人教课标实验版八年级上册第十一章全等三角形章复习优质课比赛一等奖

专题总结及应用1.三角形全等的判定和性质的综合应用例1如图13－76所示，BD，CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB.求证：（1）AP=AQ，（2）AP⊥AQ.（分析）(1)欲证AP=AQ，只需证对应的两个三角形全等，即△ABP≌△QCA即可.(2)在(1)的基础上证明∠PAQ=90°.证明：(1)∵BD,CE分别是△ABC的边AC,AB上的高，∴∠ADB=∠AEC=90°.在Rt△AEC和Rt△ADB中，∠ABP=90°-∠BAD，∠ACE=90°-∠DAB，∴∠ABP=∠ACE.在△ABP和△QCA中，∴△ABP≌△QCA（SAS）.∴AP=AQ（全等三角形的对应边相等）.（2）∵△ABP≌△QCA，∴∠P=∠CAQ（全等三角形的对应角相等）.又∵∠P+∠PAD=90°,∴∠CAQ+∠PAD=90°,即∠QAP=90°，∴AP⊥AQ.例2若两个三角形的两边和其中一边上的高分别对应相等，试判断这两个三角形的第三边所对的角之间的关系，并说明理由.（分析）运用全等三角形的判定和性质，探讨两角之间的关系，解题的关键是由高的特殊性，分三角形的形状讨论，题中没有图形，需自己根据题意画出符合题意的图形，结合图形写出已知、求证和证明.已知：如图13-77所示，在△ABC和△ABC中，AB=AB，BC=BC，AD，AD分别是BC，B′C′上的高，且AD=A′D′.求证：∠B=∠B′.证明：∵AD，A′D′分别是BC，B′C′边上的高.∴∠ADB=∠A′D′B′=90°.在Rt△ADB和Rt△A′D′B′中，∴Rt△ADB≌Rt△A′D′B′(HL).∴∠B=∠B′(全等三角形的对应角相等).小结边、角、中线、角平分线、高是三角形的基本元素，从以上诸元素中选取三个条件使之组合可以得到关于三角形全等判定的若干命题，其中有真有假.例3如图13－78所示，已知四边形纸片ABCD中，AD∥BC，将∠ABC，∠DAB分别对折，如果两条折痕恰好相交于DC上一点E，你能获得哪些结论？（分析）折痕前后重合的部分是全等的，从线段关系、角的关系、面积关系等不同方面进行探索，以获得更多的结论，这是一道开放性试题.解：(1)AD=AF，ED=EF=EC，BC=BF.(2)AD+BC=AB，DE+EC=2EF.(3)∠1=∠2，∠3=∠4，∠D=∠AFE，∠C=∠EFB，∠DEA=∠FEA，∠CEB=∠FEB.(4)∠AEB=90°或EA⊥EB.(5)S△DAE=S△EAF，S△ECB=S△EFB.……小结本题是一道融操作、观察、猜想、推理于一体的试题，需要具有一定的综合能力.推理论证既是说明道理，也是探索、发现的途径.善于在复杂的图形中发现、分解、构造基本的全等三角形是解题的关键，需要注意的是，通常面临以下情况时，我们才考虑构造全等三角形：(1)给出的图形中没有全等三角形，而证明结论需要全等三角形；(2)从题设条件中无法证明图形中的三角形全等，证明需要另行构造全等三角形.2.三角形全等条件的探索例4如图13－79所示，AD，A′D′分别是锐角△ABC和△A′B′C′中边BC，B′C′上的高，且AB=A′B′，AD=A′D′，若使△ABC≌△A′B′C′，请你补充条件（只需填写一个你认为适当的条件）:.（分析）这是一道探索三角形全等条件的开放性试题，关键是找到△ABC和△A′B′C′中已知的条件和隐含（可证）的条件，再利用SSS，SAS，ASA，AAS来考虑需补充的条件，具体情况如下：∵AD，A′D′分别是BC，B′C′边上的高，∴∠ADB=∠A′D′B′=90°.在Rt△ADB和Rt△A′D′B′中，∴Rt△ADB≌Rt△A′D′B′(HL).∴∠B=∠B′（全等三角形的对应角相等）.所以，在△ABC和△A′B′C′中，已知条件是:AB=A′B′.已证条件是：∠B=∠B′.①若用SAS来判定△ABC≌△A′B′C′则填入BC=B′C′；②若用ASA来判定△ABC≌△A′B′C′,则填入∠BAC=∠B′A′C′；③若用AAS来判定△ABC≌△面A′B′C′,则填入∠C=∠C′.答案：BC=B′C′或∠BAC=∠B′A′C′或∠C=∠C′，从中任选其一小结探索三角形全等的条件时，首先尽量挖掘欲证两个三角形中的隐含条件，再结合题中已知条件，用三角形全等的判定方法来补充条件.例5如图13－80所示，在△ABD和△ACE中，有下列四个论断：①AB=AC； ②AD=AE； ③∠B=∠C； ④BD=CE.请以其中三个论断作为条件，余下一个作为结论，写出一个正确的数学题（用序号的形式写出）:.（分析）解决本题一方面用分类讨论