华师大版九年级下第27章圆2圆的认识2圆的对称性“衡水杯”一等奖_第1页
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文档简介

《圆的对称性-圆的平面几何性质和定理》素材圆的确定预备知识：（1）要画出一个确定的圆，需要具备两个条件：一是圆心，二是半径。（2）如图1，过已知点A，能作出无数个圆（3）如图2，过已知点A、B能作出无数个圆，这些圆的圆心都在线段AB的垂直平分线上。定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆。下面例题的求解过程包含着这个定理的证明思路：【例1】如图，表示一块破碎的圆形木盖，确定它的圆心。【分析】根据“不在同一直线上的三点确定一个圆”的原理可作出圆心。【作法】(1)在弧上任取三点A、B、C；(2)连接AC、BC；(3)分别作AC、BC的中垂线MN、PQ，相交于点0，点0即为所求圆心。【说明】此题是最基础的题目，主要培养学生的作图能力，学生必须落实。垂径定理-----垂径定理及证明：已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E。求证：AE=EB，=，=。证明：连结OA、OB，则OA=OB．又∵CD⊥AB，∴直线CD是等腰△OAB的对称轴，又是⊙O的对称轴．所以沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合，、分别和、重合．因此，AE=BE，=，=．从而得到圆的一条重要性质。垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。应用和训练【例2】如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。【分析】要求⊙O的半径，连结OA，只要求出OA的长就可以了，因为已知条件点O到AB的距离为3cm，所以作OE⊥AB于E，而AE＝EB＝AB=4cm。此时解Rt△AOE即可。【解】连结OA，作OE⊥AB于E．则AE=EB。∵AB=8cm，∴AE=4cm。又∵OE=3cm，在Rt△AOE中，(cm)。∴⊙O的半径为5cm。垂径定理逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。有关圆的圆心角和圆周角的定理。性质定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。圆周角定理的应用【例3】如图

OA、OB、OC都是圆O的半径，∠AOB=2∠BOC。【求证】∠ACB=2∠BAC。让学生自主分析、解得，教师规范推理过程。【证明】圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。应

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