2023届山西省河津二中高二数学第二学期期末学业质量监测试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图，长方形的四个顶点坐标为O(0,0),A(4,0),B(4,2),C(0,2),曲线经过点B,现将质点随机投入长方形OABC中，则质点落在图中阴影部分的概率为()A． B． C． D．2．如图所示阴影部分是由函数、、和围成的封闭图形，则其面积是（）A． B． C． D．3．用反证法证明命题“已知函数在上单调，则在上至多有一个零点”时，要做的假设是（）A．在上没有零点 B．在上至少有一个零点C．在上恰好有两个零点 D．在上至少有两个零点4．的值为（）A． B． C． D．5．已知，，均为正实数，则，，的值（）A．都大于1 B．都小于1C．至多有一个不小于1 D．至少有一个不小于16．已知集合，则下列判断正确的是（）A． B．C． D．7．执行如图所示的程序框图，则程序输出的结果为（）A． B． C． D．8．设，复数，则在复平面内的对应点一定不在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．若，，，则（）A． B．C． D．10．函数的最大值为（）A． B． C． D．11．已知函数满足，当时，，若在区间上方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是()A． B． C． D．12．运行下列程序，若输入的的值分别为，则输出的的值为A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．向量的夹角为，且则__________.14．为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位:),所得数据均在区间上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有_______株树木的底部周长大于110.15．有红心1，2，3和黑桃4，5这5张扑克牌，将其牌点向下置于桌上，现从中任意抽取2张，则抽到的牌中至少有1张红心的概率是_________．16．已知函数，则_____三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）把一根长度为5米的绳子拉直后在任意位置剪断，则剪得两段的长都不小于1米的概率为________．18．（12分）已知函数.（1）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；（2）求满足不等式的实数的取值范围.19．（12分）己知集合,（1）若，求实数a的取值范围；（2）若，求实数a的取值范围．20．（12分）如图，切于点，直线交于两点，,垂足为.（1）证明：（2）若,，求圆的直径.21．（12分）已知函数，.（Ⅰ）求过原点，且与函数图象相切的切线方程；（Ⅱ）求证：当时，.22．（10分）已知函数f(x)=e（Ⅰ）求函数f(x)极值；（Ⅱ）若对任意x>0，f(x)>12a

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】由定积分可得，阴影部分的面积为：，由几何概型公式可得：.本题选择A选项.点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，通用公式：P(A)=.2、B【解析】

根据定积分的几何意义得到阴影部分的面积。【详解】由定积分的几何意义可知：阴影部分面积故选B.【点睛】本题考查定积分的几何意义和积分运算，属于基础题．3、D【解析】分析：利用反证法证明，假设一定是原命题的完全否定，从而可得结果.详解：因为“至多有一个”的否定是“至少有两个”，所以用反证法证明命题“已知函数在上单调，则在上至多有一个零点”时，要做的假设是在上至少有两个零点，故选D.点睛：反证法的适用范围是，（1）否定性命题；（2）结论涉及“至多”、“至少”、“无限”、“唯一”等词语的命题；（3）命题成立非常明显，直接证明所用的理论较少，且不容易证明，而其逆否命题非常容易证明；（4）要讨论的情况很复杂，而反面情况较少．4、C【解析】分析：直接利用微积分基本定理求解即可.详解：，故选C.点睛：本题主要考查微积分基本定理的应用，特殊角的三角函数，意在考查对基础知识的掌握情况，考查计算能力，属于简单题.5、D【解析】分析:对每一个选项逐一判断得解.详解：对于选项A,如果a=1,b=2,则，所以选项A是错误的.对于选项B,如果a=2,b=1,则，所以选项B是错误的.对于选项C,如果a=4,b=2,c=1,则，所以选项C是错误的.对于选项D,假设，则，显然二者矛盾，所以假设不成立，所以选项D是正确的.故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查反证法，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)三个数至少有一个不小于1的否定是6、C【解析】

先分别求出集合A与集合B，再判别集合A与B的关系，得出结果.【详解】，【点睛】本题考查了集合之间的关系，属于基础题.7、C【解析】依次运行如图给出的程序，可得；，所以输出的的值构成周期为4的数列．因此当时，．故程序输出的结果为．选C．8、C【解析】

在复平面内的对应点考查点横纵坐标的正负,分情况讨论即可.【详解】由题得,在复平面内的对应点为.当,即时,二次函数取值范围有正有负,故在复平面内的对应点可以在一二象限.当,即时,二次函数,故在复平面内的对应点可以在第四象限.故在复平面内的对应点一定不在第三象限.故选：C【点睛】本题主要考查了复平面的基本定义与根据参数范围求解函数范围的问题,属于基础题型.9、C【解析】

直接由微积分基本定理计算出可得．【详解】因为，，，所以，故选：C.【点睛】本题考查微积分基本定理，掌握基本初等函数的积分公式是解题关键．10、B【解析】分析：直接利用柯西不等式求函数的最大值.详解：由柯西不等式得，所以（当且仅当即x=时取最大值）故答案为B.点睛：（1）本题主要考查柯西不等式求最值，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)二元柯西不等式的代数形式：设均为实数，则，其中等号当且仅当时成立.11、D【解析】分析：首先根据题意，求得函数在相应的区间上的解析式，之后在同一个坐标系内画出函数的图像，之后将函数的零点问题转化为对应曲线交点的个数问题，结合图形，得到结果.详解：当时，，，在同一坐标系内画出的图像，动直线过定点，当再过时，斜率，由图象可知当时，两图象有两个不同的交点，从而有两个不同的零点，故选D.点睛：该题考查的是有关函数零点个数的问题，在解题的过程中，需要先确定函数的解析式，之后在同一个坐标系内画出相应的曲线，将函数的零点个数转化为曲线的交点个数来解决，非常直观，在做题的时候，需要把握动直线中的定因素.12、B【解析】分析：按照程序框图的流程逐一写出即可详解：第一步：第二步：第三步：第四步：最后：输出．，故选B．点睛：程序框图的题学生只需按照程序框图的意思列举前面有限步出来，观察规律，得出所求量与步数之间的关系式．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、6【解析】

由题意，利用向量的数量积的运算，可得，即可求解.【详解】由题意，可知向量的夹角为，且则.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算，其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.14、18【解析】

根据频率小矩形的面积小矩形的高组距底部，求出周长大于110的频率，再根据频数样本容量频率求出对应的频数.【详解】由频率分布直方图知：底部周长大于110的频率为，所以底部周长大于110的频数为（株），故答案是：18.【点睛】该题考查的是有关频率分布直方图的应用，在解题的过程中，注意小矩形的面积表示的是对应范围内的频率，属于简单题目.15、【解析】

先由题意，求出“抽取的两张扑克牌，都是黑桃”的概率，再根据对立事件的概率计算公式，即可求出结果.【详解】由题意，从5张扑克牌中，任意抽取2张，所包含的基本事件的个数为：；“抽取的两张扑克牌，都是黑桃”只有一种情况；则“抽取的两张扑克牌，都是黑桃”的概率为：；因此，抽到的牌中至少有1张红心的概率是.故答案为：.【点睛】本题主要考查对立事件概率的相关计算，以及古典概型的概率计算，属于基础题型.16、【解析】分析：求出f′（1）=﹣1，再根据定积分法则计算即可．详解：∵f（x）=f'（1）x2+x+1，∴f′（x）=2f'（1）x+1，∴f′（1）=2f'（1）+1，∴f′（1）=﹣1，∴f（x）=﹣x2+x+1，∴=（﹣x3+x2+x）=.故答案为.点睛：这个题目考查了积分的应用，注意积分并不等于面积，解决积分问题的常见方法有：面积法，当被积函数为正时积分和面积相等，当被积函数为负时积分等于面积的相反数；应用公式直接找原函数的方法；利用被积函数的奇偶性得结果.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、【解析】

根据与长度有关的几何概型的计算公式，即可求出结果.【详解】“把一根长度为5米的绳子拉直后在任意位置剪断，则剪得两段的长都不小于1米”，则能剪断的区域长度为：，故所求的概率为：.故答案为：.【点睛】本题主要考查与长度有关的几何概型，熟记计算公式即可，属于基础题型.18、（1）为奇函数；证明见解析（2）【解析】

（1）显然,再找到与的关系即可；（2）由可得,进而求解即可.【详解】（1）是奇函数；证明:因为,所以.所以为奇函数（2）解:由不等式,得,整理得,所以,即【点睛】本题考查函数奇偶性的证明,考查解含指数的不等式,考查运算能力.19、（1）；（2）或【解析】

（1）求出集合或，由，列出不等式组，能求出实数a的取值范围．（2）由，得到，由此能求出实数a的取值范围．【详解】解：（1）∵集合，或，，∴，解得∴实数a的取值范围是（2）或，解得或．∴实数a的取值范围是或【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．将集合的运算转化成子集问题需注意，若则有，进而转化为不等式范围问题.20、（1）见解析；（2）3【解析】试题分析：（1）根据直径的性质，即可证明；（2）结合圆的切割线定理进行求解，即可求出的直径.试题解析：（1）因为是的直径，则又，所以又切于点，得所以（2）由（1）知平分，则，又，从而，所以所以，由切割线定理得即，故，即的直径为3.21、(Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析.【解析】分析：（1）设出切点，求导，得到切线斜率，由点斜式得到切线方程；（2）先证得，再证即可，其中证明过程，均采用构造函数，求导研究单调性，求得最值大于0即可.详解：（Ⅰ）设切点，则，，，切线方程为：，即：，将原点带入得：，，切线方程为：.（Ⅱ）设，，，则.当时，，当时，，则，所以，即：，.设，，，，，当时，，当时，，则，所以，即：，，所以.点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1)构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.22、(1)f(x)极小值=1，无极大值；(2)【解析】

（Ⅰ）先对函数求导，利用导数的方法确定函数单调性，进