平面的点法式方程

平面的点法式方程第1页，共16页，2023年，2月20日，星期一①一、平面的点法式方程设一平面通过已知点且垂直于非零向称①式为平面的点法式方程,求该平面的方程.法向量.量则有故机动目录上页下页返回结束第2页，共16页，2023年，2月20日，星期一例1.求过三点即解:

取该平面

的法向量为的平面

的方程.利用点法式得平面的方程机动目录上页下页返回结束第3页，共16页，2023年，2月20日，星期一此平面的三点式方程也可写成一般情况:过三点的平面方程为说明:机动目录上页下页返回结束第4页，共16页，2023年，2月20日，星期一特别,当平面与三坐标轴的交点分别为此式称为平面的截距式方程.时,平面方程为分析:利用三点式按第一行展开得即机动目录上页下页返回结束第5页，共16页，2023年，2月20日，星期一二、平面的一般方程设有三元一次方程以上两式相减,得平面的点法式方程此方程称为平面的一般任取一组满足上述方程的数则显然方程②与此点法式方程等价,

②的平面,因此方程②的图形是法向量为方程.机动目录上页下页返回结束第6页，共16页，2023年，2月20日，星期一特殊情形•当

D=0时,Ax+By+Cz=0表示

通过原点的平面;•当

A=0时,By+Cz+D=0的法向量平面平行于x轴;•

Ax+Cz+D=0表示•

Ax+By+D=0表示•Cz+D=0表示•Ax+D=0表示•

By+D=0表示平行于

y

轴的平面;平行于

z

轴的平面;平行于xoy面的平面;平行于yoz面的平面；平行于zox面的平面.机动目录上页下页返回结束第7页，共16页，2023年，2月20日，星期一例2.

求通过x轴和点(4,–3,–1)的平面方程.例3.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程.解:因平面通过

x轴,设所求平面方程为代入已知点得化简,得所求平面方程(P327例4,自己练习)机动目录上页下页返回结束第8页，共16页，2023年，2月20日，星期一三、两平面的夹角设平面∏1的法向量为

平面∏2的法向量为则两平面夹角

的余弦为即两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.机动目录上页下页返回结束第9页，共16页，2023年，2月20日，星期一特别有下列结论：机动目录上页下页返回结束第10页，共16页，2023年，2月20日，星期一例4.求两平面解:应用公式有机动目录上页下页返回结束的夹角.因此第11页，共16页，2023年，2月20日，星期一因此有例5.

一平面通过两点垂直于平面∏:x+y+z=0,

求其方程.解:

设所求平面的法向量为即的法向量约去C,得即和则所求平面故方程为且机动目录上页下页返回结束第12页，共16页，2023年，2月20日，星期一外一点,求例6.

设解:设平面法向量为在平面上取一点是平面到平面的距离d.,则P0

到平面的距离为(点到平面的距离公式)机动目录上页下页返回结束第13页，共16页，2023年，2月20日，星期一例7.解:

设球心为求内切于平面

x+y+z=1

与三个坐标面所构成则它位于第一卦限,且因此所求球面方程为四面体的球面方程.从而机动目录上页下页返回结束第14页，共16页，2023年，2月20日，星期一内容小结1.平面基本方程:一般式点法式截距式三点式机动目录上页下页返回结束第15页，共16页，