2023届新疆师范大学附属实验高中高二数学第二学期期末联考试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．斐波那契螺旋线，也称“黄金蜾旋线”，是根据斐波那契数列（1，1，2，3，5，8…）画出来的螺旋曲线，由中世纪意大利数学家列奥纳多•斐波那契最先提出．如图，矩形ABCD是以斐波那契数为边长的正方形拼接而成的，在每个正方形中作一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连成的弧线就是斐波那契螺旋线的一部分．在矩形ABCD内任取一点，该点取自阴影部分的概率为（）A． B． C． D．2．已知为正数，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．若，，则（）A． B． C． D．4．命题“，使得”的否定形式是（）A．，使得 B．，使得C．，使得 D．，使得5．已知是以为周期的偶函数，当时，，那么在区间内，关于的方程（且）有个不同的根，则的取值范围是（）A． B． C． D．6．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数f(x)的图象恰好通过n（）个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数．有下列函数:①②③④其中是一阶整点的是（）A．①②③④ B．①③④ C．④ D．①④7．已知集合,则中所含元素的个数为（）A． B． C． D．8．若动圆的圆心在抛物线上，且与直线相切，则动圆必过一个定点，该定点坐标为（）A． B． C． D．9．（）A．2 B．1 C．0 D．10．已知双曲线，若其过一、三象限的渐近线的倾斜角，则双曲线的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．11．如图是由正方体与三棱锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．28+43 B．36+43 C．28+12．若离散型随机变量的分布列为则的数学期望（）A． B．或 C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某校共有教师200人，男学生1200人，女学生1000人.现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为的样本，已知从女学生中抽取的人数为50人，那么的值为______.14．复数其中i为虚数单位，则z的实部是________________.15．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则．16．设圆x2+y2＝1上的动点P到直线3x+4y﹣10＝0的距离为d，则d的最大值为_____．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率均为，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若，求随机变量X的分布列与均值.18．（12分）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，且，．（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．19．（12分）已知函数.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若对于任意的（为自然对数的底数），恒成立，求的取值范围.20．（12分）设椭圆的左焦点为，上顶点为.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上.若（为原点），且，求直线的斜率.21．（12分）某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：一个袋子装有只形状和大小均相同的玻璃球，其中两只是红色，三只是绿色，顾客从袋子中一次摸出两只球，若两只球都是红色，则奖励元；共两只球都是绿色，则奖励元；若两只球颜色不同，则不奖励．（1）求一名顾客在一次摸奖活动中获得元的概率；（2）记为两名顾客参与该摸奖活动获得的奖励总数额，求随机变量的分布列和数学期望．22．（10分）某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：月份x12345y（万盒）44566（1）该同学为了求出关于的线性回归方程，根据表中数据已经正确计算出=0.6，试求出的值，并估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数；（2）若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊4盒和三月份生产的甲胶囊5盒，小红同学从中随机购买了3盒甲胶囊，后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题，记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

根据几何概型的概率公式，分别求出阴影部分面积和矩形ABCD的面积，即可求得。【详解】由已知可得：矩形的面积为，又阴影部分的面积为，即点取自阴影部分的概率为，故选。【点睛】本题主要考查面积型的几何概型的概率求法。2、A【解析】

根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】①当时，满足，但不成立，即必要性不成立，②若，则，即，即故，成立，即充分性成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件．故选：A．【点睛】本题主要考查了判断必要不充分条件，解题关键是掌握判断充分条件和必要条件的方法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.3、A【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后利用复数相等的性质列方程求解即可.详解：因为，所以，解得，故选A.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.4、D【解析】试题分析：的否定是，的否定是，的否定是．故选D．【考点】全称命题与特称命题的否定．【方法点睛】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．对含有存在（全称）量词的命题进行否定需要两步操作：①将存在（全称）量词改成全称（存在）量词；②将结论加以否定．5、B【解析】

由已知，函数在区间的图象如图所示，直线y（且）表示过定点的直线，为使关于的方程（且）有个不同的根，即直线与函数的图象有4个不同的交点.结合图象可知，当直线介于直线和直线之间时，符合条件，故选.考点：函数的奇偶性、周期性，函数与方程，直线的斜率，直线方程.6、D【解析】

根据新定义的“一阶整点函数”的要求，对于四个函数一一加以分析，它们的图象是否通过一个整点，从而选出答案即可．【详解】对于函数，它只通过一个整点（1，2），故它是一阶整点函数；

对于函数，当x∈Z时，一定有g（x）=x3∈Z，即函数g（x）=x3通过无数个整点，它不是一阶整点函数；

对于函数，当x=0，-1，-2，时，h（x）都是整数，故函数h（x）通过无数个整点，它不是一阶整点函数；

对于函数，它只通过一个整点（1，0），故它是一阶整点函数．

故选D．【点睛】本题主要考查函数模型的选择与应用，属于基础题，解决本题的关键是对于新定义的概念的理解，即什么叫做：“一阶整点函数”．7、D【解析】列举法得出集合，共含个元素．故答案选8、A【解析】

直线为的准线，圆心在该抛物线上，且与直线相切，则圆心到准线的距离即为半径，那么根据抛物线的定义可知定点坐标为抛物线焦点.【详解】由题得，圆心在上，它到直线的距离为圆的半径，为的准线，由抛物线的定义可知，圆心到准线的距离等于其到抛物线焦点的距离，故动圆C必过的定点为抛物线焦点，即点，故选A.【点睛】本题考查抛物线的定义，属于基础题.9、C【解析】

用微积分基本定理计算．【详解】．故选：C.【点睛】本题考查微积分基本定理求定积分．解题时可求出原函数，再计算．10、B【解析】分析：利用过一、三象限的渐近线的倾斜角θ∈[，]，可得1≤≤，即可求出双曲线的离心率e的取值范围.详解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，由过一、三象限的渐近线的倾斜角θ∈[，]，∴tan≤≤tan，∴1≤≤，∴1≤≤3，∴2≤1+≤4，即2≤e2≤4，解得≤e≤2，故选：B．点睛：求离心率的常用方法有以下两种：（1）求得的值，直接代入公式求解；（2）列出关于的齐次方程(或不等式)，然后根据，消去后转化成关于的方程(或不等式)求解．11、C【解析】

由三视图可知，正方体的棱长为2，直三棱锥的底面是两直角边长都为2的直角三角形,高为3,由此可求得几何体的表面积.【详解】由三视图可知，正方体的棱长为2，直三棱锥的底面是两直角边长都为2的直角三角形，高为3，故该几何体的表面积为S=2×2×5+【点睛】本题主要考查三视图的还原，几何体的表面积的计算，难度一般，意在考查学生的转化能力，空间想象能力，计算能力.12、C【解析】

由离散型随机变量的分布列，列出方程组，能求出实数，由此能求出的数学期望.【详解】解：由离散型随机变量的分布列，知：

，解得，

∴的数学期望.

故选：C.【点睛】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查离散型随机变量的分布列等基础知识，是基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、120【解析】分析：根据分层抽样的原则先算出总体中女学生的比例，再根据抽取到女学生的人数计算样本容量n详解：因为共有教师200人,男学生1200人,女学生1000人所以女学生占的比例为女学生中抽取的人数为50人所以所以n=120点睛：分层抽样的实质为按比例抽，所以在计算时要算出各层所占比例再乘以样本容量即为该层所抽取的个数.14、5【解析】试题分析：．故答案应填：5【考点】复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如，其次要熟悉复数的相关概念，如复数的实部为，虚部为，模为，共轭为15、【解析】试题分析：对函数求导得，对求导得，设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则，由点在切线上得，由点在切线上得，这两条直线表示同一条直线，所以，解得.【考点】导数的几何意义【名师点睛】函数f（x）在点x0处的导数f′（x0）的几何意义是曲线y＝f（x）在点P（x0，y0）处的切线的斜率．相应地，切线方程为y−y0＝f′（x0）（x−x0）．注意：求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的不同．16、3【解析】

将问题转化为求圆心到直线的距离加上半径，再由点到直线的距离公式可得结果.【详解】依题意可知，圆x2+y2＝1上的动点P到直线3x+4y﹣10＝0的距离的最大值等于圆心到直线的距离加上半径，因为圆心到直线为，圆的半径为1，所以的最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查了点到直线的距离公式，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、见解析【解析】

根据该毕业生得到面试的机会为0时的概率，求出乙、丙公司面试的概率，根据题意得到X的可能取值，结合变量对应的事件写出概率得出分布列及期望．【详解】∵P（X＝0），∴，∴p，由题意知X为该毕业生得到面试的公司个数，则X的可能取值是0，1，2，3，P（X＝1）P（X＝2），P（X＝3）＝1，X0123P∴E（X），【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，准确计算是关键，是一个基础题．18、（1）证明见解析；（2）.【解析】

（1）推导出PA⊥AD，PA⊥AB，由此能证明PA⊥平面ABCD．（2）以A为原点，AB，AD，AP为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面PBC与平面PAD所成锐二面角的余弦值．【详解】(1)因为,所以,即.同理可得.因为.所以平面.(2)由题意可知,两两垂直,故以A为原点,分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则，所以.设平面的法向量为，则，不妨取则易得平面,所以平面的一个法向量为，记平面与平面所成锐二面角为,则故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19、（I）当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为和，单调递减区间是；（II）【解析】

（Ⅰ）求出，分两种情况讨论，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（Ⅱ）对分四种情况讨论，分别利用导数求出函数最小值的表达式，令最小值不小于零，即可筛选出符合题意的的取值范围.【详解】（Ⅰ）的定义域为..（1）当时，恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间；（2）当时，由解得，由解得.∴的单调递增区间为和，单调递减区间是.（Ⅱ）①当时，恒成立，在上单调递增，∴恒成立，符合题意.②当时，由（Ⅰ）知，在、上单调递增，在上单调递减.（i）若，即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.∴对任意的实数，恒成立，只需，且.而当时，且成立.∴符合题意.（ii）若时，在上单调递减，在上单调递增.∴对任意的实数，恒成立，只需即可，此时成立，∴符合题意.（iii）若，在上单调递增.∴对任意的实数，恒成立，只需，即，∴符合题意.综上所述，实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.20、（Ⅰ）（Ⅱ）或.【解析】

(Ⅰ)由题意得到关于a,b,c的方程，解方程可得椭圆方程；(Ⅱ)联立直线方程与椭圆方程确定点P的坐标，从而可得OP的斜率，然后利用斜率公式可得MN的斜率表达式，最后利用直线垂直的充分必要条件得到关于斜率的方程，解方程可得直线的斜率.【详解】(Ⅰ)设椭圆的半焦距为，依题意，，又，可得，b=2，c=1.所以，椭圆方程为.(Ⅱ)由题意，设.设直线的斜率为，又，则直线的方程为，与椭圆方程联立，整理得，可得，代入得，进而直线的斜率，在中，令，得.由题意得，所以直线的斜率为.由，得，化简得，从而.所以，直