建筑力学弯矩图剪力图

建筑力学弯矩图剪力图课件第1页，共124页，2023年，2月20日，星期一第六章静定结构的内力计算

一、本章主要知识点

1．截面内力及符号

2．内力图

3．荷载和剪力、弯矩的对应图形关系第2页，共124页，2023年，2月20日，星期一4．叠加法作弯矩图、剪力图

5．分段叠加法作弯矩图

6．静定梁作内力图

7．刚架作内力图

8．三铰拱的计算

9．桁架的计算第3页，共124页，2023年，2月20日，星期一

二、本篇讲授的内容

（一）截面内力及符号 物体因受外力作用，在物体各部分之间所产生的相互作用力称为物体的内力。对内力的正、负号作如下规定： 轴力符号：当截面上的轴力使分离体受拉时为正；反之为负。第4页，共124页，2023年，2月20日，星期一

剪力符号：当截面上的剪力使分离体作顺时针方向转动时为正；反之为负。 弯矩符号：当截面上的弯矩使分离体上部受压、下部受拉时为正，反之为负。 当所有外力（包括已知荷点，通过平衡方程求出的所有支座约束反力）已知时，通过三个独立的平衡方程可求解三个内力。截面法是结构力学计算最基本的方法。第5页，共124页，2023年，2月20日，星期一+－＋－＋－第6页，共124页，2023年，2月20日，星期一教材例6－3（P73）

一外伸梁如图所示。。求截面1－1及截面2－2的剪力和弯矩。222PqAB121第7页，共124页，2023年，2月20日，星期一

解：1．求梁的支座反力。 由整体平衡可求：

2．求1－1截面上的内力 杆上外力均为已知，可求任意截面的内力。如截面1－1，取左段为分离体，如图所示。YAQ1PM12m1m第8页，共124页，2023年，2月20日，星期一

由 由 由 求截面1－1内力也可取左段为分离体，其结果见教材。

3．求2－2截面上的内力。（见教材）4Q2M21第9页，共124页，2023年，2月20日，星期一（二）内力图 内力图为表示内力随横截面的位置变化的函数的图形。 一般取杆轴线为坐标轴，横截的位置选择用X表示，则梁的各个横截面上的内力可以表示为X的函数，函数图形即内力图。第10页，共124页，2023年，2月20日，星期一教材例6－7（P76）

简支梁AB受一集度为q的均布荷载作用，试作此梁的剪力图和弯矩图。 分析：取左边X长的分离体，X处截面的内力按正方向假设，用平衡方程求解。第11页，共124页，2023年，2月20日，星期一qLMQ++-qL2/8qL/2qL/2qL/2qL/2第12页，共124页，2023年，2月20日，星期一 解： （1）求梁的支座反力 由整体平衡可求： （2）取距A端X处的C截面，标出。解得：

CQ(x)M(x)xA第13页，共124页，2023年，2月20日，星期一

M图为二次抛物线，确定X＝0，L/2及L处M值可确定M的函数图形。

Q图为直线形，确定X＝0，L处Q值即可确定Q图。MQ++-qL2/8qL/2qL/2第14页，共124页，2023年，2月20日，星期一 根据内力图的特征，除均布荷载q作用下的M点为二次抛物线外，其余情况均为直线段。因此，可以不需列出函数方程，直接确定直线段内力图的控制点值，即荷点作用不连续点的截面内力连接直线即可。第15页，共124页，2023年，2月20日，星期一 均布荷点作用段内M图再确定一中间值即可画出二次抛物线。按建筑力学的习惯，M图画在杆件弯曲变形时受拉一侧。 画出M图。弯矩最大值在梁的中点，为ql2/8； 画出Q图。剪力最大值在梁端，为ql/2。第16页，共124页，2023年，2月20日，星期一（三）荷载与剪力、弯矩的对应图形关系 纯弯曲：剪力图为零，弯矩图为一水平直线。

q＝0：剪力图为一水平直线，弯矩图为一斜直线。第17页，共124页，2023年，2月20日，星期一几种常见简支梁M、Q图的记忆PL/2L/2MQ++-PL/4P/2P/2qLMQ++-qL2/8qL/2qL/2第18页，共124页，2023年，2月20日，星期一

q＝常数:剪力图为一斜直线，弯矩图为一抛物线。 集中力：剪力图为一水平直线，P作用处有突变，突变值等于P。弯矩图为一折线，P作用处有转折。第19页，共124页，2023年，2月20日，星期一几种常见简支梁M、Q图的记忆PabLPab/4MQPb/LPa/L++-mL/2L/2MQ+-+M/2M/2m/L第20页，共124页，2023年，2月20日，星期一

集中力偶：剪力图为一水平直线，力偶作用处无变化。弯矩图为水平线，力偶作用处有突变，突变值等于集中力偶。第21页，共124页，2023年，2月20日，星期一教材例6－10（P81反）

外伸梁如图所示，已知，试画出该梁的内力图。222PqAB121CD第22页，共124页，2023年，2月20日，星期一分析：例中，整体平衡可求解，则A、B、C、D为外力不连续点，――作为控制截面。 在集中力P，或支座反力处剪力有突变，所以控制截面截取应B左、B右、C左、C右，D右支座反力即作用于CD杆端的剪力。第23页，共124页，2023年，2月20日，星期一

Q图由控制点A、B左、B右、C左、C右的值之间连直线得到。解：（1）求梁的支座反力

第24页，共124页，2023年，2月20日，星期一（2）画弯矩图：求控制截面的弯矩值，取AB杆的分离体。

杆上侧受拉。取CD杆的分离体：（铰支端）

杆下侧受拉。第25页，共124页，2023年，2月20日，星期一确定A、B、C、D四点M值：

BC，CD间无均布荷载q，直接联直线；

AB间有均布荷载q,确定中点值为2.5KN/m,可由三点确定抛物线。第26页，共124页，2023年，2月20日，星期一（2）画弯矩图：连接控制截面的弯矩值，如图:

M图AB段的端点值即MA、MB的中间值由确定，作抛物线。M图BD段的端点值即MB、MD的中间值由确定，用直线连接。如在的连线上叠加的二次抛物线，或在的连线上叠加的三角形的底边，简单拼合，显然不能对齐。第27页，共124页，2023年，2月20日，星期一轴力为零不考虑。杆端作用剪力、弯矩与相应简支梁两端作用弯矩受力情况完全相同，即对应。所以任意分段均可同叠加法作M图。M图10kNm10kNmABCD第28页，共124页，2023年，2月20日，星期一（3）画剪力图：取控制截面如图。计算剪力：取分离体如图。

AB：QAB=0（自由端）

CD：

BC：

QBC

QCB＝5-P=-10第29页，共124页，2023年，2月20日，星期一

剪力图如图所示。在已荷点和所有反应力的情况下，可以取分段分离体求剪力控制截面值，但如果M图已知，不求约束反力也可确定分段杆端的剪力控制截面值。

10kN10kN5kN-++ABCD第30页，共124页，2023年，2月20日，星期一几种常见简支梁M、Q图的记忆PL/2L/2MQ++-PL/4P/2P/2qLMQ++-qL2/8qL/2qL/2第31页，共124页，2023年，2月20日，星期一几种常见简支梁M、Q图的记忆PabLPab/4MQPb/LPa/L++-mL/2L/2MQ+-+M/2M/2m/L第32页，共124页，2023年，2月20日，星期一（四）叠加法作弯矩图与剪力图

当梁上有几项荷载作用时，梁的反力和内力可以这样计算：先分别计算出每项荷载单独作用时的反力和内力，然后把这些计算结果代数相加，即得到几项荷载共同作用时的反力和内力。第33页，共124页，2023年，2月20日，星期一PqL+P+qLMQ++PqPqLPL1/2qL2PL+1/2qL2第34页，共124页，2023年，2月20日，星期一上图悬臂梁上作用有均布荷载和集中力。梁的反力和内力都是由两部分组成。各式中第一项与集中力P有关，是由集中力P单独作用在梁上所引起的反力和内力；各式中第二项与均布荷载q有关，是由均布荷载q单独作用在梁上所引起的反力和内力。两种情况的叠加，即为二项荷载共同作用的结果。这种方法即为叠加法。第35页，共124页，2023年，2月20日，星期一剪力图：集中力P单独作用时为一水平直线，均布荷载q单独作用时为一斜线；两种情况叠加后即为共同作用的结果，如上图。第36页，共124页，2023年，2月20日，星期一弯矩图：集中力P单独作用时为一斜线，均布荷载q单独作用时为抛物线；两种情况叠加后即为共同作用的结果，如上图。分段叠加法作弯矩图直杆弯矩图――分段叠加，简化绘图工作，适用于多跨梁、刚架的弯矩图的绘制。第37页，共124页，2023年，2月20日，星期一教材例6－10（P81反）

外伸梁如图所示，已知，试用叠加法画出该梁的M图。222PqAB121CD第38页，共124页，2023年，2月20日，星期一M图10kNm10kNm10kN10kN5kN-++第39页，共124页，2023年，2月20日，星期一

几个标准弯矩图简支梁作用有均布荷载q

简支梁作用有中点的P

悬臂梁作用有均布荷载q

悬臂梁作用有端点的P简支梁作用有非中点的P简支梁作用有中点的m第40页，共124页，2023年，2月20日，星期一简支梁作用有均布荷载q

P/2qLMQ++-qL2/8qL/2qL/2第41页，共124页，2023年，2月20日，星期一

（1）简支梁作用有均布荷载q

简支梁作用有均布荷载q的弯矩图为一抛物线，其中点弯矩为。（2）简支梁作用有中点的P

简支梁作用有中点的P的弯矩图为一折线，在集中力P作处产生折点，其值为。第42页，共124页，2023年，2月20日，星期一PL/2L/2MQ++-PL/4P/2简支梁作用有中点的P第43页，共124页，2023年，2月20日，星期一简支梁作用有中点的mmL/2L/2MQ+-+M/2M/2m/L第44页，共124页，2023年，2月20日，星期一简支梁作用有非中点的PPabLPab/4MQPb/LPa/L++-第45页，共124页，2023年，2月20日，星期一MQ+PPPL+qqL1/2qL2悬臂梁作用有均布荷载q悬臂梁作用有端点的P第46页，共124页，2023年，2月20日，星期一（5）悬臂梁作用有均布荷载q

悬臂梁作用有均布荷载q的弯矩图为一抛物线，其值端点为零、固定端为。（6）悬臂梁作用有端点的P

悬臂梁作用有端点的P的弯矩图为一斜线，其值端点为零、固定端为PL。第47页，共124页，2023年，2月20日，星期一（五）分段叠加法作弯矩图

简支梁上作用有均布荷载q，其两端作用有弯矩，用叠加法作弯矩图。第48页，共124页，2023年，2月20日，星期一MAMAMBMBqqLL+MAMB第49页，共124页，2023年，2月20日，星期一 原结构作用有两种荷载弯矩和均布荷载。将原结构分解为由弯矩与均布荷载分别作用的两种情况，如图所示。

+第50页，共124页，2023年，2月20日，星期一MAMAMBMBqqLL+MAMB中点M=第51页，共124页，2023年，2月20日，星期一MAMB即：+第52页，共124页，2023年，2月20日，星期一 分段叠加法作弯矩图:杆端弯矩图叠加上简支梁上对应荷载（均布荷载q或中点集中力P）的标准弯矩图； 叠加：是指弯矩图纵坐标的代数和，而不是弯矩图的简单拼合。分段叠加法作弯矩图的方法如下：第53页，共124页，2023年，2月20日，星期一分段叠加法作弯矩图的方法：（1）求控制截面的弯矩值（全部荷载作用）控制截面――一般取外力不连续点（如：均布荷载q的端点、P作用点和集中力偶M作图点的左、右）。第54页，共124页，2023年，2月20日，星期一（2）分段画弯矩图控制截面内无荷载――连直线；控制截面内有荷载（q或中点P）――连虚线，再叠加相应的弯矩图。第55页，共124页，2023年，2月20日，星期一剪力图可以由弯矩图取得：任取杆段AB，荷载及杆端弯矩已知，如图所示。则：，，或由，分别为荷载对杆端A，B之矩的代数和。第56页，共124页，2023年，2月20日，星期一MAMBQABQBAP第57页，共124页，2023年，2月20日，星期一例6－10

外伸梁如图所示，已知，试画出该梁的内力图。本例同例6-10反向222PqAB121CD第58页，共124页，2023年，2月20日，星期一

解：（1）求控制截面的弯矩值（全部荷载作用）；本题的控制截面为A、B、D截面。

A端为自由端，D端为铰支端，AB为悬臂梁，其控制截面弯矩如图，分段画弯矩图：M图10kNm10kNm第59页，共124页，2023年，2月20日，星期一按取得A、B、D截面的弯矩值并连以虚线。在AB段的虚线上叠加均布荷载q的弯矩，如图所示。在BD段的虚线上叠加集中力P的弯矩，其值为：第60页，共124页，2023年，2月20日，星期一（2）由弯矩图画剪力图

AB段：分离体如图所示：

可得：10第61页，共124页，2023年，2月20日，星期一

CD段：分离体如图所示：

BC段：分离体如图所示：CQBCQCB第62页，共124页，2023年，2月20日，星期一剪力图：用A、B、C、D截面的剪力值取点并连以直线，得到本题的剪力图，如图所示。10kN10kN5kN-++ABCD第63页，共124页，2023年，2月20日，星期一

工程力学（上）

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姚志刚第64页，共124页，2023年，2月20日，星期一（六）静定梁作内力图多跨静定梁――按几何组成的相反次序求解，可避免解联立方程。多跨静定梁组成：基本部分――能独立承受荷载的部分附属部分――依赖于基本部分承受荷载的部分第65页，共124页，2023年，2月20日，星期一教材[例6－12]（P82）多跨静定梁如教材图所示。已知。试画出该多跨梁的内力图。（1）求支座反力，ABCEFDq＝5P＝104m122115第66页，共124页，2023年，2月20日，星期一412211qP11P=102255510541q=5511.253.75第67页，共124页，2023年，2月20日，星期一（2）作弯矩图：用叠加法求出控制截面的弯矩（A点、C点、E点、F点弯矩为零），连以直线；在AB段、EF段弯矩的直线上分别叠加均布荷载与集中荷载的弯矩，如教材P83（b）图所示即为结果。第68页，共124页，2023年，2月20日，星期一（3）作剪力图分别求出控制截面A、B左、B右、D左、D右、集中荷载左右及F的剪力；连以直线，结果如教材P83图（c）所示。利用形状特征直接画弯矩图：即利用四个标准弯矩图画多跨静定梁的弯矩图，如图所示第69页，共124页，2023年，2月20日，星期一*利用形状特征直接画M、Q图ABCEFDq＝510P＝104m1221112.655511.2553.7510++--11.258.75555M(kNm)Q(kN)第70页，共124页，2023年，2月20日，星期一11P=105552210541q=5511.253.75MQ第71页，共124页，2023年，2月20日，星期一（七）刚架作内力图1．静定刚架作内力图平面刚架是由梁与柱所组成的平面结构。横杆称为梁，竖杆称为柱。各杆间由结点联接，主要为刚结点，也有铰结点。刚架的特点：梁与柱的联接处为刚结点，当刚架受力而产生变形时，刚结点处各杆端之间的夹角始终保持不变，且能承担弯矩。铰结点联接的杆端可相对转动，一般弯矩＝0。第72页，共124页，2023年，2月20日，星期一（1）常见刚架类型常见的刚架类型有三种基本类型：悬臂、简支，三铰刚架。应熟练掌握其受力特点及相应的计算方法。第73页，共124页，2023年，2月20日，星期一a．简单刚架简支刚架：刚架与地基按简支梁的形式联接（与地基由二刚片规则组成）。 悬臂刚架：悬臂构件与地基固结。三铰刚架:两构件与地基由三个铰联接而成的刚架。（与地基由三刚片规则组成）。第74页，共124页，2023年，2月20日，星期一

b.组合刚架构件由刚结点与铰结点组合而成的刚架。其结构可分为基本部分与附属部分。第75页，共124页，2023年，2月20日，星期一（2）支座反力计算a.悬臂刚架____悬臂构件与地基固定联接，固定端的反力有：。由一矩式平衡方程可求： 由

由由第76页，共124页，2023年，2月20日，星期一b.简支刚架____刚架与地基按简支梁的形式联接。有A端反力，B端反力。由平衡方程可求：支反力第77页，共124页，2023年，2月20日，星期一c.三铰刚架，或整体刚架：取整体为分离体：求局部为分离体：（取荷载少的半跨求解简单）求也可利用C第78页，共124页，2023年，2月20日，星期一（3）计算杆端内力 求解杆端内力的基本方法是截面法：a.截取杆端截面，适当选取分离体（构件或节点）第79页，共124页，2023年，2月20日，星期一

b.正确的受力分析:已知力（荷载及已求出的力）按实际方向画；未知力按正方向假设。

c.选取适当的平衡方程，避免解联立方程，求解各杆端内力（弯矩，剪力，轴力）第80页，共124页，2023年，2月20日，星期一

小结：刚架支座反力求解后，外力均为已知。任取杆端截面切开，取左（或右）部分为分离体，均只有三个内力未知量，用平衡方程可完全求解。已知力：包括已知荷载、已求出的约束反力，及其它已求出的内力；未知力的计算结果为代数值，其符号的正负表示实际方向：正号与假设的方向相同，负号表示相反。可以极大的简化计算。一般取任意一杆件或结点校核。第81页，共124页，2023年，2月20日，星期一（4）画内力图（弯矩图，剪力图，轴力图）的要求：注明杆端及控制截面值；弯矩图画在受拉面；剪力图、轴力图注明正负；校核：整体及任取局部均应平衡。第82页，共124页，2023年，2月20日，星期一教材[例6－16]（P90）作如图所示三铰刚架的弯矩图、剪力图及轴力图。4m2m2m20kN/mABC第83页，共124页，2023年，2月20日，星期一（1）求支座反力：取整体

取ADC分离体，受力分析如图6－25（b）所示。取ADC分离体，解 例中Xa=Xb=10kN，计算错误，由此导致求解内力M、Q、N均错。应为Xa=Xb=5kN。第84页，共124页，2023年，2月20日，星期一

求未知反力是求解静定结构内力的第一步，解出后，应先简单校核，确保第一步正确，否则如书中例题，一错均错。立即可以校核第85页，共124页，2023年，2月20日，星期一（2）作弯矩图 取AD分离体，D截面有M，Q，N。对D截面中心取力矩平衡方程，其中只有一个未知力，可直接求出；取AD杆：A端为支座端，有支座反力：D端为刚结，有内力：。第86页，共124页，2023年，2月20日，星期一也可以考虑AD杆，点D处为刚结约束（如固定支座）：对D处的力矩：取结点D分离体，有三对内力。考虑D点力矩平衡：Q，N均通过D点，无力矩，所以，同为外侧受拉。第87页，共124页，2023年，2月20日，星期一刚结点处，弯矩大小相等，同外（内）侧受拉，是刚架及连续梁M图的一个显著特点，应特别注意，并可以利用其特点做M图（确定其值，或校核）。同理：取BE杆及结点B的分离体可以求得：（外侧受拉）结点C为铰结点：铰结点处杆端弯矩为零，也是刚架及连续梁弯矩图的一个显著特点。第88页，共124页，2023年，2月20日，星期一按叠加法作弯矩图：各杆杆端弯矩，即控制截面弯矩已求出，按叠加法，各杆端M值之间：首先，标出铰结点、刚结点处的弯矩值，且连以直线。有均布荷载的杆段CE处画虚线；第89页，共124页，2023年，2月20日，星期一其次，在CE杆段叠加均布荷载的弯矩，其形状为抛物线，如图（c）所示。4m2m2m20kN/mABC20kN/mABC105530第90页，共124页，2023年，2月20日，星期一20kN/mA105B530CDE第91页，共124页，2023年，2月20日，星期一（3）作剪力图取杆AD：杆端A的剪力即支座反力XA，因剪力定义的正方向为绕杆顺时针转为正，所以。第92页，共124页，2023年，2月20日，星期一取结点D：结点D，DC杆端QDC，NPC按正方向假设（未知）。建议：DA杆端，最好按实际方向画在结点D分离体，标绝对值（按正方向标示也可以，但代入方程应为负值）第93页，共124页，2023年，2月20日，星期一注意：结点的杆端与杆上杆端的内力为作用力与反作用力，大小相等，方向相反，但对于各自的杆端，其符号正负相同。这里没有画出内力M，因为所用的力的平衡方程求解Q，N，与M无关。截DC杆的杆端D截面，取杆DA＋D为分离体：杆上所有力应画全（杆端内力，荷载等），求解Q，与N无关，可以不画N。第94页，共124页，2023年，2月20日，星期一同理可求：取CE分离体求取铰结点C作剪力图：根据各杆杆端剪力值，连直线即得Q图。其特点是：杆上无荷载，为平行杆轴的直线，杆上有均布荷载q，为斜交杆轴的直线，杆上有集中力，集中力下为台阶状，其两侧仍为平行杆轴直线。第95页，共124页，2023年，2月20日，星期一作轴力图：各杆端的轴力：在求剪力Q时可以同时求出。直接连接直线即得，其特点均为平行杆轴的直线。以书中例题（例题错），P91，图6-25（c）。取杆DC或（CE），进行受力分析如教材图：对D点取力矩平衡，结果不满足平衡。第96页，共124页，2023年，2月20日，星期一2．作静定刚架内力图的基本方法：（1）整体（或加局部）平衡求支座反力，注意及时校核。（2）取构件分离体，求杆端截面的三个内力控制值。（3）叠加法作内力图：剪力图、轴力图为直线；弯矩图：杆上无荷载为直线，杆上有荷载则叠加简支梁相应的弯矩图。第97页，共124页，2023年，2月20日，星期一（4）注意利用刚结点弯矩图的特点，铰结点的弯矩为零。（5）校核应选取未用过的部分为隔离体（构件或结点），验证满足平衡条件。书中P91图6－25（C）取构件DC（或CE）的受力图校核。第98页，共124页，2023年，2月20日，星期一

工程力学（上）

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姚志刚第99页，共124页，2023年，2月20日，星期一（八）三铰拱的计算1．三铰拱的特点：竖向荷载作用下，支座处产生水平反力，这是与相应简支梁比较而言。几何组成与三铰刚架相同，只是其杆件为曲杆。2．拉杆式三铰拱与地为简支，产生的水平推力由拉杆提供，以避免对支座产生推力。第100页，共124页，2023年，2月20日，星期一3．三铰拱的计算，见P93图6－28（1）支座反力支座反力计算与三铰刚架相同第101页，共124页，2023年，2月20日，星期一与相同跨度相同荷载的简支梁相比：为简支梁上相应的反力与弯矩。水平反力H与矢高f成反比，矢高越低水平推力越大。第102页，共124页，2023年，2月20日，星期一（2）内力计算－－截面法取任意x位置用截面K假想截开，有内力M、Q、N，分离体受力分析如图；若N，Q按水平、竖向分解，则水平力与H平衡，竖内力与荷载与平衡，即相当于相应简支梁的；HKNQHK第103页，共124页，2023年，2月20日，星期一此二力向N，Q方向投影则得到式（6－8）、（6—9）。与二部分力平衡：一部分为竖向荷载及，相当于相应简支梁的；第二部分为推力产生的：－Hy，得公式（6—7）。第104页，共124页，2023年，2月20日，星期一(3)拱的合理轴线在竖向荷载作用下：三铰拱的合理轴线形式与相应简支梁的M图相同，只是乘以1/H（常数）第105页，共124页，2023年，2月20日，星期一例6－18，P97图6－31

试求图6－31（a）所示三铰拱在均布荷载作用下的合理轴线。在满跨均布荷载作用下，三铰拱的合理拱轴线是抛物线第106页，共124页，2023年，2月20日，星期一

（九）桁架的计算1．桁架特点：由直杆用铰链联接而成，在结点荷载作用下，各杆只有轴力。组成方式：简支桁架――由二元体生长方法可得；联合桁架――几个简单桁架，按二刚片法则组成。第107页，共124页，2023年，2月20日，星期一2．结点法取结点为分离体――平面汇交力系适于求解简单桁架的各杆内力。有二个独立的平衡方程，可求解二个未知力。第108页，共124页，2023年，2月20日，星期一求解方法：（1）求解支座反力，零杆判断；因几何组成的不同而不一定是必须的，零杆判定后，可以大大简化求解。（2）再选取只含二个未知力的结点。顺次取二个未知力的结点分离体可求解每个杆的内力。第109页，共124页，2023年，2月20日，星期一（3）结点分离体中，未知轴力设为拉力（正），结果为负时表示与所设方向相反。已知力一般按实际方向画，标注其数值的绝对值，则平衡方程建立时看图确定其正负。第110页，共124页，2023年，2月20日，星期一零杆的判断：

1．不共线二杆结点，无外力作用，则此二杆都是零杆。（图6－