人教课标实验版八年级上册第十五章整式的乘除与因式分解1整式的除法“衡水杯”一等奖

整式的除法教学目标

（一）教学知识点

1．单项式除以单项式的运算法则及其应用．

2．单项式除以单项式的运算算理．

（二）能力训练要求

1．经历探索单项式除以单项式的运算法则的过程，会进行单项式与单项式的除法运算．

2．理解单项式与单项式相除的算理，发展有条理的思考及表达能力．

（三）情感与价值观要求

1．从探索单项式除以单项式的运算法则的过程中，获得成功的体验，积累研究数学问题的经验．

2．提倡多样化的算法，培养学生的创新精神与能力．

教学重点

单项式除以单项式的运算法则及其应用．

教学难点

探索单项式与单项式相除的运算法则的过程．

教学方法

自主探索法．

有同底数幂的除法的研究基础，学生可以用已有的知识与数学经验，自主探索得出单项式与单项式相除的运算法则，并能用息的语言有条理地表达及应用．

教具准备

多媒体课件．

教学过程

Ⅰ．提出问题，创设情境

[师]做多媒体课件演示

问题：木星的质量约是1．90×1024吨．地球的质量约是×1021吨．你知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗？

[生]这是除法运算，木星的质量约为地球质量的（×1024）÷（×1021）倍．

继续播放：

讨论：（1）计算（×1024÷（×1021）．说说你计算的根据是什么？

（2）你能利用（1）中的方法计算下列各式吗？

8a3÷2a；5x3y÷3xy；12a3b2x3÷3ab2．（3）你能根据（2）说说单项式除以单项式的运算法则吗？

Ⅱ．导入新课

[师]观察讨论（2）中的三个式子是什么样的运算．

[生]这三个式子都是单项式除以单项式的运算．

[师]前一节我们学过同底数幂的除法运算，同学们思考一下可不可以用自己现有的知识和数学方法解决“讨论”中的问题呢？

（学生以小组为单位进行探索交流，教师可参与到学生的讨论中，对遇到困难的同学及时予以启发和帮助）

讨论结果展示：

可以从两方面考虑：

1．从乘法与除法互为逆运算的角度．

（1）我们可以想象×1021•（

）=×1024．根据单项式与单项式相乘的运算法则：单项式与单项式相乘，是把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变作为积的因式，可以继续联想：所求单项式的系数乘以等于，所以所求单项式系数为÷≈，所求单项式的幂值部分应包含1024÷1021即103，由此可知×1021•（×103）=×1024．所以（×1024）÷（×1021）=×103．

（2）可以想象2a•（

）=8a3，根据单项式与单项式相乘的运算法则，可以考虑：8÷2=4，a3÷a=a2

即2a•（4a2）=8a3．所以8a3÷2a=4a2．

同样的道理可以想象3xy•（

）=6x3y；

3ab2•（

）=12a3b2x3，考虑到6÷3=2，x3÷x=x2，y÷y=1；12÷3=4，a3÷a=a2，b2÷b2=1．所以得3xy•（2x2）=6x3y；3ab2•（4a2x3）=12a3b2x3．所以6x3y÷3xy=2x2；12a3b2x3÷3ab2=4a2x3．

（用多媒体课件播放，帮助学生更直观地理解算理）

2．还可以从除法的意义去考虑．

（1）（×1024）÷（×1021）=

=0．318×103．

（2）8a3÷2a=

=4a．

6x3y÷3xy=

=2x2．

12a3b2x3÷3ab2=

•x3=4a2x3．

上述两种算法有理有据，所以结果正确．

[师]请大家考虑运算结果与原式的联系．

[生甲]观察上述几个式子的运算，它们有下列共同特征：

（1）都是单项式除以单项式．

（2）运算结果都是把系数、同底数幂分别相除后作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式．

（3）单项式相除是在同底数幂的除法基础上进行的．

[生乙]其实单项式除以单项式可以分为系数相除；同底数幂相除，只在被除式里含有的字母三部分运算．

[师]同学们总结得很好．能用很条理的语言描述单项式与单项式相除的运算法则，而且能抓住法则的实质所在，这是数学能力的提高与体现，老师为你们骄傲．下面我们应用单项式与单项式相除的运算法则解决一些计算问题，进一步体会运算法则的实质所在．

1．例：计算

（1）28x4y2÷7x3y

（2）-5a5b3c÷15a4b

（3）（2x2y）3•（-7xy2）÷14x4y3

（4）5（2a+b）4÷（2a+b）2

分析：（1）、（2）直接运用单项式除法的运算法则；（3）要注意运算顺序：先乘方，再乘除，再加减；（4）鼓励学生悟出：将（2a+b）视为一个整体来进行单项式除以单项式的运算．

解：（1）28x4y2÷7x3y

=（28÷7）•x4-3•y2-1

=4xy．

（2）-5a5b3c÷15a4b

=（-5÷15）a5-4b3-1c

=-

ab2c．

（3）（2x2y）3•（-7xy2）÷14x4y3

=8x6y3•（-7xy2）÷14x4y3

=[8×（-7）]•x6+1y3+2÷14x4y3

=（-56÷14）•x7-4•y5-3

=-4x3y2．

（4）5（2a+b）4÷（2a+b）2

=（5÷1）（2a+b）4-2

=5（2a+b）2

=5（4a2+4ab+b2）

=20a2+20ab+5b2

Ⅲ．随堂练习

a．课本P189练习1、2．

1．解：（1）10ab3÷（-5ab）

=[10÷（-5）]•a1-1•b3-1

=-2b2．

（2）-8a2b3÷6ab2

=（-8÷6）a2-1b3-2

=-

ab．

（3）-21x2y4÷（-3x2y3）

=[-21÷（-3）]x2-2y4-3

=7y．

（4）（6×108）÷（3×105）

=（6÷3）108-5

=2×103．

2．解：

b．月球距离地球大约×105km，一架飞机的速度约为8×102km/h．如果乘坐此飞机飞行这么远的距离，大约需要多少时间？

答案：（×105）÷（8×102）=480（h）=20（天）．即如果乘坐此飞机到月球上去旅行的话，大约需要20天才能到．

Ⅳ．课时小结

1．单项式的除法法则是_________________．

2．应用单项式除法法则应注意：

①系数先相除，把所得的结果作为商的系数，运算过程中注意单项式的系数饱含它前面的符号；

②把同底数幂相除，所得结果作为商的因式，由于目前只研究整除的情况，所以被除式中某一字母的指数不小于除式中同一字母的指数；

③被除式单独有的字母及其指数，作为商的一个因式，不要遗漏；

④要注意运算顺序，有乘方要先做乘方，有括号先算括号里的，同级运算从左到右的顺序进行．

Ⅴ．课后作业

1．课本P191习题15．4─2、4、5题．

2．预习“多项式与单项式的除法．”

Ⅵ．活动与探究

已知多项式A=1343x-258，B=x2+5x-1，C=2x3-10x2+51x-259，D=2x5-x3+6x2-3x+1，你能用符号和加、减、乘、除等运算符号把它们连结起来吗？

过程：从多项式的次数上去考查，发现B和C的次数之和等于D的次数，因此尝试计算B×C，而后再与D作比较，可以发现A、B、C、D的联系．

因为B×C=2x5-x3+6x2-1346x+259

所以B×C+A=2x5-x3+6x2-3x+1=D．

结果：D=B×C+A．

板书设计

备课资料

如何评估校对效率

校对是一项劳神的工作，但若没有校对（或只有差劲的校对），书本或其他刊物的阅读性将会大大降低，若时间和资源许可，出版物在出版前最好能有两位校对员分别进行独立的校阅，效果当然更为理想，但即使经过两遍校对，又如何得知其效率有多大？

小思受老师之命，为数学学会出版的期刊负责校对工作，小心翼翼地把所有的稿件校对完毕后，小思发现了28个错误，老师对这个结果似乎感到非常满意，并告诉小思：“较早之前，有另一名同学找出24个错处，其中22个与你发现的相同，你能否估计到全部稿件有多少个错误？”

老师的问题怎样解决？为什么老师这么满意校对的结果？

过了一会，疲倦的小思还是想出了方法：假设另一名负责校对的同学发现的错误数目为x，而她找到的为y．再设c和n分别为两人找出的共同错处和全部稿件的错误数目．假设两人找出错误的难度相同，则

，即n=

．因此，稿件的错误大概是

，约31个．

然而，小思的老师为什么对这个结果感到满意？表面上看，找出来最高的错误数目只是28个，与估计的总数还相差3个之多呢．但想深一层，其实两人漏校的错误数目（设为r）可以由以下的方法计算出来：

r=n-x-y+x

=

-x-y+c

由此，r=

…………（*）

代入数值，