华师大版九年级下第27章圆2圆的认识2圆的对称性微课

《圆的对称性》同步练习一、选择题1.如图，⊙O的弦AB＝8，半径ON交AB于点M，M是AB的中点，且OM＝3，则MN的长为（） 2.如图，圆O半径为10cm，弓形高为4cm，则弓形的弦AB的长为（） 3.如图，A，B在半径为的⊙O上，将沿着弦AB翻折，若∠AOB＝150°，则图中月牙（阴影）的面积等于（）A.π﹣3 B.π+3 π﹣3 D.π4.如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为（） B. D.5.如图所示，在⊙O中，半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC，若AB＝8，CD＝2，则EC的长度为（） 二、填空题6.点A、C为半径是4的圆周上两点，点B为弧AC的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆半径的中点上，则该菱形的边长为。7.如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为4，弦AB的长为3，过O作OC⊥AB于点C，则OC的长度是；⊙O内一点D的坐标为（﹣2，1），当弦AB绕O点顺时针旋转时，点D到AB的距离的最小值是。8.位于黄岩西城的五洞桥桥上老街目前正在修复，如图①是其中一处中式圆形门，图②是它的平面示意图，已知AB过圆心O，且垂直CD于点B，测得门洞高度AB为米，门洞下沿CD宽为米，则该圆形门洞的半径为。9.如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8，AO＝5，则OF的长度是。10.′如图，在平面直角坐标系xOy中，扇形OAB的圆心角∠AOB＝60°，点A在x轴正半轴上且OA＝2，带你C为弧AB的中点，D为半径OA上一点，点A关于直线CD的对称点为E，若点E落在扇形OAB内（不含边界），则点E的横坐标x取值范围为。三、解答题11.如图，OD是⊙O的半径，AB是弦，且OD⊥AB于点C连接AO并延长交⊙O于点E，若AB＝8，CD＝2，求⊙O半径OA的长。12.如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点，＝，DH⊥AB于点H，AC分别交BD、DH于E、F。（1）已知AB＝10，AD＝6，求AH。（2）求证：DF＝EF13.如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC＝4，AC＝4。（1）求点O到AC的距离；（2）求∠ADC的度数。14.如图，Rt△OAB中，∠OAB＝Rt∠，以OA为半径的⊙O交BO于点C，交BO延长线于点D。在⊙O上取一点E，且＝，延长DE与BA交于点F。（1）求证：△BDF是直角三角形；（2）连接AC，AC＝2，OC＝2BC，求AF的长。15.问题呈现：阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD。下面是运用“截长法”证明CD＝AB+BD的部分证明过程。证明：如图2，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG。∵M是的中点，∴MA＝MC……请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；实践应用：（1）如图3，已知△ABC内接于⊙O，BC＞AB＞AC，D是的中点，依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为。（2）如图4，已知等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，D为AB上一点，连接DB，∠ACD＝45°，AE⊥CD于点E，△BDC的周长为4+2，BC＝2，请求出AC的长。

参考答案一、选择题1.【分析】连接OA，由M为圆O中弦AB的中点，利用垂径定理的逆定理得到OM垂直于AB，由AB的长求出AM的长，在直角三角形OAM中，由AM与OM的长，利用勾股定理求出OA的长，即为圆O的半径。【解答】解：连接OA，∵在圆O中，M为AB的中点，AB＝8，∴OM⊥AB，AM＝AB＝4，在Rt△OAM中，OM＝3，AM＝4，根据勾股定理得：OA＝＝5。∴MN＝5﹣3＝2故选：A。【点评】此题考查了垂径定理的逆定理，以及勾股定理，熟练掌握定理是解本题的关键。2.【分析】首先构造直角三角形，再利用勾股定理得出BC的长，进而根据垂径定理得出答案。【解答】解：如图，过O作OD⊥AB于C，交⊙O于D，∵CD＝4cm，OD＝10cm，∴OC＝6cm，又∵OB＝10cm，∴Rt△BCO中，BC＝＝8cm，∴AB＝2BC＝16cm。故选：C。【点评】此题主要考查了垂径定理以及勾股定理，得出AC的长是解题关键。3.【分析】根据S阴＝S圆O﹣2•S弓形AmB计算即可。【解答】解：如图，作BD⊥AO交AO于点D。∵OA＝OB，∠AOB＝150°，∴∠DOB＝30°，∵OB＝，∴BD＝OB＝，S阴＝S圆O﹣2•S弓形AmB＝π•（）2﹣2（﹣××）＝6π﹣5π+3＝π+3，故选：B。【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，翻折变换，扇形的面积等知识，解题的关键是学会用分割法求阴影部分的面积，属于中考常考题型。4.【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据垂径定理、勾股定理即可求得OP的长，本题得以解决。【解答】解：作OE⊥AB交AB与点E，作OF⊥CD交CD于点F，如右图所示，则AE＝BE，CF＝DF，∠OFP＝∠OEP＝90°，又∵圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，∴∠FPE＝90°，OB＝10，BE＝8，∴四边形OEPF是矩形，OE＝6，同理可得，OF＝6，∴EP＝6，∴OP＝，故选：B。【点评】本题考查垂径定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答。5.【分析】首先连接BE，由⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB＝8，CD＝1，根据垂径定理可求得AC＝BC＝4，然后设OA＝x，利用勾股定理可得方程：42+（x﹣1）2＝x2，则可求得半径的长，继而利用三角形中位线的性质，求得BE的长，又由AE是直径，可得∠B＝90°，继而求得答案。【解答】解：连接BE，∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB＝8，∴AC＝BC＝4，设OA＝x，∵CD＝2，∴OC＝x﹣2，在Rt△AOC中，AC2+OC2＝OA2，∴42+（x﹣2）2＝x2，解得：x＝5，∴OA＝OE＝5，OC＝3，∴BE＝2OC＝6，∵AE是直径，∴∠B＝90°，∴CE＝＝2，故选：D。【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角形中位线的性质.注意准确作出辅助线是解此题的关键。二、填空题6.【分析】如图，连接OA，设BD交AC于G，BD交⊙O于F。首先证明BF是⊙O的直径，利用勾股定理求出AG，即可解决问题。【解答】解：如图，连接OA，设BD交AC于G，BD交⊙O于F。∵四边形ABCD是菱形，∴BD垂直平分线段AC，∴BF是直径，∵OD＝DF＝2，OB＝4，∴BG＝DG＝2，∴OG＝1，在Rt△AGD中，AG＝＝，在Rt△ABG中，AB＝＝2，故答案为2【点评】本题考查菱形的性质，垂径定理，解直角三角形.勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型。7.【分析】连接OB，根据垂径定理求出BC，根据勾股定理计算求出OC，根据勾股定理求出OD，求出点D到AB的距离的最小值。【解答】解：连接OB，∵OC⊥AB，∴BC＝AB＝，由勾股定理得，OC＝＝，当OD⊥AB时，点D到AB的距离的最小，由勾股定理得，OD＝＝，∴点D到AB的距离的最小值为﹣，故答案为：；﹣。【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。8.【分析】根据垂径定理和勾股定理解答即可。【解答】解：设该圆形门洞的半径为r，∵AB过圆心O，且垂直CD于点B，连接OC，在Rt△OCB中，可得：r2＝（﹣r）2+，解得：r＝1，故答案为：1米【点评】此题考查垂径定理，关键是根据垂径定理和勾股定理解答。9.【分析】连接OB，根据垂径定理求出BE，根据勾股定理求出OE、BC，证明△CFO∽△CEB，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可。【解答】解：连接OB，∵弦BD⊥AO，∴BE＝BD＝4，由勾股定理得，OE＝＝3，则CE＝OC+OE＝8，∴BC＝＝4，∵OF⊥BC，∴CF＝BF＝2，∵∠CFO＝∠CEB＝90°，∠C＝∠C，∴△CFO∽△CEB，∴＝，即＝，解得，OF＝，故答案为：。【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质，掌握垂径定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键。10.【分析】求出两种特殊情形点E的坐标即可解决问题：当点E落在半径OA上。可以画出相应的图形，可知点A与点E关于点CD对称，从而可以得到DE＝DA，由点C为弧AB的中点，∠AOB＝60°，OC＝OA＝2，可以求得OD和AD的长，从而可以求得OE的长，进而得到点E的坐标；当点E落在半径OB上，画出相应的图形，由D为半径OA上一动点（不与点O，A重合），点A关于直线CD的对称点为E，可知CB＝CE，由前面求得的OE的长与此时OE的长相等，根据∠AOB＝60°，可以求得点E的坐标。【解答】解：当点E落在半径OA上时，连接OC，如下图1所示，∵∠ADC＝90°，∠AOB＝60°，点C为弧AB的中点，点A（2，0），∴∠COD＝30°，OA＝OC＝2，∴CD＝OC•sin30°＝2×＝1，∴OD＝OC•cos30°＝2×＝，∴AD＝OA﹣OD＝2﹣，∵DE＝DA，∴OE＝OD﹣OE＝﹣（2﹣）＝2﹣2，即点E的坐标为（2﹣2，0）；当点E落在半径OB上时，连接OC，CD，如图2所示，由已知可得，CE＝CA＝CB，由上面的计算可知，OE＝2﹣2，∴点E的横坐标为：（2﹣2）×cos60°＝﹣1，点E的纵坐标为：（2﹣2）×sin60°＝3﹣，∴E（﹣1，3﹣），∴满足条件的点E的横坐标x取值范围为﹣1＜x＜2﹣2。故答案为﹣1＜x＜2﹣2。【点评】本题考查扇形，翻折变换，特殊角的三角函数值等知识，解题的关键是明确题意，画出相应的图形，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题。三、解答题11.【分析】先根据垂径定理求出AC的长，设⊙O的半径为r，在Rt△OAC中利用勾股定理求出r的值。【解答】解：∵OD⊥弦AB，AB＝8，∴AC＝＝4，设⊙O的半径OA＝r，∴OC＝OD﹣CD＝r﹣2，在Rt△OAC中，r2＝（r﹣2）2+42，解得：r＝5，【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键。12.【分析】（1）证明△DAB∽△HAD，可得＝，由此构建方程即可解决问题。（2）利用等角的余角相等，证明∠DEF＝∠DEF即可。【解答】（1）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵DH⊥AB，∴∠DHA＝∠ADB＝90°，又∵∠DAB＝∠HAD，∴△DAB∽△HAD，∴＝即＝，∴AD＝。（2）证明：∵＝，∴∠DAC＝∠DBA，∵DH⊥AB，∴∠FDE+∠B＝90°，∵∠ADB＝90°，∴∠DEF+∠DAC＝90°，∴∠DEF＝∠DEF，∴DF＝EF。【点评】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，勾股定理，垂径定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型。13.【分析】（1）作OM⊥AC于M，根据等腰直角三角形的性质得到AM＝CM＝2，根据勾股定理即可得到结论；（2）连接OA，根据等腰直角三角形的性质得到∠MOC＝∠MCO＝45°，求得∠AOC＝90°，根据圆内接四边形的性质即可得到结论。【解答】解：（1）作OM⊥AC于M，∵AC＝4，∴AM＝CM＝2，∵OC＝4，∴OM＝＝2；（2）连接OA，∵OM＝MC，∠OMC＝90°，∴∠MOC＝∠MCO＝45°，∵OA＝OC，∴∠OAM＝45°，∴∠AOC＝90°，∴∠B＝45°，∵∠D+∠B＝180°，∴∠D＝135°。【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键。14.【分析】（1）如图连接EC交OA于H.首先证明DF∥OA，由OA⊥BF推出DF⊥BF即可；（2）由EC∥FB，推出＝＝2，推出OH＝2AH，设AH＝m，则OH＝2m，OC＝3m，由CH2＝OC2﹣OH2＝AC2﹣AH2，构建方程方程求出m即可解决问题；【解答】（1）证明：如图连接EC交OA于H。∵＝，∴OA⊥EC，∵CD是⊙O的直径，∴∠DEC＝90°，∴DF⊥EC，∴OA∥DF，∵BF是⊙O的切线，∴OA⊥BF，∴DF⊥BF，∴∠F＝90°，∴△DFB是直角三角形。（2）解：∵∠DEC＝∠F＝90°，∴EC∥FB，∴＝＝2，∴OH＝2AH，设AH＝m，则OH＝2m，OC＝3m，∵CH2＝OC2﹣OH2＝AC2﹣AH2，∴9m2﹣4m2＝40﹣m2，∴m＝（负根已经舍弃），∴CH＝，∵OA⊥EC，∴EH＝HC＝，∵∠F＝∠FAH＝∠AHE＝90°，∴四边形AFEH是矩形，∴AF＝EH＝。【点评】本题考查垂径定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题。15.证明：如图2，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG。∵M是的中点，∴MA＝MC……请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；实践应用：（1）如图3，已知△ABC内接于⊙O，BC＞AB＞AC，D