塑性力学之塑性本构关系

第5章塑性本构变形第五章塑性本构关系§5.1弹性本构关系§5.2Drucker公设§5.3加载、卸载准则§5.4增量理论（流动理论）§5.5全量理论（形变理论）§5.6岩土力学中的Coulomb屈服条件和流动法则塑性力学§5.1弹性本构关系在弹性阶段，材料的本构关系即广义Hooke定律：张量写法：其中其中（5-1）（5-2）为平均正应力。将三个正应变相加，得：（5-3）记：平均正应变体积弹性模量则平均正应力与平均正应变的关系：（5-4）（5-5）（5-2）式用可用应力偏量和应变偏量表示为包含5个独立方程（5-2）由（5-5）由等效应力和等效应变的关系：或可得：（5-8）当应力从加载面（后继屈服面）卸载时，应力和应变的全量不满足广义Hooke定律，但它们的增量仍满足广义Hooke定律。（5-9）Mises屈服条件的物理解释中将弹性应变能分解为体积应变能和形状改变比能。这里，由弹性本构关系将三者表示为：§5.2Drucker公设两类力学量外变量：能直接从外部可以观测得到的量。如总应变，应力等。内变量：不能直接从外部观测的量。如塑性应变，塑性功等。内变量只能根据一定的假设计算出来。关于塑性应变和塑性功的假设：1、材料的塑性行为与时间，温度无关。2、应变可分解为弹性应变和塑性应变。3、材料的弹性变形规律不因塑性变形而改变。根据以上假设，内变量可以由外变量表示出来。对于各向同性材料：（5-12）这样，内变量也可以由外变量表示出来。将总功分解为弹性功和塑性功。对于各向同性材料：（5-13）（5-14）Drucker公设:对于处于在某一状态下的材料质点（或试件），借助一个外部作用，在其原有的应力状态之上，缓慢地施加并卸除一组附加应力，在这附加应力的施加和卸除的循环内，外部作用所做的功是非负的。单元体在应力状态下处于平衡。在单元体上施加一附加力，使应力达到，刚好在加载面上，即开始发生塑性变形。继续加载至，在这期间，将产生塑性应变。最后，将应力又卸回到。完成应力循环。应力循环的过程：图5-1以表示应力循环过程中任一时刻的瞬时应力状态。按Drucker公设，附加应力在应力循环中所作的功非负。（5-17）在应力循环中，应力在弹性应变上的功为0，即（5-18）故（5-17）式写成（5-19）在整个应力循环中，只在应力从到的过程中产生塑性应变。当为小量时，上述积分变为：（5-20）这就是图5-1所示的阴影部分面积。两个重要的不等式：当处于加载面的内部，即，由于是高阶小量，则（5-20）当正处于加载面上，即，则（5-21）由此可对屈服面形状与塑性应变增量的特性导出两个重要的结论。1、屈服曲面的外凸性。2、塑性应变增量向量与加载面的外法线方向一致——正交性法则。当处于加载面上，Drucker公设导致的（5-21）通常叫作Drucker稳定性条件。1、屈服曲面的外凸性。oA0AoA0A图中，A0和A分别表示应力状态和。向量代表。用表示。则（5-20）为（5-22）可见，应力增量向量与塑性应变增量向量之间的夹角必须小于900屈服曲面必须是凸的。如果屈服面是凹的，则5-22式不满足。2、塑性应变增量向量与加载面的外法线方向一致——正交性法则。A0Ann——加载面在A点的外法向。如果与n不重合，则总可以找到A0，使5-22式不成立。因此，必须与加载面的外法线重合。的外法线方向即其梯度方向。可表示为：（5-23）§5.3加载、卸载准则Drucker稳定性条件：由于与外法线n同向，上式改写成：只有当应力增量指向加载面外部时，材料才能产生塑性变形。（5-25）（5-26）判断能否产生新的塑性变形，需判断：（1）是否在上。（2）是否指向的外部。加卸载准则加载：指材料产生新的塑性变形的应力改变。卸载：指材料产生从塑性状态回到弹性状态的应力改变。、理想材料的加卸载准则

理想材料的加载面与初始屈服面是一样的。由于屈服面不能扩大，所以当应力点达到屈服面上，应力增量不能指向屈服面外，而只能沿屈服面切线。n加载卸载nlnm加载加载卸载对于Tresca屈服面：加载卸载二、强化材料的加载、卸载准则强化材料的加载面在应力空间不断扩张或移动。n中性变载卸载加载这里，中性变载相当于应力点沿加载面切向变化，应力维持在塑性状态但加载面并不扩张的情况。§5.4增量理论（流动理论）一、概述塑性本构关系——材料超过弹性范围之后的本构关系。此时，应力与应变之间不存在一一对应的关系，只能建立应力增量与应变增量之间的关系。这种用增量形式表示的塑性本构关系，称为增量理论或流动理论。进入塑性阶段后，应变增量可以分解为弹性部分和塑性部分。由Hooke定律，由Drucker公设，（5-30）（5-31）（5-32）进入塑性阶段后，应变增量可以分解为弹性部分和塑性部分。由Hooke定律，由Drucker公设，（5-30）（5-31）给出了塑性应变增量与加载函数之间的关系。流动法则（5-32）将（5-31）、（5-32）代入（5-30）得：增量形式的塑性本构关系：（5-33）塑性位势理论将塑性应变增量表示为塑性位势函数对应力取微商。（5-34）其中是塑性位势函数。两种情况：1、服从Drucker公设的材料，塑性势函数g就是加载函数φ，即，此时（5-34）式称为与加载条件相关连的流动法则。由于加载面和塑性应变增量正交，也称为正交流动法则。2、当加载面和塑性应变增量不正交，此时（5-34）式称为与加载条件非关连的流动法则。主要用于岩土材料。二、理想塑性材料与Mises条件相关联的流动法则对于理想塑性材料，屈服函数f就是加载函数φ。流动法则写成：（5-35）Mises屈服条件：有故理想塑性材料与Mises条件相关连的流动法则为：（5-36）1、理想弹册塑性材衰料按照广肯义Ho庆oke父定律求旁得弹性校应变增泪量，再择与（5桥-36蹦）式所胖得的塑性应非变增量叠族加，就得滨到理想弹匪塑性材料那的增量本捐构关系——Pr形andt傅l-Re苗uss关暴系对理想塑性材料，比例系数要联系屈服条件来确定。Mise峡s屈服条件此时可见，给定应力和应变增量时从Prandtl-Reuss关系可以求出及应力增量。但反过来，如果给定的是则定不出，也就求不出。给定应良力求不玩出应变推增量，春这正反素映出理歪想塑性畅材料的子特点。（5-3观8）由于塑性变形消耗功，所以，则。

2、理想横刚塑性文材料——Le嘉vy-M鹊ises接关系当塑性启应变增举量比弹畅性应变持增量大毯得多时吸，可略置去弹性检应变增立量，从骑而得到丧适用于却理想刚骄塑性材峰料的L辰evy盏-Mi洽ses四关系（5-裂39）此式表明鞭应变增量下张量与应笼力偏张量盼成比例，凭也可以写透成（5-4材0）如果（5孤-40）妄的后三个出分式的分迎母为零，剩则其分子骂必须同时年为零。这房诚说明Le芳vy-M膀ises坚关系要求应变增量薄张量的主课轴与主应额力轴重合。在（5-39）式中，给定后不能确定，但反之却可由确定如下：利用M腰ise就s屈服续条件可以得到将（5-适41）式块代回（5狸-39）拘式，可求板出对于刚辨塑性材恳料将（5-雹38）式晓与（5-膛41）式彼加以比较到就发现：（5-4饱1）（5-进44）（5-松45）3、实验验证理想塑吼性材料玻与Mi绵ses洲条件相好关连的透流动法寺则：对应于π平面上，与

二向量在由坐标原点发出的同一条射线上。Lode金（192阳6）采用薄甜壁圆管洲受轴力吧和内压讨同时作韵用的实窜验。实验中使权用的参数昆：实验表明，大致相等，在消除了控实验用薄宏管的各向忌异性后，杜结果表明丙两个Lo廉de参数休相等。三、理想蒙塑性材料士与Tre急sca条追件相关连务的流动法推则与Mis伙es条件旧相关连的海流动法则缎相比，与扔Tres馅ca条件杏相关连的薯流动法则圈有两个显忧著的特点蔽：2、在养Tre蓄sca灵六角柱副的棱线蜘上（在蓝π平面涉内，就互是在正橡六边形俗的角点骑上），瞧不存在它唯一的浊外法线歌。ABC1、在Tresca六角柱的屈服平面上（在平面内，就是在正六边形的直边上），给出沿外法向的并不能就此确定S，因为同一个屈服平面上的任一点都具有相同的外法向。实际上，票角点可以着看成是一支段光滑曲垄线无限缩旨小的极端篮情况，因举此角点的类法线不唯惜一，而可费为上述夹述角范围内巴的任一方张向。考察图猪5-1帜1中的考角点B蜂。它的全两侧面匆，AB酷面和B健C面的羡方程分扎别为：对AB面同理，对穗BC面有角点B锄处的塑呀性应变煤增量可圆以AB面和BC面上的崭塑性应抹变增量羞的线性宽组合得脱到。ABC其中四、强身化材料亚的增量跳本构关惨系Duc批ker公设当且仅当时可令其中h>0称为强化丢模量，依父赖于加载低面的变化胶规律，一坛般不为常界数。如果h和都不含应力增量，称为线挤性增量常理论。这样就鱼有：间成线性关系，这时具有Mis屠es加载条件遥的等向强奶化材料加载面在加载时，虽然，但应力点始终保持在扩大的加载面上，因而的全微分为零，即（5-5顾1）（5-弊52）则即代入（5床-52）贪式得（5-辜53）（5-亲54）上式左边自乘求和得右边自乘求和得，

比较这二者，可知=1，或利用（5舱-51）前和（5-否55）式勾，得出其中可由简单拉伸曲线来决定。事实上，退化到简单拉伸情形时（5-51）式就是，即它就是曲线的斜率。作为特例，在线性强化时就有:（5-粪55）（5-5各6）（5-益57）§5.趁5钥全量理播论（形军变理论珍）认为应力杂和应变之惑间存在着疏一一对应候的关系，童因而用应力和决应变的粗全量建牌立起来拆的塑性独本构方梦程，又称形丘变理论。全量理和论在单调加距载的情况测下应力和妨应变之间魔存在一一梦对应关系收，这时塑艳性变形相吊当于非线索性弹性问酸题，可用妈全量理论宁求解。一、Ил旨ью弊шин肝理论基本假市定:1.物体是各似向同性的队；2.体积改变毫服从弹性腔定律:其中3.应力偏笨量与应例变偏量驴成正比(5-魔58)其中是一个标量，它是应力张量和应变张量不变量的待定函数。由假设3可得，主障剪应变与滑主剪应力朽成正比,慌即(5-5兆9)在（5-蚕58）式中，如薪果取可得弹拿性状态失下的应否力应变堪关系,售即Ho色oke沸定律。在弹塑唯性变形窑的情况搂下，若跟令则可以认为减是弹塑性孙变形时的痛折算剪切跨模量。（5-5怕8）式可写姓成（5-6汗0）弹性部次分塑性部智分将两边自乘后开方，有：（5-霸61）（5-6休2）于是，应熄力应变关梯系:全量建立使起来的塑半性本构关依系——И叫льюш配ин理论（5-6阔3）二、简单加结载和单析一曲线顿假定简单加载态：单元体抄的应力齿张量各涛分量之派间的比炕值保持篮不变，按同一参会量单调增届长。复杂加绢载：不满足这俱一条件的进加载情形批。简单加载路径在平面上可表示为的射线。yx对于Mises条件，不论强化模型如何，加载路径始终沿半径方向。即沿的方向。而的方向可由表示。则加入弹叶性应变锯增量此即理想横弹塑性材乐料的Pr姜andt严l-Re册uss关葱系在简单疲加载条笼件下，负将上式迷积分，侨得在简单加书载条件下肤增量理论牲同全量理顶论是等价脊的。单一曲偏线假定附:实验证明，只要是简单加载或偏离简单加载不大，尽管在主应力空间中射线方向不同，曲线可近似地用单向拉伸曲线表示。三、简单加载浴定理简单加止载定理赚（Иль俩юши坛н，1946）：如果满捎足下面骨一组充定分条件固，物体来内部每毯个单元民体都处挑于简单吨加载之滋中。这魂组条件粪是：1.小变形；2.材料不可压缩，即；3.载荷按比例单调增长，如果有位移边界条件，则只能是零位移边界条件；4.材料的曲线具有幂函数的形式。其中，1字、3是必则要条件，令2、4是淡充分而非航必要条件恐。四、几避种理论壶的总结跟与比较名称类型年代材料应变大小屈服条件应力应变关系Levy-Mises增量1871，1913理想刚塑性小应变增量MisesPrandtl-Reuss增量1924，1930理想弹塑性小应变增量MisesИльюшин全量1943弹塑性强化小应变MisesHency全量1924理想弹塑性小应变MisesNadai全量1937刚塑性强化小应变Mises与增量枣理论相锄比，全惯量理论凉应用起两来方便铺得多，碌因为它敏无须按衫照加载咬路径逐闹步积分偶。全量孕