电磁场与微波技术场论演示文稿

电磁场与微波技术场论演示文稿目前一页\总数五十九页\编于十点电磁场与微波技术场论目前二页\总数五十九页\编于十点31.1矢量的基本运算公式1.1.1标量和矢量1.1.2基本运算公式1.1.3常用矢量目前三页\总数五十九页\编于十点4标量-用大小能够完整描述的物理量矢量-需用大小和方向描述的物理量

若三个相互垂直的坐标轴上的分量已知,一个矢量就确定了。例如在直角坐标系中,矢量A的三个分量模值分别是Ax,Ay,Az,则A可表示为该矢量的模为1.1矢量的基本运算公式

1.1.1标量和矢量A的单位矢量为矢量的表示方法目前四页\总数五十九页\编于十点5例如,在直角坐标下,标量场如温度场,电位场,高度场等;矢量场如流速场,电场,涡流场等。1.1矢量的基本运算公式

1.1.1标量和矢量目前五页\总数五十九页\编于十点6设1.1矢量的基本运算公式

1.1.2矢量的基本公式(2)矢量的加法和减法(1)矢量的数乘目前六页\总数五十九页\编于十点7(3)标量积和矢量积标量积A·B并有因而得

矢量的相乘有两种定义-标量积(点乘)和矢量积(叉乘)。1.1矢量的基本运算公式

1.1.2矢量的基本公式目前七页\总数五十九页\编于十点8矢量积A×B(3)标量积和矢量积并有故1.1矢量的基本运算公式

1.1.2矢量的基本公式目前八页\总数五十九页\编于十点9标量三重积为矢量三重积为（4）三重积

矢量的三连乘也有两种-标量、矢量三重积。1.1矢量的基本运算公式

1.1.2矢量的基本公式目前九页\总数五十九页\编于十点10(5)求导例求矢量场的矢量线方程。解矢量线应满足的微分方程为从而有解得矢量方程c1和c2是积分常数。1.1矢量的基本运算公式

1.1.2矢量的基本公式目前十页\总数五十九页\编于十点111.1矢量的基本运算公式

1.1.2矢量的基本公式(6)曲线积分例设，求任意两点a、b间的矢量E的线积分。解目前十一页\总数五十九页\编于十点12(7)曲面积分例已知矢量场，求由内向外穿过圆锥面x2+y2=z2与平面z=H所围封闭曲面的通量。解

1.1矢量的基本运算公式

1.1.2矢量的基本公式目前十二页\总数五十九页\编于十点131.1矢量的基本运算公式

1.1.3常用矢量

单位矢量一个特定方向上的单位矢量等于该方向上的任一矢量除以其幅值分矢量一个矢量在特定方向上的投影为其在该方向上的分量切向矢量（分量）法向矢量（分量）目前十三页\总数五十九页\编于十点141.2场的基本概念1.2.1定义1.2.2分类1.2.3场图目前十四页\总数五十九页\编于十点151.2场的基本概念

1.2.1场的定义

场是一个标量或一个矢量的位置函数，即场中任一个点都有一个确定的标量或矢量值。1.2.2场的分类（1）标量场例如,在直角坐标系标量场的场线-等值线(面)。等值线目前十五页\总数五十九页\编于十点16标量场φ(x,y,z)的等值面方程为1.2场的基本概念

1.2.1场的定义

场是一个标量或一个矢量的位置函数，即场中任一个点都有一个确定的标量或矢量值。1.2.2场的分类（1）标量场例求数量场φ=(x+y)2-z通过点M(1,0,1)的等值面方程。解点M的坐标是x0=1,y0=0,z0=1，则该点的数量场值为φ=(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程为或目前十六页\总数五十九页\编于十点171.2场的基本概念

1.2.1场的定义

场是一个标量或一个矢量的位置函数，即场中任一个点都有一个确定的标量或矢量值。1.2.2场的分类（2）矢量场例如,在直角坐标系矢量场的场线-矢量线。其方程为三维场在直角坐标下二维场目前十七页\总数五十九页\编于十点181.2场的基本概念

1.2.1场的定义

场是一个标量或一个矢量的位置函数，即场中任一个点都有一个确定的标量或矢量值。1.2.2场的分类（2）矢量场例求矢量场的矢量线方程。解矢量线应满足的微分方程为从而有解得矢量方程c1和c2是积分常数。目前十八页\总数五十九页\编于十点19形象描绘场分布的工具--场线矢量场--矢量线标量场--等值线(面)。其方程为其方程为在直角坐标下:矢量线在某一温度上沿什么方向温度变化最快？1.2.3场图目前十九页\总数五十九页\编于十点201.3标量场的梯度1.3.1方向导数1.3.2梯度1.3.3梯度的物理意义目前二十页\总数五十九页\编于十点21

标量场φ(x,y,z)在某点沿l方向的变化率称为φ沿该方向的方向导数。它的值与所选取的方向有关,设1.3标量场的梯度1.3.1方向导数目前二十一页\总数五十九页\编于十点221.3标量场的梯度标量函数的最大变化率1.3.1方向导数在直角坐标系下性质垂直于等值面；指向变化最快的方向；最大的变化率；定义1.3.2梯度定义目前二十二页\总数五十九页\编于十点23引入则定义标量场φ(x,y,z)在点P(x,y,z)处的梯度(gradient)为目前二十三页\总数五十九页\编于十点24标量函数φ的等值面的法线方向单位矢量可用梯度表示为即梯度的方向与过该点的等值面相垂直,并由梯度定义知,它指向φ增大的方向。

一座山的等高线图目前二十四页\总数五十九页\编于十点25梯度运算有如下规则:目前二十五页\总数五十九页\编于十点26例求数量场在点M(1,1,2)处沿方向的方向导数。解l方向的方向余弦为而在l方向的方向导数为在点M处沿l方向的方向导数目前二十六页\总数五十九页\编于十点27例求r在M(1，0，1)处沿方向的方向导数。解

r的梯度为点M处的坐标为x=1,y=0,z=1,

所以r在M点处的梯度为r在M点沿l方向的方向导数为而所以目前二十七页\总数五十九页\编于十点28

标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数;

梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向。

梯度的大小为该点标量函数的最大变化率，即该点最大方向导数;1.3.3梯度的物理意义

三维高度场的梯度例高度场的梯度

与过该点的等高线垂直；

数值等于该点位移的最大变化率；

指向地势升高的方向。目前二十八页\总数五十九页\编于十点29例电位场的梯度

与过该点的等位线垂直；

指向电位增加的方向。

数值等于该点的最大方向导数；

电位场的梯度目前二十九页\总数五十九页\编于十点301.4矢量场的散度和旋度1.4.1通量1.4.2散度1.4.3环量1.4.4旋度目前三十页\总数五十九页\编于十点311.4矢量场的散度和旋度

1.4.1通量

元通量通量目前三十一页\总数五十九页\编于十点32矢量E

沿闭合曲面S的面积分>0(有正源)<0(有负源)=0(无源)矢量场的通量可以根据净通量的大小判断闭合面中源的性质:通量的物理意义目前三十二页\总数五十九页\编于十点33定义矢量A在某点的散度(divergence),记为divA:1.4矢量场的散度和旋度

1.4.2散度

哈密顿(W.R.Hamilton)引入微分算子则散度可以表示为目前三十三页\总数五十九页\编于十点341.4矢量场的散度和旋度

1.4.2散度

目前三十四页\总数五十九页\编于十点35得高斯公式(散度定理)

该公式表明了区域V中场A与边界S上的场A之间的关系。

矢量函数的面积分与体积分的互换。1.4矢量场的散度和旋度

1.4.2散度

意义目前三十五页\总数五十九页\编于十点36例球面S上任意点的位置矢量为试利用散度定理计算解目前三十六页\总数五十九页\编于十点37

矢量A沿某封闭曲线的线积分,定义为A沿该曲线的环量(或旋涡量),记为1.4矢量场的散度和旋度

1.4.3环量

环量密度取不同的路径，其环量密度不同。目前三十七页\总数五十九页\编于十点38

旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为最大环量密度的方向。旋度(curl或rotation)与环量密度的关系为在直角坐标系下1.4矢量场的散度和旋度

1.4.4旋度

目前三十八页\总数五十九页\编于十点391.4矢量场的散度和旋度

1.4.4旋度

旋度的物理意义

矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。

点P的旋度的大小是该点环量密度的最大值。

在矢量场中，若A=J0,称之为旋度场(或涡旋场)，J

称为旋度源(或涡旋源)；

点P的旋度的方向是该点最大环量密度的方向。

若矢量场处处A=0，称之为无旋场(或保守场)。目前三十九页\总数五十九页\编于十点40矢量A的旋度可表示为算子与A的矢量积,即

计算▽×A时,先按矢量积规则展开,然后再作微分运算,得1.4矢量场的散度和旋度

1.4.4旋度

目前四十页\总数五十九页\编于十点41

旋度运算符合如下规则:在直角坐标系中有目前四十一页\总数五十九页\编于十点42斯托克斯(Stockes)定理

A

是环量密度，即围绕单位面积环路上的环量。因此，其面积分后，环量为即Stocke’s定理在电磁场理论中，Gauss公式和Stockes公式是两个非常重要的公式。矢量函数的线积分与面积分的互换。该公式表明了区域S中场A与边界L上的场A之间的关系目前四十二页\总数五十九页\编于十点43例自由空间中的点电荷q所产生的电场强度为求任意点处(r≠0)电场强度的旋度▽×E。解目前四十三页\总数五十九页\编于十点44可见,向分量为零;同样,向和向分量也都为零。故这说明点电荷产生的电场是无旋场。因目前四十四页\总数五十九页\编于十点451.5亥姆霍兹定理1.5.1散度和旋度的比较1.5.2亥姆霍兹定理目前四十五页\总数五十九页\编于十点461.5.1散度和旋度的比较

①

矢量场的散度是一个标量函数,而矢量场的旋度是一个矢量函数。

②散度表示场中某点的通量密度,它是场中任一点通量源强度的量度;旋度表示场中某点的最大环量强度,它是场中任一点处旋涡源强度的量度。1.5亥姆霍兹定理

③

散度由各场分量沿各自方向上的变化率来决定;而旋度由各场分量在与之正交方向上的变化率来决定。目前四十六页\总数五十九页\编于十点47

在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件唯一地确定。已知矢量A的通量源密度矢量A的环量源密度场域边界条件在电磁场中电荷密度电流密度J场域边界条件（矢量A唯一地确定）1.5.2亥姆霍兹定理

目前四十七页\总数五十九页\编于十点48例：判断矢量场的性质=0=0=000=0目前四十八页\总数五十九页\编于十点491.6常用坐标系1.6.1直角坐标系1.6.2圆柱坐标系1.6.3球坐标系目前四十九页\总数五十九页\编于十点50

坐标变量微元1.6常用正交曲线坐标系

1.6.1直角坐标系目前五十页\总数五十九页\编于十点51柱坐标系1.6常用正交曲