弹性力学之平面问题的直角坐标解答

第三节位移分量的求出第四节简支梁受均布荷载第五节楔形体受重力和液体压力例题第一节逆解法与半逆解法多项式解答第二节矩形梁的纯弯曲第三章平面问题的直角坐标解答§3－1逆解法和半逆解法多项式解法当体力为常量，按应力函数求解平面应力问题时，应满足

按求解⑶多连体中的位移单值条件。⑵全部应力边界条件,⑴区域内相容方程对于单连体，位移单值条件通常是自然满足的。只须满足(2-25),(2-15)。由求应力的公式是(2-24)2.逆解法──先满足(2-25),再满足(2-15)。步骤:逆解法⑴先找出满足的解⑶在给定边界形状S下，由式(2-15)反推出各边界上的面力，⑵代入(2-24),求出从而得出，在面力(e)作用下的解答，就是上述和应力。逆解法逆解法没有针对性，但可以积累基本解答。例2二次式，分别表示常量的应力和边界面力。如图示。例1一次式对应于无体力，无面力，无应力状态。故应力函数加减一次式，不影响应力。逆解法2a2aoyxoyxoyxbbbb2c2c⑶代入，解出；3.半逆解法

步骤：半逆解法⑵由应力(2-24)式，推测的函数形式；⑴假设应力的函数形式（根据受力情况，边界条件等）；⑷由式（2-24），求出应力；半逆解法⑸校核全部应力边界条件（对于多连体，还须满足位移单值条件）。如能满足，则为正确解答；否则修改假设，重新求解。§3-2矩形梁的纯弯曲梁l×h×1，无体力，只受M作用（力矩/单宽，与力的量纲相同）。本题属于纯弯曲问题。问题提出

h/2

h/2lyx(l>>h)oMM⑴由逆解法得出，可取，且满足⑵求应力(a)求解步骤：本题是平面应力问题,且为单连体，若按求解，应满足相容方程及上的应力边界条件。⑶检验应力边界条件，原则是:边界条件b.后校核次要边界（小边界），若不能精确满足应力边界条件，则应用圣维南原理，用积分的应力边界条件代替。a.先校核主要边界（大边界），必须精确满足应力边界条件。主要边界

从式(a)可见，边界条件(b)均满足。满足。主要边界次要边界

x=0,l,(c)的边界条件无法精确满足。次要边界用两个积分的条件代替当时，即使在边界上面力不同于的分布，其误差仅影响梁的两端部分上的应力。式(d)的第一式自然满足，由第二式得出最终得应力解(e)§3-3位移分量的求出

在按应力求解中，若已得出应力，如何求出位移？以纯弯曲问题为例，已知试求解其位移。问题提出1.由物理方程求形变求形变2.代入几何方程求位移求位移⑴对式(a)两边乘积分,⑵对式(b)两边乘积分,求位移⑶再代入(c),并分开变量，上式对任意的x,y

都必须成立，故两边都必须为同一常量。求位移由此解出求位移得出位移为3.待定的刚体位移分量，须由边界约束条件来确定。2.代入树几何方程窝，积分求甘；归纳：从应力求屈位移步骤桂：3.由架边界约医束条件失确定确抛定刚体迟位移分鸟量由物理方羡程求出形跳变；2.蛮铅直线膨的转角故在任一咱截面x处，平面艺截面假设臭成立。纯弯曲凯问题的夜讨论：1.兰弯应力倾与材好料力学笼的解相矿同。3.纵向纤绑维的曲率浮同材料力砌学的结果。故在纯弯曲行情况下，尚弹性力学狮解与材料福力学解相同创。§3-4挎简支始梁受均布沈荷载简支梁克，受论均布荷担载仍及两鬼端支撑霜反力泡。。问题yxollh/2h/2现采用此员假设。半逆解跳法按半逆解棒法求解。⑴假薪设应力雾分量。破由材料隆力学因为因为所以，引可假设所以，爷可假设因为所以，可况假设⑵由剖应力分眉量推出凯应力函盐数的形田式。由对x积分，对x再积分，(a)半逆解鹿法⑶将狐代利入相容筐方程，版求解财:相容方凉程对于残任何削均应中满足,凝故的系数均愁应等于0凤，由此得熔三个常微荷分方程。半逆解法式(b)中已略去常对于愁的一映次式。将式(b)代入式(a)，即得父。(b)半逆解挎法解出:对称性条踢件─由于建结构和荷迷载对称于轴，故垂应络为的士偶函数，凤为x的奇函污数，故颤。⑷由拢求借应力。半逆解桨法在无体拆力下，盏应力公进式如书继中式(f),(g),(跨h)所示。⑸考款察边界去条件。由此解肾出系数A,狭B睡,C汽,灵D。主要边造界主要边骨界次要边涛界次要边界由此解出H，K威.另一次仇要边界刊(x=-l)的条件乎，自然满畏足。应用圣维喷南原理，擦列出三个谨积分条件煤，最后应暴力解答青：应力应力的偶量级当丹时,x~l同阶，y~卸h同阶.第一项册同阶继,（与材疮料力学解耀同）;第二项兄同被阶,炉（弹性力吩学的修正铺项）同阶,伟（瘦与材料力肆学解同）应力的状量级同阶,偿（典材料力趋学中不唇计）当开时,凝量疑级的值拨很小,壳可以不说计。应力与材惠料力学解撑比较:最主要智量级烈,李和次要夕量级庭,在怪材料力号学中均猾已反映贪，且与坡弹性力菜学相同数。最小量赴级~赞,蹲在材料切力学中握没有。当经时,掩仅占主锡项牺的砌1/1卧5腐(6眠%)揪,应力比竿较中的弹性洪力学修正萄项：弹性力怜学与材拥料力学塞的解法林比较:应力比健较弹性力学演严格考虑由并满足了A内的平衡思微分方程映,几何闹方程和物歪理方程,植以及S上的所春有边界额条件(在小盘边界上桌尽管应萄用了圣此维南原室理,但姓只影响颈小边界抛附近的纹局部区军域)。材料力学立在许多方贡面都作了奴近似处理撕,所以得掉出的是近椅似解答。几何条移件中引用平移截面假定究－－沿怀为直线吉分布；例如：边界条长件也没有眯严格考淹虑；平衡条排件中没有扫考虑微扶分体的誓平衡，抹只考虑湖的内群力平衡凳；材料力学掀解往往不峰满足相招容条件它。对于杆捧件，材芹料力学灶解法及顶解答具六有足够株的精度拔；对于非星杆件，傻不能用材料力敞学解法求解讯，应采用弹性力向学解法求长解。§3-管5楔丢形体受股重力及棋液体压冶力设有楔形丹体，左面打垂直，顶伏角为α，下端无陡限长，下受重力巴及齐顶幸液体压厅力。oyxnαα用半逆解凳法求解。因为应力,而应力唯的量纲盐只比高一次钉（L），所以应烂力(x,纽奉y一次式）衰,=即可假设吓应力为x,愤y的一次式。（1）用量纲禁分析法夕假设应小力:（2）由乖应力~关系式，晕应为x,y的三次速式，（3）满足相容猫方程（4）由崇求应量力，（5）饺考察边循界条件--本题只虚有两个大边界，均应严状格满足应哀力边界条雄件。x=0铅直面，解出解出斜边界上巨，须按一般士的应力边枝界条件来桥表示，有其中由式（b)解出a、b,最后的应力解答殊,应力水平截面蠢上的应力删分布如图井所示。楔形体解圾答的应用乞:作为重藏力坝的革参考解犬答；分逢重路力坝接渣近平面济应力问绑题；在坝体丙中部的五应力，夫接近楔剪形体的蒜解答。重力坝隙规范规弓定的解皮法——材邀料力学煮解法（妇重力法献）.重力坝的窜精确分析盟，可按有带限单元法屿进行。第三章例伯题例题1例题2例题3例题4例题8例题7例题6例题5例题1设单位娱厚度的贫悬臂梁唱在左端抖受到集致中力和呢力矩的尿作用，甚体力可齐以不计蝇，锦图3-碗5，试京用应力爷函数度求解应力分社量。图3-5ydyyxlh/2h/2o解：本题是雨较典型恳的例题债，已经训给出了衰应力函娇数五，可按雹下列步丈骤求解跃。1.代将狡代入相斑容方程，疲显然是满莲足的。2.刻将肃代入式怜(2-柜24)妹，求出捎应力分劳量。考察边界永条件：主要边呼界唇上应精通确满足壮式(2丧-15去),在次要蚀边界x=0上，只嫁给出了淘面力的斑主矢量乔和主矩蹦，应用歇圣维南糟原理，子用三个杠积分的示边界条洞件代替包。注意x=0是负x面，图3薯-5中表馆示了负x面上的尸的正方界向，由此避得：由(a),(眯b)解出最后一嗓个次要栽边界条盗件(x=l上)，在平衡微竟分方程和忍上述边界队条件均已第满足的条馅件下，是抬必然满足掀的，故不宏必再校核牧。代入应论力公式蔽，得例题2挡水墙的辆密度为农，厚度锹为b,图示,险水的密舟度为馋，试求掉应力分擦量。yox解：用半逆解法求解。假设应力伪分量的函专数形式。因为在y=-蝴b/2边界上业，y=b话/2边界上，柄，恨所以可假妹设在区域专内沿x向也嫂是一次货式变化签，即2.洪按应钻力函数康的形式昌，由图推赔测候的形抓式，所以3.哥由相左容方程腐求应力袭函数。睁代入仁得要使上明式在任立意的x处都成立知，必须代入席，所即得应歇力函数吨的解答叫，其中赢已略去满了与应日力无关割的一次杜式。4.杰由应力稳函数求分解应力碰分量。射将身代入村式(2铃-24秧),注意，体糖力求得利应力分湖量为考察边塞界条件宴：主要边应界上,有得得得由上式阴得到求解各输系数，浑由得得得得由此得又有代入A,得在次要边界（小边界搅）x=0上，列胶出三个应积分的征边界条萍件：由式(g),(h)解出代入应力柳分量的表游达式得最商后的应力东解答：例题3已知试问它辆们能否煮作为平搅面问题哨的应力价函数？解：作为应力燥函数，必枝须首先满越足相容方挥程，将涝代入辜，(a)其中A=0，才可能靠成为应童力函数豆；(b)必须满足伴3(A+E)+C=0,才可能成估为应力函魂数。例题4图中所示办的矩形截兽面柱体，眠在顶部受恳有集中力F和力矩者的作用盆，试用应绒力函数求解图示肥问题的应平力及位移客，设在A点的位判移和转假角均为绳零。bbAyxhOFFb/2解：应用应力队函数求解舒：(1)园校核容相容方程您，满足.(2)砌求岩应力分卵量，渴在无体误力时，晒得(3)孩考浅察主要边界接条件，均已满足考察次要边骂界条件，在y=0上，满足。得得上述应力慌已满足了敏和全鼓部边界条抢件，因而香是上述问圾题的解。代入，面得应力救的解答袋，(4)烤求应鞭变分量，(5)济求位移刷分量，将u,v代入几王何方程捆的第三默式，两边分扫离变量林，并全唯都等于常数，即从上式分胞别积分，匀求出代入u,v,得再由刚鼓体约束槐条件，得得得代入u,v,得到位移汪分量的解喷答在顶点x=y=0，例题5图中矩略形截面挤的简支荐梁上，孕作用有