投影的基本原理

第一篇建筑制图知识

2投影的基本原理目录投影的基本知识1三视图的形成及其投影规律2点的投影33直线的投影4平面的投影35Back2.1投影的基本知识投影分中心投影和平行投影两类。平行投影又分为正投影和斜投影，工程图样应用最广泛的是正投影。

如图2.1所示，在光源S照射下，△ABC在平面P上得到影子△abc，点S称为投射中心，光线SA、SB、SC称为投射线，平面P称为投影面，△abc称为△ABC在平面P上的投影，也可称为投影图。

图2.1中所有的投射线都汇交于投射中心S，所以将这种投影法称为中心投影法，得到的投影称为中心投影。2.1.1投影及其分类

如图2.2（a）和（b）所示，当光源（投射中心）S在无穷远时，投射线（光线）互相平行，仍可得到△ABC在投影面P上的投影△abc，这种投射线互相平行的投影法称为平行投影法，得到的投影称为平行投影。在平行投影法中，如图2.2（a），当投射方向垂直于投影面时，称为正投影法，得到的投影称为正投影；如图2.2（b），当投射方向倾斜于投影面时，称为斜投影法，得到的投影称为斜投影。2.1投影的基本知识2.1投影的基本知识图2.1中心投影图Back2.1投影的基本知识2.2平行投影Back建筑工程中常用的投影图有多面正投影图、轴测投影图、透视投影图和标高投影图。

多面正投影图由物体在互相垂直的两个或两个以上的投影面上的正投影所组成，图2.3所示是由两级台基和一块碑身组成的纪念碑的三面正投影图。

轴测投影是物体在一个投影面上的平行投影，又称为轴测图。将物体对投影面安置于较合适的位置，选定适当的投射方向，就可得到这种富有立体感的轴测投影，图2.4就是图2.3所示纪念碑的轴测投影。2.1投影的基本知识2.1.2建筑工程中常用的投影图

透视投影是物体在一个投影面上的中心投影，又称为透视图。适当安置投射中心、物体和投影面之间的相对位置，就可得到这种形象逼真的透视投影，图2.5就是图2.3所示纪念碑的透视投影。

标高投影图在土建工程中常用来绘制地形图、建筑总平面图和道路、水利工程等方面的平面布置的图样，它是地面或构筑物在一个水平基面上的正投影图，并标注出与水平基面之间的高度数字标记。2.1投影的基本知识

如图2.6（a）所示，在水平基面H上有一座小山，与H面相交于高度标记为0的曲线，再用高于H面10m、20m的水平面剖切这座小山，得到高度标记为10、20的曲线，这些曲线称为等高线，作出它们在H面上的正投影，并标注高度标记数字，就能得到这座小山的标高投影图，也就是这座小山的地形图，如图2.6（b）所示。2.1投影的基本知识2.1投影的基本知识图2.3多面正投影图示例Back2.1投影的基本知识图2.4轴测投影示例Back2.1投影的基本知识图2.5透视投影示例Back2.1投影的基本知识图2.6标高投影图示例Back2.2三视图的形成及其投影规律

如图2.7所示，两个不同形状的物体，在同一投影面上的投影却是相同的。这说明在正投影法中，只有一个投影一般不能反映物体的真实形状和大小。多面正投影图又称为视图。基本的表达方法是三视图。

图2.8所示是按国家标准规定设立的三个互相垂直的投影面，称为三投影面体系。把物体放在三投影面体系中，位于观察者和投影面之间，使物体的三个主要表面分别平行于三个投影面，即物体的三视图，如图2.9所示。2.2.1三视图的形成从物体的前方向后方投射，在V面上得到的视图，称为正面投影或V面投影。从物体的上方向下方投射，在H面上得到的视图，称为水平投影或H面投影。从物体的左方向右方投射，在W面上得到的视图，称为侧面投影或W面投影。要把三视图画在一张图纸上，就必须把三个投影面展开成一个平面。其方法如图2.10（a）所示。展开后三视图的排列位置是：H面投影在V面投影的下方，W面投影在V面投影的右方。在画三视图时可不画出投影面的边界，如图2.10（b）所示。2.2三视图的形成及其投影规律2.2三视图的形成及其投影规律图2.7单一投影不能确定物体的形状和大小Back2.2三视图的形成及其投影规律图2.8三投影面体系的建立Back2.2三视图的形成及其投影规律图2.9三面投影Back2.2三视图的形成及其投影规律图2.10三面投影的展开（a）三投影的展开方法；（b）三视图之间的投影规律Back

每个视图都表示物体的四个方位和两个方向：V面投影反映了物体上下、左右的相互关系，即物体的高度和长度；

H面投影反映了物体左右、前后的相互关系，即物体的长度和宽度；

W面投影反映了物体上下、前后的相互关系，即物体的高度和宽度。2.2三视图的形成及其投影规律2.2.2三视图的投影规律三视图的宾投影规律遗为：H面投影惊和V面投影――长对正向；W面投影和V面投影――高平齐；凑H面投影和W面投影――宽相等。腿2.2三视图的竹形成及其弹投影规律2.3点的投碌影如图2.1宗1所示，三个狡互相垂修直的投舟影面V、H、W组成一受个三投陕影面体长系，将抄空间划放分为八两个分角菌。V面称为眯正立投磨影面，县简称正辟面；H面称为季水平投雾影面，息简称水雄平面；W面称为侧蹦立投影面椒，简称侧援面。三个纸投影面分盼别相交于群投影轴OX、OY、OZ，它们也形互相垂直尽，交汇于殖原点O，并规定棒向左、向绵前、向上俘为正，在际三条投影塑轴都是正互向的投影敲面之间的纲空间是第殊一分角。遭将几何形顶体放置在课第一分角芝内，向三匹个投影面谦进行投影宿。2.3.1点在三投影面体系第一角中的投影2.3咽.1.走1投影的耽形成与垮特性点的三他面投影如图2.1兄2所示。点的投影侧特性见图2.1妻3所示。将点按图2.1绸2进行投影妥和展开投寇影面后，惜点的投影具有下将述投影衣特性：吸（1）点的投矮影连线垂鼓直于投影画轴；（2）点的投说影到投影负轴的距离眯反映该点浊的坐标，还也就是该疲点与相应雪的投影面舍的距离2.3点的投影【例2.1】求作点A（14,1贿0,20）的三面初投影和轴舱测图(图2.1避4)【解】由于已变知一点芒的三个移坐标就隙能确定盯该点的他位置，偶因而根肥据点的写投影特造性，可正用图2.1跃4(a虹)所示或图2.1擦4(b乔)所示作出该点持的三面投掩影。根据在睬轴测图厕（斜等栏测）中攻平行于坦三条投饱影轴的垃线段的绕投影仍挠与这三貌条轴的悔轴测图鸭相平行壮，且长幕度按1∶1量取的作浮图方法，如图2.14页(c)所示，由A点的坐出标作出A点的轴测汇图。（1）作A点的三已面投影回作法一（图2.1刮4（a））作法二（图2.1而4（b））（2）作A点的轴况测图（图2.14（c））2.3点的投影2.3点的投坑影图2.11三投影面为体系以及丢八个分角秆的划分Back2.3点的投权影图2.1色2点的三面充投影Back2.3点的投影图2.13点的投怎影特性Back2.3点的投蝴影图2.14作A点的三肾面投影易和轴测拿图Back如图2.1全5(a盘)所示，点与投洽影面的相怠对位置有棚四类：空间点（不在瘦任一投至影面上画的点，必如A点）；投影面上祸的点（只在塘一个投粱影面上差的点，帆如B点是V面上的离点）；投影轴基上的点（在两个糠投影面上席的点，必童在这两个检投影面相贩交的投影凉轴上，如C点是OY轴上的图点）；与原点O重合的点（在三个忽投影面上鲜的点，必婶与原点O重合，殖如D点）。2.3讯.1.改2各种位置璃的点2.3点的投影从图2.1牲5(a咬)、(b)中可以看轧出：空贱间点的方三个坐棋标都不杠是零，萌三个投欢影都不锣在投影谨轴上；呼投影面怒上的点丙必有一低个坐标罢是零，其在这个典投影面抗上的投仆影在原淹位置，给另外两赚个投影肆分别在尾这个投废影面的恩两条投院影轴上农；投影安轴上的哑点有两找个坐标光是零，妨在相交茶于这条乔投影轴罗的两个帝投影面迟上的投萝影重合财于原位快置，另服一投影裁重合于暑原点O；与原点O重合的夜点的三霞个坐标词都是零讯，三个后投影都辟重合于踪蝶原点O。2.3点的投影2.3点的投影图2.1停5各种位仇置的点Back2.3点的投影图2.1垒5各种位置虎的点Back在工程图牛样中，常哭用两点沿纱左右（OX轴）、前徐后（OY轴）、上哗下（OZ轴）三个殿方向之间研的距离，优即两点对叶三个投影更面的距离共差（坐标婚差或相对耀坐标）来岛确定两点挥间的相对滚位置。如图2.16中，B点对A点的相对袭位置，可愚以说：B点在A点之左xB-蛋xA、在A点之前yB-述yA、在A点之上zB-旗zA处，或B点对A点的相虏对坐标暮是（xB-感xA，yB-劳yA，zB-z条A）。在三投壳影面体纱系中，假点的每恼一个投舟影只能始反映左巩右、前耳后、上掌下之中浊的两对榜方向，煎即V面投影只个能反映左剪右、上下怒，H面投影太只能反路映左右坝、前后谋，W面投影奥只能反拾映前后止、上下葛。2.3点的投影2.3.拿1.3两点的相雅对位置若两个点醋处于垂直坟于某一投狐影面的同要一投射线齿上，则这扰两个点在敲该投影面巾上的投影碗便互相重匙合，这两矩个点就称逮为对该投甚影面的重室影点。若榴一点在另丑一点的正壤前方或正画后方，则弦这两点就答是对V面的重影插点；若一插点在另一析点的正上梳方或正下落方，则这聪两点就是械对H面的重顾影点；森若一点份在另一糕点的正恢左方或污正右方督，则这赌两点就株是对W面的重制影点。刚上述三粘对重影赛点的重恶合的投狠影，分半别应是躁前面的厨点遮住铲后面的么点、上渗面的点拐遮住下担面的点丙、左面毒的点遮谢住右面垦的点。如图2.17中所示。2.3点的投影2.3点的投影图2.1练6两点的相钓对位置Back2.3点的投影图2.17重影点Back图2.18（a）就是前面口已讲述过着的图2.13（b），表示了在患三投影面徐体系中点垮的投影特尊性：点的柏投影连线追垂直于投蔬影轴；点疯的投影与懂投影轴的库距离反映剩该点的坐冠标，也就衫是该点与锦相应的投院影面的距陕离。图2.18（b）和（c）同样地分洪别表达了公在V、H和V、W两投影面弯体系中点各的投影特锐性，显然呼，它们与图2.1疯8（a）所表示的隙完全相同逗，只是用伴坐标原点O与投影连秩线之间的炮距离来代迹替A点与所省硬略的投影贵面之间的昂距离，并婚表示一个诊坐标。2.3点的投冤影2.3.2点在两投影面体系第一角中的投影图2.19（a）就是前所面已讲票述过的图2.16，显示败了在三降投影面立体系中A、B两点的秃相对位企置：B点在A点之左xB-嫌xA、在A点之前yB-伪yA、在A点之上zB-趋zA处，或B点对A点的相对员坐标为（xB-疯xA，yB-什yA，zB-钓zA）。图2.1非9（b）和（c）也同样地限分别表达惜了在V、H和V、W两投影效面体系柿中A、B两点的忽相对位赚置，与图2.1成9（a）所表示象的完全乘相同。可以看咱出：两投影面拆体系的投钳影图的形酬成、投影蠢特性和作旧图方法都勇与三投影秩面体系相煤同，今后文可以按需汤选用。2.3点的投疫影2.3点的投影图2.1付8点在三逼投影面喜体系和及两投影员面体系遇中的投臭影特性Back2.3点的投毙影图2.19两点在粉三投影解面体系扶和两投护影面体江系中的吃相对位需置Back2.3点的投冷影图2.1婆6两点的健相对位坊置Back直线按与约投影面的陵相对位置耐可分为三钉类：不平业行于任一错投影面的招直线称为一般位刘置直线；只平行犹于一个投阶影面的直走线，称为投影面障平行线，对正买面（V面）、水秘平面（H面）和验侧面（W面）的平匆行线分别彩简称正平线、水平线和侧平线；垂直望于投影锦面的直盒线，一敏定平行屠于其他卵两个投也影面，历称为投影面般垂直线，对正面贴（V面）、而水平面心（H面）和趴侧面（W面）的垂犯直线分别泄简称正垂线、铅垂线和侧垂线。投影面降平行线与赚投影面垂篇直线统称玩为特殊位置舞直线。2.4直线的投跃影表2.1列出了三种投灭影面平行概线。从表2.1可以归纳症出投影面禁平行线的投影特性俘：（1）在平行栏的投影面垒上的投影枯反映实长师，且反映款该直线与制其他两个殃投影面的印真实倾角仅；（2）在另监外两个依投影面野上的投衣影必分扇别平行鼻于相应疲的投影漫轴，且液长度缩胸短。2.4直线的投印影2.4.1特殊位置直线及其投影特性2.4.良1.1投影面平萍行线2.4直线的投活影表2.1投影面吸平行线不的投影割特性名称轴测图投影图投影特性正平线

1.a′b′反映实长和α、γ角；

2.b∥OX，a″b″∥OZ，且长度缩短水平线

1.cd反映实长和β、γ角；

2.c′d′∥OX，c″d″∥OYW，且长度缩短2.4直线的美投影名称轴测图投影图投影特性侧平线

1.e″f″反映实长和α、β角；

2.ef∥OYH，e′f′∥OZ，且长度缩短Back表2.2列出了三种投面影面垂直猜线。从表2.2可以归盒纳出投蚂影面垂剥直线的投影特吊性：（1）在垂直杏的投影面距上的投影委积聚成一王点；（2）在另趣外两个哪投影面羊上的投真影平行券于投影位轴（与涨直线相掏平行的隙投影轴词），且舒反映实裂长。2.4直线的两投影2.4.船1.2投影面垂扫直线2.4直线的劫投影名称轴测图投影图投影特性正垂线

1.a′b′积聚成一点；

2.ab∥OYH，a″b″∥OYW，且反映实长水垂线

1.cd积聚成一点；2.c′d′∥OZ，c″d″∥OZ，且反映实长表2.2投影面软垂直线坐的投影便特性2.4直线的径投影名称轴测图投影图投影特性侧垂线

1.e″f″积聚成一点；

2.e′f′∥OX，ef∥OX，且反映实长Back图2.20是一般位篮置直线AB的三面投败影图。一般位置识直线的投黄影特性：三个投影懒都倾斜于糊投影轴，杰长度缩短滥，且不能霸直接反映社直线与投攀影面的真羡实倾角。求作一般跌位置直线泪的实长和凉倾角，可瓦用图2.2轻1所示的直角三朵角形法，咐作图原理如图2.2客1（a）所示的轴测图售。在投影角图中求AB的实长胡和倾角α的作图过约程如图2.2体1（b）所示。2.4直线的投怜影2.4.2一般位置直线及其实长与倾角可以归纳虑出用直角浴三角形法检求直线的哲实长和倾壶角的作图废过程是：以直线的堪某一投影很为一直角努边，以直膏线的两个芹端点与这灯个投影面致的距离差摄为另一直纲角边，所修作出的直拾角三角形戴的斜边即组为实长，壁斜边与直垫线投影的烂夹角即为奇直线与这怒个投影面烤的倾角。并若在三投材影面体系谁中需要求撤作直线的酒实长和对W面的倾努角γ，也可在搁投影图中摧以直线的W面投影贩为一直筝角边，接以直线握的两个抹端点与W面的距页离差为令另一直酷角边，俭同样地犹作出直位角三角咏形而求态出。2.4直线的逐投影2.4直线的投刺影图2.20一般位烂置直线尾的投影屋特性Back2.4直线的投葬影图2.21用直角可三角形爪法求直让线的实允长和倾撤角Back如图2.2染2所示，由平摔面几何艳可以推沸导出：DE上F点的投泥影f必在de上，并多有DF∶挤FE＝df∶蹲fe的关系饲，在三铅投影面稀体系中拴，还可原推导出DF∶苏FE＝df∶f乔e＝d′f内′∶f完′e′＝d″f″沿∶f″e霜″的关系梨。由此推亲导出直线上桐的点的块投影特锈性：直线上着的点的筋投影必轨在直线捆的同面师投影上势；若直梨线不垂毒直于投酷影面，即则点的焰投影分丝式割直线象线段投废影的长优度比都傍等于点幕分割直遣线线段柳的长度予比。2.4直线的投拨影2.4.3直线上的点的投影特性2.4直线的投吼影图2.22直线上的盟点的投影秘特性Back两直线堆的相对宣位置有救三种情谊况：平行、福相交和愚交叉。它们的词投影特性如表2.3所示。交叉直线茅也称为异面直线，即两直妻线既不平酱行，又不崇相交。若雅两直线共倾面（位于唉同一平面斗上），则较必定是平头行线或相渠交线。2.4直线的投辆影2.4.4两直线的相对位置2.4直线的妙投影表2.3不同相对稍位置的两隆直线的投吨影特性名称平行相交交叉轴测图投影图2.4直线的旅投影名称平行相交交叉投影特性同面投影互相平行同面投影都相交，交点符合点的投影特性，同面投影的交点就是两直线的交点的投影两直线的投影，既不符合平行两直线的投影特性，又不符合相交两直线的投影特性。同面投影的交点，是两直线上各一点形成的对这个投影面的重影点的重合的投影Back一边平确行于投骂影面的楼直角的投影特瞧性是：当直角聪的一边伙为投影章面平行风线时，兴则在它泰所平行旦的投影个面上的倍投影仍育为直角枯。2.4直线的投句影2.4.5一边平行于投影面的直角的投影平面可用图2.2公3所示的任一形揪式的几何停元素表示汉，也可用图2.24所示的迹线表田示，最常件见的是图2.23（e）所示的用平面朋图形的投滚影表示的重平面。如图2.24所示，平面妙与投影姥面的交期线称为迹线。图2.2偶5和图2.2奴6所示的平面是夸用迹线表牌示的特殊抄位置平面长。特殊位谣置平面一吐定垂直于巡寿一个或两铺个投影面捉，在平面许所垂直的仙投影面上呈的迹线有爹积聚性，往也就是平己面上的点赶、线和平闷面图形在眯该投影面脉上的投影厦都位于这练条迹线上财。2.5平面的射投影2.5.1平面的表示法还可看出诵：只垂直捎一个投影剑面的平面亏只有一条译有积聚性搭的迹线，稿这条迹线毙倾斜于投牵影轴；而却平行于投廊影面的平悟面必定垂准直于其他道两个投影弊面，有积骨聚性的迹挖线一定平库行或垂直挡于投影轴驶。2.5平面的投迈影2.5平面的谱投影图2.2许3用几何标元素表汗示平面Back2.5平面的投贩影图2.24用迹线臂表示平放面Back2.5平面的警投影图2.25用迹线看表示的挥垂直于似投影面伯的平面Back2.5平面的恩投影图2.26用迹线表抄示的平行倍于投影面瞎的平面Back平面按与守投影面的国相对位置投分为三类留：不垂直受于任一始投影面俗的平面俗，称为一般位出置平面；只垂直泳一个投忽影面的倚平面，柄称为投影面啄垂直面，对正面庆（V面）、水鄙平面（H面）、侧魄面（W面）的垂福直面分别保简称正垂面拳、铅垂听面和侧丘垂面；平行于投亏影面的平剂面，必定欢垂直于其屋他两个投楚影面，称以为投影面却平行面，破对正面（V面）、余水平面劲（H面）、侧脖面（W面）的宇平行面渡分别简榜称正平面、侮水平面和虏侧平面。2.5平面的投依影2.5.2各种位置的平面及其投影特性一般位置刻的平面图箱形的投影特保性：三个投影谁都是面积评缩小的类神似形。2.5平面的投食影2.5.额2.1一般位置截平面处于投影孝面垂直面甜位置的平称面图形的投影特性屡：（1）在所垂隶直的投影壁