应力状态理论

第8章应力状态与应变状态分析8.１应力状态的概念一、问题的提出F铸铁压缩FF低碳钢拉伸

钢筋混凝土梁的斜裂缝2.受力构件内应力的特征1.实例1）构件不同截面上的应力状况一般是不同的。2）构件同一截面上不同点处的应力一般是不相同的。3）构件内同一点处，在不同方位截面上的应力一般也是不相同的。因此，当提及应力时，必须指明“应力的点和面”

二、一点的应力状态通过受力构件内的一点，不同方位截面上的应力集合，称为该点处的应力状态（StateofStressataGivenPoint）。1.定义：3.应力状态的表示在于确定在哪个截面上该点处有最大正应力，在哪个截面上该点处有最大切应力，以及它们的数值，为处于复杂应力状态下杆件的强度计算提供依据。

2.研究危险点处应力状态的目的用单元体表示点的应力状态。围绕所研究的点，截取一单元体(如微小正六面体)，以单元体各面上的应力分量表示周围材料对其作用，这样的应力单元体，就表示该点处的应力状态。xyzs

xsz

s

ytxytxz4.应力单元体的特征1）单元体的尺寸无限小，每个面上的应力为均匀分布。2）单元体表示一点处的应力，故相互平行截面上的应力相同。3）同一点处的应力状态，若所取单元体的方位不同，则所表示的形态并不相同，如图所示均为轴向拉杆A点处的应力状态，但两单元体是等价的。三、主平面、主应力1.主平面(PrincipalPlane)

应力单元体中切应力为零的平面，称为主平面。2.主单元体(Principalbidy)由主平面构成的单元体。3.主应力主平面上的正应力。主应力的记号分别用表示，且规定按代数值排列。4.主方向：主平面的法向。5.应力状态的普遍情况在任意载荷的作用下，物体内一点处应力状态的普遍情况，最多可能有9个应力分量，即yxz由切应力互等定理，可知因比，普遍情况下一点处应力状态的独立应力分量是6个。在普通情况下，任一点处的应力状态，必定存在一个由三对相互垂直的主平面所组成的主应力单元体。但在三个主应力中有两个或三个主应力相等的特殊情况下，主平面及主方向便会多余三个。四、应力状态的分类单向应力状态——只有一个主应力不等于零的应力状态。二向应力状态——有两个主应力不等于零的应力状态。三向（空间）应力状态——三个主应力均不等于零的应力状态。

纯剪切应力状态——单元体的各个侧面只有切应力而无正应力的应力状态。

单向应力状态和二向应力状态均属于平面应力状态。三向应力状态属于空间应力状态。单向应力状态也称简单应力状态，而二向应力状态和三向应力状态称复杂应力状态。

零应力状态应力状态的叠加：其结果不一定属于原有应力状态。8.2平面应力状态分析的解析法sxtxysyxyzxysxtxysyO等价xysxtxysyO一、任意a斜截面上的应力sasytyxsxtaaxyOtnatxy符号规定sasytyxsxtaaxyOtnatxy正应力——以拉应力为正；切应力t——以使单元体绕单元体内任意一点有顺时针转动趋势者为正；方向角a——以逆时针为正。二、用解析法求任意a斜截面上的应力1.公式推导：2.任意a斜截面上的应力公式3.正应力极值——主应力3.正应力极值——主应力max的指向是介于仅由单元体切应力txy=tyx产生的主拉应力指向与单元体正应力x、y中代数值较大的一个正应力指向之间。xxyytxytyxmaxmin

主单元体4.切应力极值极值切应力作用面上的正应力：切应力的极值作用面与正应力的极值作用面互成的夹角5.平面应力状态分析的特征1）斜截面应力、主应力及最大切应力均是指xy平面内的应力，即其作用面均垂宜于xy平面。2)任意两相互垂直截面上的正应力之和为常量3）平面应力状态中，垂直于该平面的主应力为零。故单元体三个主应力的序号应根据max和min的正负号而定，即4）主平面上的切应力必等于零；最大切应力作用面上的正应力一般不等于零，且等于(x+y)/2。5）主平面与最大切应力作用面必互成450。6.用解析法求任意a斜截面上的应力示例例：分析受扭构件的破坏规律。MTC8.3平面应力状态分析的图解法xysxtxysyOsasytyxsxtaaxyOtnatxy1.应力圆（

StressCircle）对上述方程消去参数（2），得应力圆方程：此方程曲线为圆——应力圆（或莫尔圆，由德国工程师：OttoMohr引入）2.应力圆的画法(2)在坐标系内画出点A(x，xy)

和B(y，yx)

(3)AB与sa

轴的交点C便是圆心。(4)以C为圆心，以AC为半径画圆——应力圆；sxtxysyxyOnsataaOsataCA(sx,txy)B(sy,tyx)x2anD(sa,

ta)(1)建立应力坐标系，如下图所示，（注意选好比例尺）3.单元体与应力圆的对应关系sxtxysyxyOnsataa

单元体应力圆单元体某平面上的应力分量单元体两平面间的夹角a单元体的主应力值单元体的最大切应力值应力圆某定点的坐标应力圆两对应点所夹的中心角2a应力圆与sa轴交点的坐标应力圆的半径OsataCA(sx,txy)B(sy,tyx)x2anD(sa,

ta)2a04.在应力圆上标出极值应力OCsataA(sx,txy)B(sy,tyx)x2a12a0s1s2s38.4空间应力状态简介1、空间应力状态s2s1xyzs32、三向应力分析图a图btmaxs2s1xyzs3(1)弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。(2)整个单元体内的最大切应力为：8.5广义胡克定律体应变1.单拉下的应力--应变关系2.纯剪切的应力--应变关系xyzsxxyz

x

y一、广义胡克定律3.复杂荣状态下的棵应力-谣--应捧变关系依叠加擦原理,霉及根据折连续均右匀各向炮同性线题弹性材占料，正蜻应力仅挡引起线质应变，麻切应力愉仅引起公相应平芒面的切袭应变，么得:

xyzszsytxysx广义胡克逮定律4.主应畜力--外-主应跳变关系s1s3s2主应力与候主应变方向一致5.平顺面状态陈下的应兴力--药-应变王关系:二、材料垃弹性常数旺E、G芹、贿间的关系对于各妄向同性产材料，雪独立的术弹性常逼数为龄2个三、体置积应变枕与应力阵分量间侄的关系对于各洲向同性响材料，维线应变缝仅由正通应力引叉起，又拾由于切背应变不阿引起体贸积改变姜。因此洋，在线必弹性、竹微小应塑变情况嚷下，空异间应力改状态单富元体的很体积应梯变为：体应变又零称体积应晓变，是指亮在应力状促态下单元饲体单位体医积的体积义改变。s1s3s2dxdydz1.主惊单元体雅：2.纯剪久切平面应离力状态txyCtyx可见，切应力的椒存在并不援影响该点业处的体应斑变。3.一般取单元体

szsytxysx小变形时圆连续均质孕各向同性泉线弹性体灯内，一点迅处的体应犬变，只与肆过该点沿勤三个相互秤垂直的坐围标轴方向豪正应力的挎代数和成赢正比，而升与坐标方所位和切应兰力无关。结论：例已知一悉受力构殊件自由棚表面上誓某一点安处的两填个面内避主应变尸分别为比：1=240霉10-6，2=–租160狭10-6，弹性跨模量E=210肤GPa，经泊松比为n=0.俘3，被试求该照点处的服主应力后及另一界主应变。例图a所示为承程受内压的拖薄壁容器袄。为测量阻容器所承页受的内压祝力值，在经容器表面困用电阻应偏变片测得灵环向应变倍，熊若已知容剧器平均直粮径D=50馋0m饮m，壁厚=10尚mm，容器羞材料的E=21陪0GP屯a，n=0.艰25，试求:键1.导出各容器横截耕面和纵截钉面上的正缝应力表达茂式；2.挺计算容器肤所受的内即压力。pppxs1smlDxABy8.6侦复杂应糟力状态的谎应变能密裕度一、应变收能和应变能密蛋度1.应剑变能弹性体永由于外多力在外镜力作用婆方向的屋位移上扁作功而殖积蓄在慈弹性体中的顿能量。2.应变能迷密度弹性体落单位体甩积内积郊蓄的应先变能。s微元功元比能(1)单劫向应力状欠态下的应纱变能密度(2)三裹向应力状饭态下的应变能浮密度23

1等于所示栗阴影部分黑面积二、体积改店变能密稻度和畸变能密级度23

1图am图bmm图c3-m

1-m2-m1.体积改沸变能密司度：图b示单前元体受平访均应力作仔用，其体改积应变就展是该点处搁的体积应变粉，即与图于所示单元夫的体应变败相同；且飘由于三个鉴主应力相保等，变形阶后形状与侄原来形状漆相似，只棕有体积的词改变而无委形状的改腾变，故全抖部体应变相为体积改歉变能密悠度。1.体积改变芳能密度2.畸杂变能密袋度：图c所示吓单元体体域积应变为凳零，其应迟变就是该激点处的畸假变能密度雷:例：用能量敲法证明星三个弹夏性常数倡间的关伞系。1）纯剪单元框体的应变能君密度为：2）纯剪单元蔬体应变能密慌度的主应益力表示乔为：txyA138.7屡梁凳的主应转力及主组应力迹避线的概组念12345F1F2q一、梁丘内各点杜的主应幅力可见：昏梁内任枪一点的许两个非庸零主应撤力中，槽一个为景拉应力冰，另一倍个为压祥应力，愈且互相币垂直。岂主应力免的方向姑沿梁高笋连续变衡化。梁内各臂点的主阅应力21s1s3s33s1s34s1s1s35a0–45煤°a0stA1A2D2D1COsA2D2D1CA1Ot2a0stD2D1CD1O2a0=–字90°sD2A1Ot2a0CD1A2stA2D2D1CA1O