2019高考理科数学及答案

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合〃="|一4<工<2},7V={x|x2-x-6<0},则〃口义=A.{x|-4<x<3} B.{x|-4<x<-2}C.{x|-2<x<2} D.{x[2<x<3}.设复数z满足,z在复平面内对应的点为(x,y),则(x+1)2(x+1)2+y2=\(x-l)2+/=1x2x2+(j/-l)2=1/+(y+i)2=].已知。=log20.2,b=2°2,c=0.2°3,则A.a<b<cB.a<c<bA.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a190cm190cm4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的氏度与肚脐至足底的长度之比是史」（吏二1*0.618,称为黄金分割比例），著4.2 2名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是也」.若某人满足上述两个黄2金分割比例，且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是A.165cm B.175cm C.185cm D.——22——

输出45.函数/（工）=血二在［-%九］的图像大致为COSX+X9.记S，为等差数列｛4｝输出45.函数/（工）=血二在［-%九］的图像大致为COSX+X9.记S，为等差数列｛4｝的前〃项和.已知§4=0,见=5,则一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是 7.已知非零向量-b满足|o|=2|b|,且则Q与b的夹角为A.a=2n-5B.a=3«-10C.S=2n2-SnD.S„n n n n28.右图是求一、一的程序框图，图中空白框中应填入2+-T2+—2.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“一”和阴爻右图就是1a=——~1+24左=A+110.已知椭圆。的焦点为£（-1,0），工。,0），过用的直线与C交于4，B两点.若\AF1\=2\F2B\. =|町 则C的方程为.关于函数/（x）=sin|x|+|sinx］有下述四个结论:①“X）是偶函数 ②/（外在区间G，冗）单调递增③〃工）在［-0可有4个零点 ④的最大值为2其中所有正确结论的编号是A.®®® B.@® C.®® D.©®.已知三棱锥P-4BC的四个顶点在球。的球面上，PA=PB=PC,△/BC是边长为2的正三角形，E,F分别是以，45的中点，ZCEF=90°,则球。的体积为A.8灰冗 B.4娓7i C.2>/6k D.在久二、填空题$本题共4小题，每小题5分，共20分。.曲线y=3（d+工代工在点。0）处的切线方程为..记邑为等比数列｛勺｝的前"项和.若/=g，d=4,贝l」§5=..甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队羸得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立，则甲队以4:1获胜的概率是-.已知双曲线。：£-口=1（a>0,b>0）的左、右焦点分别为耳，鸟，过片的直线ab与C的两条渐近线分别交于力，3两点.若司=刀，电•可=0,则C的离心率为.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。.（12分）AABC的内角力，B,C的对边分别为。,b,c.设（sin5-sinCP=sir?力一sin8sinC.（1）求人（2）若后a+8=2c,求sinC.—24.(12分)如图，直四棱柱48c0-44G4的底面是菱形，"=4,AB=2,ZBAD=60°,E,M,N分别是BC,BB},NQ的中点.(1)证明：MV〃平面GDE；(2)求二面角的正弦值.19.(12分)已知抛物线2=3、的焦点为尸’斜率为万的直线,与C的交点为/‘8'与'轴的交点为尸.(1)若尸|+|昉1=4,求/的方程;(2)若万=3而,求14sl.(12分)已知函数/(x)=sinx-ln(l+x)》/'(x)为/(x)的导数.证明：/'(x)在区间(-r)存在唯一极大值点；2/(x)有且仅有2个零点.(12分)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为。和夕，一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，R(i=0,l,…,8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则Po=0,ps=1，Pi=apj+bp+CRN(i=L2,・・・,7),其中"户(X=T),b=P(X=0),c=P(X=l).假设a=0.5,4=0.8.(i)证明：{R.「R}(i=0J2…,7)为等比数列；(ii)求R，并根据A的值解释这种试验方案的合理性.—25—(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.［选修4-4：坐标系与参数方程］(10分),1-产X一“一，一，在直角坐标系X。中，曲线C的教方程为 ‘(Z为参数).以坐标原点。为极点,X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为2pcose+Gpsine+U=0.(1)求C和，的直角坐标方程；(2)求C上的点到I距离的最小值.23.［选修4-5：不等式选讲］(10分)已知a,b,c为正数，且满足%=1.证明：—+—+—^a2+Z?2+c2；abc(a+d)3+(6+c)3+(c+a)3^24.—26—绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案一、选择题1.C7.B绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案一、选择题1.C7.B2.8.3.9.4.10.5.DILC6.A12.D二、填空题13.y=3x14.121

~T15.13.y=3x14.121

~T15.0.1816.三、解答题.解：（1）由已知得sin?B+sinZC-sin?V=sin3sinC，故由正弦定理得唯+c2~a2=be.r22_2由余弦定理得cosA="+°-a2bc因为0。</<180。，所以/=60。.（2）由（1）知B=120。-。，由题设及正弦定理得0sin4+sin（12O。-C）=2sinC,即巫+立cosC+^sinC=2sinC,可得cos（C+6（r）=-农.2 2 2 2由于0。＜。＜120。，所以sin（C+6（r）=?，故sinC=sin（C+60°-60c＞）=sin（C+60°）cos600-cos（C+60°）sin600_y/6+\[2=.4.解：（1）连结qc,ME.因为"，E分别为BC的中点，所以ME〃B]C,且ME=、B£.又因为N为4。的中点，所以必=」4。.2 1 21由题设知可得与。区4。，故.ME星ND,因此四边形MADE为平行四边形，MN〃ED.又MNe平面屈DC1，所以MN"平面—21—

(2)由已知可得以0为坐标原点，应的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系。-.，则/一(2,0,0),4(2,0,4),Af(1,V3,2),AT(1,0,2),奉=(0,0,-4),加=(0,-0,0).设/«二(居y,z)为平面4M4的法向量，则nt'AiM=0,4 m-A^A-Q.所以卜+与-2z=0,可取雁=(Q,],o).-4z=0.设〃=(p,q,r)为平面的法向量，则n•MN-0,tt■A1N=0.所以卜后g=°'可取”(2。-1).[_p_2r=0.TOC\o"1-5"\h\z于是8s〈/»,/>>=旭"=2”厂,所以二面角/4-M4,-N的正弦值为.\m\\n\2xV55 519.解：3设直线，：y=-#+t,4($,乂)，B(x2,y2).(1)由题设得尸(2,0)，故尸|+|川＞玉+~+—，由题设可得看+吃=94 2 23由＜'=万'+/,可得9好+12«_1我+4/=0,则.+3=_12(，-1).y=3x 9UK12(/-1) 5犯7从而 =一f得t- •9 2 83 7所以/的方程为y=±x-',2 8—28—(2)由万二3而可得乂=-3月.'=3由，=5"+力可得可-2y+2=0.y=3x所以必+为=2.从而一3%+必=2,故％=-1，%=3.代入C的方程得不=3,x2=1.故20.解：(1)设g(x)=/'(x)，则g(x)=cosx-■jJ—，gf(x)=-sinx+---,1+x (1+x)当工€(-16时，/(X)单调递减，而g'(0)>0,g"(y)<0,可得g，(x)在(-1,,有71唯一零点，设为a.则当xw(-l,a)时，gF(x)>0；当xe(a,-)时，gf(x)<0.2所以g(x)在(-1,。)单调递增，在(a,9单调递减，故g(x)在(-1,§存在唯一极大值点，即八X)在(-岭存在唯一极大值点.(2)“X)的定义域为(T,+oo).(i)当xe(-1,0］时，由(1)知，/'(外在(—1,0)单调递增，而/''⑼=。，所以当xe(-l,0)时，/f(x)<0,故/⑸在(T0)单调递减.又/(0)=0,从而x=0是〃工)在(-1,0］的唯一零点.TOC\o"1-5"\h\z(ii)当xw(0=］时,由(1)知，八x)在(0,a)单调递增，在(a,2)单调递减，2 2而八0)=0,八,<0,所以存在£w(Q令,使得八万)=0,且当工£。0时，/V)>0：当xw(")时，/'(x)<0.故/⑴在(0,尸)单调递增，在(伉与单调递减.2 2又“0)=0,〃至)=l-ln(l+工)>0,所以当xe(O二］时，/(0>0.从而，，(x)在2 2 2呜］没有零点.——29——(iii)当工呜间时，f｛x)<0,所以/(x)在(如)单调递减.而吗)>0,/㈤<0,所以/(外在0H有唯一零点.(iv)当XW(冗,+e)时，ln(x+D>l,所以f(x)vO,从而/(x)在(町+8)没有零点.综上，/(x)有且仅有2个零点.21.解:(1)X的所有可能取值为-1,0,1，P(%=0)=a/7+(l-a)(l-^),P(X=1)—).所以X的分布列为X-1 0 1P(1一。)尸a£+(l-a)(l-p)a(l-fl)⑵（i）由⑴得a=0.4,6=0.5,c=0.1.因此p,=0.4p“+0.5R+0.1外1，故ON%1-Pi）=04（Pi-，即P,+「Pi=43-Pi）・又因为p「Po=B¥O,所以｛Pm-R｝（i=0」2…,7）为公比为4,首项为目的等比数列.（ii）由（i）可得08=用一「7+P7—P6+…+P「Po+Po二（Pg-27）+（「7-/）+…+（P1-Po）4s-1=-y-Pi*由于28=1，Pa=(入一8)+3一02)+33)+(百一。0)44-1—7-Aj1

"257,P4表示最终认为甲药更有效的概率.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有