河南省开封市高三第三次模拟考试文科数学试题（原卷版）

第6页/共6页开封市高三年级第三次模拟考试文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数的虚部为（）A. B.3 C. D.3i2.已知集合，，则集合B的真子集个数是（）A.3 B.4 C.7 D.83.从3名男生，2名女生中随机抽取2名学生到社区当志愿者，则正好抽取1名男生、1名女生的概率是（）A. B. C. D.4.记为等比数列的前n项和，已知，则（）A.30 B.31 C.61 D.625.已知双曲线的左、右焦点分别为，，则双曲线的渐近线方程式为（）A. B. C. D.6.函数在上的图象大致为（）A B. C. D.7.设，，，则（）A. B. C. D.8.在中，，，，则的面积为（）A. B. C. D.9.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.10.已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且，则（）A. B. C. D.11.等腰直角三角形ABC的直角顶点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，点C在第一象限，且O为坐标原点，若，，则（）A. B. C. D.12.已知正方体的棱长为1，P为棱的中点，则四棱锥P－ABCD的外接球表面积为（）A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量，写出一个与垂直的向量的坐标______．14.两条直线和分别与抛物线相交于不同于原点的A，B两点，若直线AB经过抛物线的焦点，则______．15.已知点，，经过B作圆的切线与y轴交于点P，则______．16.若数列满足，（，，P为常数），则称为“等方差数列”．记为正项数列的前n项和，已知为“等方差数列”，且，，则______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.某校为了解学生每天的校内体育锻炼情况，随机选取了100名学生进行调查，其中男生有50人．下面是根据调查结果绘制的学生日均校内体育锻炼时间（单位：分钟）的频率分布直方图．将日均校内体育锻炼时间在[60，80]内的学生评价为“锻炼时间达标”，已知样本中“锻炼时间达标”的学生中有5名女生．（1）若该校共有1000名学生，请估计该校“锻炼时间达标”的学生人数；（2）根据样本数据完成下面2×2列联表，并据此判断是否有90%的把握认为“锻炼时间达标”与性别有关？是否达标性别锻炼时间达标锻炼时间未达标合计男女合计附：0.100.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82818.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成公差为2的等差数列，且．（1）求b；（2）若D是AB的中点，求CD的长．19.如图，四边形ABCD是圆柱的轴截面，EF是圆柱的母线，P是线段AD的中点，已知AB=4，BC=6．（1）证明：平面；（2）若直线AB与平面EPF所成角为60°，求三菱锥B－EPF的体积．20.已知椭圆C：的左、右焦点分别为，离心率为，P为椭圆C上一点（除左、右顶点），直线PF₁，PF₂与椭圆C的另一个交点分别为A，B，且，，当m=1时，．（1）求椭圆C标准方程；（2）试判断是否为定值，若是求出定值，若不是说明理由．21.已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若，且存在，使得在上的值域，求实数a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22.以等边三角形的每个顶点为圆心，以其边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形被称为勒洛三角形．如图，在极坐标系Ox中，曲边三角形OPQ为勒洛三角形，且，Q在极轴上，C为的中点．以极点O为直角坐标原点，极轴Ox为x轴正半轴建立平面直角坐标系．（1）求所在圆P直角坐标方