方程教学的教材比较与分析

“方程”教学的教材比较与分析

在教学人教版五年级上册《较复杂的方程》时，我们发现学生在列方程和解方程这两个环节上困难重重，这使我们对“用等式的性质”解方程以及“教材解决问题的编排”这两个问题产生了争议和困惑。教材既然是遵循《课标》理念、要求和建议编写的，为什么教师还会有这么多的困惑？是教师不理解教材编排的意图，还是教材所体现的理念与《课标》所倡导的理念尚存在距离？带着这些疑问，笔者对三个版本（人教版、杭州现代版和苏教版）的教材进行了比较分析。一、比较——“查”出一串新思考（一）内容编排——“三版本”各自为营1.“未知数作为减数或除数”的内容编排从内容编排上看，苏教版教材未出现形如a-x=b和a÷x=b的简易方程，人教版教材只在第58页出现“你会自己写出一些方程吗”一题，但没要求学生求出方程的解。而且这两个版本的教材明确指出在小学阶段暂不出现以此类方程进行计算求解的要求，依据是小学生还没有学习正负数的四则运算，若利用等式的基本性质解a-x=b，方程变形的过程及其算理解释比较麻烦。至于形如a÷x=b的方程，本质上是分式方程，若依据等式的基本性质解需要先去分母，因此，教材认为同样不适合在小学阶段学习。现代版教材在编排中出现形如a-x=b和a÷x=b的简易方程共11题（不包括总复习）。其中有1题在解决问题例题中出现，有2题要求学生判断是否是方程，有8题要求学生求出方程的解。现代版教材虽然出现此类方程，但其解法依据是“等式的基本性质”，还是另有其法没作说明。2.“列方程解决问题”的内容编排虽然三个版本的教材均把“简易方程”内容安排在第二学段，但三版本在年级编排和整合编排情况上不尽相同，具体如下：(1)年级编排不同人教版和现代版教材的“简易方程”所有内容均编排在五年级上册，苏教版分三个年级编排：四年级（下册）编排“用字母表示数”，五年级（下册）编排“方程的意义、用等式的性质解一步计算方程，列方程解答简单的实际问题”；六年级（上册）编排“类似于ax±b=c、ax±bx=c的方程，并用于解决稍复杂的实际问题”。(2)整合编排不同人教版和苏教版教材为了突出教学与实际生活的联系，将“解方程与列方程解决问题”的内容整合在一起编排。特别是形如ax-b=c和ax+bx=c的较复杂的方程，每道例题都担负着教学列方程和教学解方程的双重任务。现代版教材是将“解方程与列方程解决问题”分开编排的，先编排“解方程”的内容，再编排“列方程解决问题”的内容。现代版虽分开编排，但它在编排“解方程”的内容时却非常注重与现实生活的联系，总是置方程于具体的情境之中（如现代版教材第60页例题），用方程表示直观情境里的相等关系，再让学生求出方程的解，只不过它的重点在于“解方程”，而“列方程解决问题”的重点在于找出数量关系并列出方程（如现代版教材第66～67页）。这样处理同样体现《课标》所倡导的“避免将运算与应用割裂开来”的理念。（二）书写格式——“三版本”各有千秋虽然三个版本教材在解题依据上大同小异，但它们的书写格式却各不相同。从图1和图2可以看出，人教版教材（苏教版同人教版）在解方程过程中两边都写出“同时减去的数”，而现代版教材在解方程过程中只在一边写出“同时减去的数”，可见思路相同，书写格式不同。笔者认为，现代版教材这样的书写格式意义更大，因为这样的书写格式不仅与中学方程教学衔接，还考虑到小学生原有的知识储备。其实在学生原有的知识储备中解方程如“x+8=12”大致有以下几种：一是利用加减法的关系；二是观察后找出一个x的值代入方程看看左边是否等于12；三是把12看成8+4，再利用等式性质从两边减去8；四是直接从两边减去8。所以现代版这样的书写格式使学生的思路更广，思考方法更多，掌握更灵活。但值得一提的是，现代版“较复杂的方程”（如图3）的格式笔者却不敢苟同，要使学生的思路在一步之内完成，难度显然偏大，很容易出错。（三）检验方法——“苏教版”独辟蹊径三个版本都非常注重对方程解的过程的检验。但相比较而言，苏教版删繁就简，不像人教版和现代版十分强调格式。如苏教版五下第4页例4中指出了解方程的检验方法：“把x=40代入原方程，看看左右两边是不是相等”，至于检验的过程则不要求写出来。又如苏教版五下第8页例7的检验不是代入原方程，因为代入原方程只能检验解方程，不能检验列出的方程是否符合实际问题的数量关系。这道题要检验算得的小军的跳高成绩是不是比小刚多0.06米，可以利用1.45-1.39、1.39+0.06或者1.45-0.06中的任何一个算式进行检验。检验方程不仅检验解方程是否正确，而且检验实际问题的答案是否合理。二、建议——“谈”出一些新需求（一）教材——没有最好，只有更好1。相辅而行——添“加减乘除法各部分关系”解题依据2007年4月定稿的《数学课程标准（修订稿）》已经把《数学课程标准（实验稿）》中的“理解等式的性质，会用等式的性质解简单方程”改为“能理解简单的方程（如3x+2=5，2x-x=3）”。显然，今后利用“等式的性质解方程”已不再是小学生解方程的惟一依据。虽然一线教师还不能真正解读《数学课程标准（修订稿）》修改的全部目的，但从学生实际出发，在教学时以“等式的性质”解答方法为重要依据，再以“加减乘除法各部分关系”解答方法为辅助依据进行教学，与学生原有的知识经验相融合，不能说不是一种好策略。2.返本还源——留“x作为除数或减数的方程”一席之地倘若增添“加减乘除法各部分关系”为方程的解题依据，学生在解决问题时就不会只能选择当前能够计算的思路列方程，而可以从不同的角度去思考，列出任何一种数量关系的方程，包括形如a-x=b和a÷x=b的简易方程，也不必要转换就能直接计算出来。这样不仅可以拓展学生的思维，还能使学生的知识更系统，“x作为除数或减数”的方程的存在，也就非常有必要了。3.各得其所——调“解方程和列方程解决问题”到合理位置解方程与解决实际问题的有机整合教学体现了《课标》指出的“避免将运算与应用割裂开来”的理念，这是我们大家所希望践行的。但如果在整合中从学生的实际出发，将教学难点进行分散，要么如苏教版那样分年段进行教学，要么如现代版那样既注重与生活的联系，又在重难点上有所侧重，做到循序渐进，是不是更有利于学生的能力形成呢？4.删繁就简——裁“方程解的过程和检验过程”书写步骤众所周知，就书写习惯来说，有必要从一开始就强化书写规范，以发挥首次感知先入为主的强势效应，促进良好的书写习惯的形成。但是，一个很现实的问题是，由于格式烦琐致使很多学生不愿意使用方程，就五年级学生的思维特点来说，在价值观判断上更容易受方程外在格式烦琐的影响，而忽视方程内在的顺向思维。当然，数学提倡严密性，如果在严密的情况下再淡化解方程和检验方程的过程，可以说是做到了两全其美。（二）教学——从“纲”出发，以“生”为本1.合理运用解题策略，遵循《课标》倡导的教学理念不管教材以后对“解方程”的解题依据做怎样的调整，笔者认为，我们在教学时应该突出以“等式的性质”为重要的解题依据这一点，这样即使出现“加减乘除法各部分关系”解题依据与之并存的情况，我们也会很好地处理两者之间的关系。【片段一】利用等式的性质解方程师出示x+3=9。师：x等于多少？你是怎么解的？生：x=9-3，x=6。师：9-3是怎么想的？生：求加数，加数＝和－另一个加数。师：那还有其他方法吗？（教师期望学生的思维转向利用等式的性质解方程，可学生没反应，只得引导学生自学课本）师：书上是怎么做的？看得懂吗？……师：今天我们就用等式的性质来解方程。【片段二】利用等式的性质解方程师出示场景图：共9个皮球，盒内x个，盒外3个。师：你能根据图列出方程吗？（板书：x+3=9）师启发：怎样解这个方程？你有什么办法？把你的办法先和小组里的同学交流。学生交流后，教师用课件动态演示天平图，并板书解方程的过程（略）。学生在学习解方程时，刚刚学过等式的性质，但在使用片段一解方程的方法时，学生并未对这一性质进行尝试。这是因为该教师的教学着眼点仅仅是求方程的解的过程，并没有让学生在求解的过程中，进行数学模型的变换，进一步体会“相等关系”。而片段二中的“天平”为处理方程提供了一个强有力的智力图像。用天平平衡的道理，形象直观地帮助学生深化对“相等关系”的理解，帮助学生建立如下规则：在等式的两边进行相同运算的同时，平衡也得到了维持。因此，在教学“解方程”时，教师应根据不同的题目和学生的实际认知水平，选择合适的方法解决方程，遵循《课标》倡导的教学理念。2.增强方程应用意识，突出用方程解决问题的优势虽然人教版的“方程”教学只安排在五年级上册，但方程的教学不是一蹴而就的，对方程思想的深层次认识也并非单元教学就能形成的，还需要教师在以后的教学中进行不断渗透与运用，毕竟学生经以算术方法解决问题的长期强化训练所形成的思维定势已经根深蒂固。教师要把方程思想