矩阵的运算演示文稿

矩阵的运算演示文稿目前一页\总数三十二页\编于十六点一、矩阵的加法下页

1.定义2.3设A与B为两个mn矩阵ABa11+b11

a12+b12

a1n+b1na21+b21

a22+b22

a2n+b2nam1+bm1

am2+bm2

amn+bmn=。a11

a12

a1na21

a22

a2nam1

am2

amnA=，b11

b12

b1nb21

b22

b2nbm1bm2

bmnB=，A与B对应位置元素相加得到的mn矩阵称为矩阵A与矩阵B的和，记为AB。即目前二页\总数三十二页\编于十六点

例1．设357

22043012

3A=，132

02157064

8B=，则357

22043012

3A+B=132

02157064

8+3+15+37+2

2+02+20+14+53+70+01+62+4

3+8=489

241910076

11。=下页矩阵的加法：设A(aij)mn与B(bij)mn，则A+B=(aij+bij)mn。目前三页\总数三十二页\编于十六点2.运算规律注意：

只有当两个矩阵是同型矩阵时,

设A,B,C为同型矩阵,则

(1)A+B=B+A(加法交换律);(2)(A+B)+C=A+(B+C)(加法结合律);加法运算。二者才能进行目前四页\总数三十二页\编于十六点3.负矩阵与矩阵减法

若记-A=(-aij),则称-A为矩阵A的负矩阵.显然有A+(-A)=O.定义矩阵的差为：

A-B=A+(-B).其中O

是与

A

同型的零矩阵;例如，C

的负矩阵为:目前五页\总数三十二页\编于十六点a11

a12

a1na21

a22

a2nam1

am2

amnA=，

定义4.4设A(aij)为mn矩阵则以数k乘矩阵A的每一个元素所得到的mn矩阵称为数k与矩阵A的积，记为kA。即ka11

ka12

ka1nka21

ka22

ka2nkam1

kam2

kamnkA=。下页二、数与矩阵相乘（数乘）目前六页\总数三十二页\编于十六点矩阵的数乘：设A(aij)mn，则kA=(kaij)mn。

例2．设357

22043012

3A=，则3A357

22043012

3=3333537

3232303433303132

33=91521

66012

9036

9=。下页目前七页\总数三十二页\编于十六点

行列式的某行（或列）有公因子即可提出,

但矩阵的每一个元素都有公因子时才可以提出.思考：数与行列式相乘和数与矩阵相乘有什么区别？答：数与行列式相乘，是将数乘到行列式中的某一行（或列）；而数与矩阵相乘，是将数乘矩阵中的每一个元素。即：目前八页\总数三十二页\编于十六点2.数乘矩阵满足的运算律设A,B为同型矩阵,λ,μ为常数，则(1)(λμ)A=λ

(μA);结合律(2)(λ+μ)A=λ

A+μA.分配律(3)λ(A+B)=λA+λB.分配律矩阵加法与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算。目前九页\总数三十二页\编于十六点

例3．设357

22043012

3A=，132

02157064

8B=，求3A-2B。

解：3A-2B

357

22043012

3=3132

02157064

8-2264

04210140128

16-91521

66012

9036

9=。7917

62-22

-50-9-2

-7=9-215-621-4

6-06-40-212-10

9-140-03-126-8

9-16=下页目前十页\总数三十二页\编于十六点

例4．已知357

22043012

3A=，132

02157064

8B=，且A+2X=B，求X。下页练习目前十一页\总数三十二页\编于十六点

定义2.5设A是一个ms矩阵，B是一个sn矩阵：构成的mn矩阵C称为矩阵A与矩阵B的积，记为CAB。下页则由元素cijai1b1jai2b2j

aisbsj(i1,2,,m；j1,2,,n)。

a11

a12

a1sa21

a22

a2sam1

am2

amsA=，b11

b12

b1nb21

b22

b2nbs1

bs2

bsnB=，c11

c12

c1nc21

c22

c2ncm1

cm2

cmnAB=。即三、矩阵的乘法目前十二页\总数三十二页\编于十六点B=，求AB及BA。A=，

例5．设231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==-6-78下页目前十三页\总数三十二页\编于十六点B=，求AB及BA。A=，

例5．设231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==-6-78-30-3；下页目前十四页\总数三十二页\编于十六点B=，求AB及BA。A=，

例5．设231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==-6-78-30-9-7-35；下页目前十五页\总数三十二页\编于十六点B=，求AB及BA。A=，

例5．设231-2311-2-32-10231-2311-2-32-10BA==4-983，解：231-2311-2-32-10AB==-6-78-30-9-7-35；下页目前十六页\总数三十二页\编于十六点

例6．设A=，4-2-21B=，求AB及BA。4

2-6-3AB=4-2-214

2-6-3解：-32-16168=，BA=4-2-214

2-6-30

000=，B=，求AB及BA。A=，

例5．设231-2311-2-32-10解：AB=-6-78-30-9-7-35,BA=4-983。下页目前十七页\总数三十二页\编于十六点

例6．设A=，4-2-21B=，求AB及BA。4

2-6-3AB=解：-32-16168，BA=0

000，B=，求AB及BA。A=，

例5．设231-2311-2-32-10解：AB=-6-78-30-9-7-35,BA=4-983。可见，矩阵乘法一般不满足交换律，即ABBA。两个非零矩阵相乘，可能是零矩阵，从而AB=O推不出A=O或B=O。下页练习目前十八页\总数三十二页\编于十六点1110

例7．设A=，B=，求AB及BA。2110解：11102110AB=3110=，21101110BA=3110=，显然AB=BA。如果两矩阵A与B相乘，有AB=BA，则称矩阵A与矩阵B可交换。下页目前十九页\总数三十二页\编于十六点解：设可交换的一切矩阵。

例8．求与矩阵A=010001000B=，abca1b1c1a2b2c2AB=010001000abca1b1c1a2b2c2a1b1c1a2b2c2000=BA=010001000abca1b1c1a2b2c20ab0a1b10a2b2=那么，，下页目前二十页\总数三十二页\编于十六点解：设可交换的一切矩阵。

例8．求与矩阵A=010001000B=，abca1b1c1a2b2c2AB那么a1b1c1a2b2c2000=，BA0ab0a1b10a2b2=。令AB=BA，则有a1=a2=b2=0，b1=c2=a，c1=b。于是与A可交换的矩阵为Babc0ab00a=，其中a，b，c为任意数。下页目前二十一页\总数三十二页\编于十六点显然AC=BC，但AB。矩阵乘法不满足消去律。下页目前二十二页\总数三十二页\编于十六点(1)(AB)C=A(BC)；(2)(A+B)C=AC+BC；(3)C(A+B)=CA+CB；(4)k(AB)=(kA)B=A(kB)。应注意的问题：

(1)ABBA；

(3)AB=OA=O或B=O。/(2)AC=BCA=B。/下页

例11．证明：如果CA=AC，CB=BC，则有(A+B)C=C(A+B)，(AB)C=C(AB)。证：因为CA=AC，CB=BC，所以有(A+B)C=AC+BC=CA+CB=C(A+B)，(AB)C=A(BC)=A(CB)=(AC)B=(CA)B=C(AB)。矩阵乘法的性质：目前二十三页\总数三十二页\编于十六点四、方阵的幂

如果A

是n

阶矩阵,那么AA

有意义,也有意义,(１)定义k个Ａ相乘称为Ａ的k

次幂，记为Ａk,

定义

设A

是n

阶矩阵,k是正整数,

规定

Ａ1=A,

Ａ2=A∙Ａ,…,

Ａk+1=Ａk∙Ａ,即因此有下述定义:目前二十四页\总数三十二页\编于十六点(2)运算规律设A为方阵,k,l为正整数,则对n阶方阵A

与B一般来说,由于矩阵乘法一般不满足交换律，

AkAl=注意的乘法公式不一定成立.

所以初等数学中(AB)k

AkBk

；(A+B)2

A2+2AB+B2；(A+B)(A-B)A2-B2；(Ak)l=Ak+l,Akl.目前二十五页\总数三十二页\编于十六点

定义2.6将mn矩阵A的行与列互换，得到的nm矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记为AT或A。即如果a11a21…am1

a12a22…am2

a1na2n…amn

…………

A=，a11a12…a1n

a21a22…a2n

am1am2…amn

…………

AT

=则。例如，设x=(x1

x2

xn)，y=(y1

y2

yn)，则(y1

y2

yn)xTyx1x2xn

==x1y1x2y1…xny1

x1y2x2y2…xny2

x1ynx2yn…xnyn

…………

。下页五、矩阵的转置目前二十六页\总数三十二页\编于十六点转置矩阵有下列性质：(1)(AT)T=A；(2)(A+B)T=AT+BT；(3)(kA)T=kAT；下页a11a21…am1

a12a22…am2

a1na2n…amn

…………

A=，a11a12…a1n

a21a22…a2n

am1am2…amn

…………

AT

=则。

定义2.6将mn矩阵A的行与列互换，得到的nm矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记为AT或A。即如果五、矩阵的转置(4)(AB)T=BTAT

。目前二十七页\总数三十二页\编于十六点例设A与B是两个n阶矩阵。证明：AB是对称矩阵的充分必要条件是A与B可交换。

证:因为A、B是对称矩阵，所以1、若AB是对称矩阵，则有于是有所以A与B可交换。2、若A、B是可交换，则有于是有所以AB是对称矩阵。

证毕目前二