇到红灯的次数，求的分布列、分布函数、数学期望和方差.解：的概率分布为即的分布函数为.五、（10分）设二维随机变量在区域上服从均匀分布.求（1）关于的边缘概率密度；（2）的分布函数与概率密度.1D01z1D01zxyx+y=1x+y=zD1（2）利用公式其中当或时xzz=xxzz=x故的概率密度为的分布函数为或利用分布函数法六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标和纵坐标相互独立，且均服从分布.求（1）命中环形区域的概率；（2）命中点到目标中心距离的数学期望.xy012xy012；（2）.七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：cm），今抽取容量为16的样本，测得样本均值，样本方差.（1）求的置信度为0.95的置信区间；（2）检验假设（显著性水平为0.05）.（附注）解：（1）的置信度为下的置信区间为所以的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132）（2）的拒绝域为.，因为，所以接受.《概率论与数理统计》期末试题（3）与解答一、填空题（每小题3分，共15分）设事件与相互独立，事件与互不相容，事件与互不相容，且，，则事件、、中仅发生或仅不发生的概率为___________.甲盒中有2个白球和3个黑球，乙盒中有3个白球和2个黑球，今从每个盒中各取2个球，发现它们是同一颜色的，则这颜色是黑色的概率为___________.设随机变量的概率密度为现对进行四次独立重复观察，用表示观察值不大于0.5的次数，则___________.设二维离散型随机变量的分布列为若，则____________.设是总体的样本，是样本方差，若，则____________.（注：,,,）解：（1）因为与不相容，与不相容，所以，故同理..（2）设‘四个球是同一颜色的’，‘四个球都是白球’，‘四个球都是黑球’则.所求概率为所以.（3）其中，，.（4）的分布为XY10.60.4这是因为，由得，故.（5）即，亦即.二、单项选择题（每小题3分，共15分）（1）设、、为三个事件，且，则有（A）（B）（C）（D）（）（2）设随机变量的概率密度为且，则在下列各组数中应取（A）（B）（C）.（D）（）（3）设随机变量与相互独立，其概率分布分别为则有（A）（B）（C）（D）（）（4）对任意随机变量，若存在，则等于（A）（B）（C）（D）（）（5）设为正态总体的一个样本，表示样本均值，则的置信度为的置信区间为（A）（B）（C）（D）（）解（1）由知，故应选C.（2）即故当时应选B.（3）应选C.（4）应选C.（5）因为方差已知，所以的置信区间为应选D.三、（8分）装有10件某产品（其中一等品5件，二等品3件，三等品2件）的箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都是一等品，求丢失的也是一等品的概率。解：设‘从箱中任取2件都是一等品’‘丢失等号’.则；所求概率为.四、（10分）设随机变量的概率密度为求（1）常数；（2）的分布函数；（3）解：（1）∴（2）的分布函数为（3）.五、（12分）设的概率密度为求（1）边缘概率密度；（2）；（3）的概率密度.x+y=1yyx+y=1yy=xx0（2）.（3）zyz=xxzyz=xx0z=2x时所以六、（10分）（1）设，且与独立，求；（2）设且与独立，求.11yx011yx0；（2）因相互独立，所以，所以.七、（10分）设总体的概率密度为试用来自总体的样本，求未知参数的矩估计和极大似然估计.解：先求矩估计故的矩估计为再求极大似然估计所以的极大似然估计为.《概率论与数理统计》期末试题（4）与解答一、填空题（每小题3分，共15分）设,,，则至少发生一个的概率为_________.设服从泊松分布，若，则___________.设随机变量的概率密度函数为今对进行8次独立观测，以表示观测值大于1的观测次数，则___________.元件的寿命服从参数为的指数分布，由5个这种元件串联而组成的系统，能够正常工作100小时以上的概率为_____________.设测量零件的长度产生的误差服从正态分布，今随机地测量16个零件，得，.在置信度0.95下，的置信区间为___________.解：（1）得.（2）故..（3），其中.（4）设第件元件的寿命为，则.系统的寿命为，所求概率为（5）的置信度下的置信区间为所以的置信区间为（）.二、单项选择题（下列各题中每题只有一个答案是对的，请将其代号填入（）中，每小题3分，共15分）（1）是任意事件，在下列各式中，不成立的是（A）. （B）.（C）. （D）.（）（2）设是随机变量，其分布函数分别为，为使是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（A）.（B）.（C）.（D）. （）（3）设随机变量的分布函数为，则的分布函数为（A）.（B）.（C）.（D）.（）（4）设随机变量的概率分布为.且满足，则的相关系数为（A）0.（B）.（C）.（D）.（）（5）设随机变量且相互独立，根据切比雪夫不等式有（A）.（B）.（C）.（D）.（）解：（1）（A）：成立，（B）：应选（B）（2）.应选（C）（3）应选（D）（4）的分布为X2X1–101–10000100，所以，于是.应选（A）（5）由切比雪夫不等式应选（D）三、（8分）在一天中进入某超市的顾客人数服从参数为的泊松分布，而进入超市的每一个人购买种商品的概率为，若顾客购买商品是相互独立的，求一天中恰有个顾客购买种商品的概率。解：设‘一天中恰有个顾客购买种商品’‘一天中有个顾客进入超市’则.四、（10分）设考生的外语成绩（百分制）服从正态分布，平均成绩（即参数之值）为72分，96以上的人占考生总数的2.3%，今任取100个考生的成绩，以表示成绩在60分至84分之间的人数，求（1）的分布列.（2）和.解：（1），其中由得，即，故所以.故的分布列为（2），.五、（10分）设在由直线及曲线所围成的区域上服从均匀分布，（1）求边缘密度和，并说明与是否独立.（2）求.y01e2xy=y01e2xy=1/xD的概率密度为（1）（2）因，所以不独立.（3）.六、（8分）二维随机变量在以为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求的概率密度。yx+y=z10yx+y=z10–1xD1设的概率密度为，则1–1zy0y当1–1zy0y当时所以的密度为解2：分布函数法，设的分布函数为，则故的密度为七、（9分）已知分子运动的速度具有概率密度为的简单随机样本（1）求未知参数的矩估计和极大似然估计；（2）验证所求得的矩估计是否为的无偏估计。解：（1）先求矩估计再求极大似然估计得的极大似然估计，（2）对矩估计所以矩估计是的无偏估计.八、（5分）一工人负责台同样机床的维修，这台机床自左到右排在一条直线上，相邻两台机床的距离为（米）。假设每台机床发生故障的概率均为，且相互独立，若表示工人修完一台后到另一台需要检修的机床所走的路程，求.解：设从左到右的顺序将机床编号为为已经修完的机器编号，表示将要去修的机床号码，则于是《概率论与数理统计》试题（5）一、判断题（每小题3分，本题共15分。正确打“√”，错误打“×”）⑴设A、B是Ω中的随机事件,必有P(A-B)=P(A)-P(B)()⑵设A、B是Ω中的随机事件,则A∪B=A∪AB∪B()⑶若X服从二项分布b(k;n,p),则EX=p()⑷样本均值=是母体均值EX的一致估计（）⑸X～N(,),Y～N(,)，则X－Y～N(0,－)（）二、计算（10分）（1）教室里有个学生，求他们的生日都不相同的概率；（2）房间里有四个人，求至少两个人的生日在同一个月的概率.三、（10分）设，证明、互不相容与、相互独立不能同时成立.四、（15分）某地抽样结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩（即参数之值）为72分，96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率。分布表如下x011.522.53Ф(x)0.50.8410.9330.9770.9940.999五、（15分）设的概率密度为问是否独立？六、（20分）设随机变量服从几何分布，其分布列为，求与七、（15分）设总体服从指数分布试利用样本，求参数的极大似然估计.八《概率论与数理统计》试题（5）评分标准一⑴×；⑵√；⑶×；⑷√；⑸×。二解（1）设‘他们的生日都不相同’，则----------------------------------------------------------5分（2）设‘至少有两个人的生日在同一个月’，则；或 -------------------------------------------10分三证若、互不相容，则，于是所以、不相互独立.-----------------------------------------------------------5分若、相互独立，则，于是，即、不是互不相容的.--------------------------------------------------------------5分四解-------------------------3分-------------------------------------7分所求概率为----------12分=2Ф（1）-1=2×0.841-1=0.682--------------------15分五解边际密度为---5分---------------------------------------------------------10分因为，所以独立.-----------------------------------15分六解1--8分其中由函数的幂级数展开有，所以--------------------------------12分因为-----16分所以------------------------------------20分七解-----------------------------------------------------------8分由极大似然估计的定义，的极大似然估计为---------------------------15分《概率论与数理统计》试题（6）一、判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”）⑴设A、B是Ω中的随机事件，则Ａ－ＢA（）⑵对任意事件A与B，则有P(A∪B)=P(A)+P(B)（）⑶若X服从二项分布b(k;n,p),则EX=npq()⑷X~N（，2），X1，X2，……Xn是X的样本，则~N（，2）（）⑸X为随机变量，则DX=Cov（X，X）----------------------------------------------（）二、（10分）一袋中装有枚正品硬币，枚次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）从袋中任取一枚，已知将它投掷次，每次都得到国徽，问这枚硬币是正品的概率是多少？.三、（15分）在平面上画出等距离的一些平行线，向平面上随机地投掷一根长的针，求针与任一平行线相交的概率.四、（15分）从学校到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，设为途中遇到红灯的次数，求随机变量的分布律、分布函数和数学期望.五、（15分）设二维随机变量（，）在圆域x2+y2≤a2上服从均匀分布，（1）求和的相关系数；（2）问是否独立？六、（10分）若随机变量序列满足条件试证明服从大数定律.七、（10分）设是来自总体的一个样本，是的一个估计量，若且试证是的相合（一致）估计量。八、（10分）某种零件的尺寸标准差为σ=5.2，对一批这类零件检查9件得平均尺寸数据（毫米）：=26.56,设零件尺寸服从正态分布，问这批零件的平均尺寸能否认为是26毫米（）.正态分布表如下x01.561.962.333.1Ф(x)0.50.9410.9750.990.999《概率论与数理统计》试题（6）评分标准一⑴√；⑵×；⑶×；⑷×；⑸√。二解设‘任取一枚硬币掷次得个国徽’，‘任取一枚硬币是正品’，则 ，----------------------------------------------------------5分所求概率为.------------------10分三解设‘针与某平行线相交’，针落在平面上的情况不外乎图中的几种，设为针的中点到最近的一条平行线的距离。为针与平行线的夹角，则ayay，不等式确定了平面上ayayxy0yAxy0yAS------------------------10分故-----------------------------------------------------15分四解，分布律为即-----------------------5分的分布函数为------------------有所不同-----------------10分---------------------------------------------------15分五．解的密度为-------------------------------------------3分（1）故的相关系数.----------------------------------------------------------9分（2）关于的边缘密度为关于的边缘密度的因为，所以不独立.------------------------------------15分六证：由契贝晓夫不等式，对任意的有---------5分所以对任意的故服从大数定律。----------------------------------------------------------------------10分七证由契贝晓夫不等式，对任意的有-------------------------------------------------------5分于是即依概率收敛于，故是的相合估计。--------------------------------------10分八解问题是在已知的条件下检验假设：=26查正态分布表，1－=0.975,=1.96---------------5分1u1=1.08＜1.96,应当接受，即这批零件的平均尺寸应认为是26毫米。---------------15分模拟试题A一.单项选择题（每小题3分，共9分）1.打靶3发，事件表示“击中i发”，i=0，1，2，3。那么事件表示

(

)。(A)

全部击中；

(B)

至少有一发击中；(C)必然

击中；

(D)

击中3发2.设离散型随机变量x的分布律为则常数A应为(

)。

(A)；

(B)

；

(C)

；

(D)3.设随机变量

，服从二项分布B(n，p)，其中0<p<1，n=1，2,…，那么，对于任一实数x，有等于

(

)。(A)

;

(B);(C)

;

(D)二、填空题（每小题3分，共12分）1.设A,B为两个随机事件，且P(B)>0，则由乘法公式知P(AB)=__________2.设且有,,则=___________。3.某柜台有4个服务员，他们是否需用台秤是相互独立的，在1小时内每人需用台秤的概率为，则4人中至多1人需用台秤的概率为：__________________。4.从1，2，…，10共十个数字中任取一个，然后放回，先后取出5个数字，则所得5个数字全不相同的事件的概率等于___________。三、（10分）已知

，求证

四、（10分）5个零件中有一个次品，从中一个个取出进行检查，检查后不放回。直到查到次品时为止，用x表示检查次数，求

的分布函数：五、（11分）设某地区成年居民中肥胖者占10%,不胖不瘦者占82%,瘦者占8%,又知肥胖者患高血压的概率为20%,不胖不瘦者患高血压病的概率为10%,瘦者患高血压病的概率为5%,

试求：(1)该地区居民患高血压病的概率;(2)若知某人患高血压,则他属于肥胖者的概率有多大？六、（10分）从两家公司购得同一种元件，两公司元件的失效时间分别是随机变量和，其概率密度分别是：

如果与相互独立，写出的联合概率密度，并求下列事件的概率:

(1)到时刻两家的元件都失效(记为A)，

(2)到时刻两家的元件都未失效(记为B)，

(3)在时刻至少有一家元件还在工作(记为D)。七、（7分）证明：事件在一次试验中发生次数x的方差一定不超过。八、（10分）设和是相互独立的随机变量，其概率密度分别为又知随机变量

,

试求w的分布律及其分布函数。九、（11分）某厂生产的某种产品，由以往经验知其强力标准差为

7.5kg且强力服从正态分布，改用新原料后，从新产品中抽取25件作强力试验，算得

，问新产品的强力标准差是否有显著变化？(分别取和0.01，已知，）十、（11分）在考查硝酸钠的可溶性程度时，对一系列不同的温度观察它在100ml的水中溶解的硝酸钠的重量，得观察结果如下：从经验和理论知与之间有关系式?且各独立同分布于。试用最小二乘法估计a,b.概率论与数理统计模拟试题A解答一、单项选择题1.（B）;

2.(B);

3.(D)二、填空题1.P(B)P(A|B);

2.0.3174;

3.

;

4.

=0.3024三、解：因，故可取

其中

u～N(0，1)，，且u与y相互独立。从而

与y也相互独立。又由于

于是

四、的分布律如下表：五、(i=1，2，3)分别表示居民为肥胖者，不胖不瘦者，瘦者B

：“

居民患高血压病”则

，

，

，

，

由全概率公式由贝叶斯公式，六、(x,h)联合概率密度

(1)

P(A)=

(2)

(3)

七、证一：设事件A在一次试验中发生的概率为p，又设随机变量

则

，

故证二：

八、因为

所以w的分布律为w的分布函数为九、要检验的假设为：

；

在

时，故在

时，拒绝认为新产品的强力的标准差较原来的有显著增大。

当

时，

故在下接受，认为新产品的强力的标准差与原来的显著差异。

注:：

改为：也可十、模拟试题C(A.B.D)一.填空题（每小题3分，共15分）1．

设A，B，C是随机事件，则A，B，C三个事件恰好出现一个的概率为______。2．

设X，Y是两个相互独立同服从正态分布的随机变量，则E(|X-Y|)=______。3．

是总体X服从正态分布N，而是来自总体X的简单随机样本，则随机变量服从______，参数为______。4．

设随机变量X的密度函数，Y表示对X的5次独立观察终事件出现的次数，则DY=______。5．

设总体X的密度函数为是来自X的简单随机样本，则X的最大似然估计量＝______。二.选择题（每小题3分，共15分）1．设,则下列结论成立的是（

）（A）事件A和B互不相容；（B）事件A和B互相对立；（C）事件A和B互不独立；（D）事件A和B互相独立。2．将一枚硬币重复郑n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X与Y的相关系数等于（

）。（A）-1

（B）0

（C）1/2

（D）13．设分别为随机变量的分布函数，为使是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组值中应取（

）。3．设是来自正态总体的简单随机样本，是样本均值，记则服从自由度为n-1的t分布随机变量为（

）。5．设二维随机变量（X，Y）服从二维正态分布，则随机变量不相关的充分必要条件为（

）。三、（本题满分10分）假设