一流体力学习题及测试题答案

课后习题答案测试题（一共3套随堂作压缩均质流体定常运动（热过程）方程组在二维直角坐标系中的形 粘性流 系

uv duFPxxPxy dvFPxyPyy运动方程： PP2u1uv 3 y PP

v1uv 3 yP P 本构方程

7.Euler1）2）定常运动1)0,(t

d

，也就 v0，均质0；于是对于不 压均质流体0，t0，也就是const

0，(xyz11．设流体运动以Euler观点给出uaxt2,vbyt2,w0, (ab0)，将此转换到Lagrange观点中去，并用分别求加速度dxaxt x1(a2t22at2)C 解：dybyt2，积分得 y1(b2t22bt2)C dz

zt0时质点位于位置(x,y,z)，则得到：x2C y2C zC， x1(a2t22at2)(x2 1 2

(b z

2bt2)( 2 22 2 22 Lagrange观点：axt2ax0a3ae ayt2by0b3beaz0 Eulerauuuvu2ta(axt2);avuvvv2tb(byt2) az二流线与迹线，加速度

u

,v

,w

c是常数,试画出流线族

dy dx u ,v

流线的微分方程为 v, x2 x2y2代入得x2 x2y2,积分得lnxlnyC,yCxzB，其中B、C解

ux2y2v2xyx1,y1的一条流线dx 流线的微分方程为 v,将ux2y2,v2xy代入,得x2 2xy,积分得y33x2yC,C为积分常数。将x1,y1代入,C2y33x2y201(11)设uxtvyt,0,求通过x1,y1t0时通过x1,y1的迹线解dxx

y(xtytC，流线通过（－1，－1）点，即有C1t2xyytxt1 x yt， xc1ett1,2ycett2zc1 c2 c3xtt＝0yt1z

xy2z|v|考虑空间点源运动，设流体由点源O辐射流出，有设速度大小 4r2，其中解：（1）0，即Vr|v|V0,V0，且rdrrdrsindvr0|v

0

rsin0容易求得过空间(r0,0,0)任一点的流线 ,即从点源辐射出去的直线.另 4r rr(t,rrd

,容易求得 ,r0,0,0为tt0时刻质点的空间位置,显然质 rsind f(x,y,z)线方程不依赖时间，可表示为g(x,yz)g )u(r,

dyv(r,t) dzw(r,t) u(r, u(r, u

F(r),G(r，因此uvwuuU(r)TvV(r)TwW(r)T V Wf(x,y,z)

U U

，积分得过空间任一点(x0y0z0的流线0g(x,y,z)0 ：dxdy dt，即dx

T(t)dtu(r,

f(x,y,z)时间积分就可以求出过空间任一点(x0y0z0的迹线方程g(x,yz)g 流体质点轨迹也是s1t2时刻（t2t1）该流体质点移动到r2，因s1是该流体质合，因此s2也是过r1处的流线，即在r1处t2时刻的流线与t1时刻的流线相同。所以如果流三运动类型的判别1（3）ucyvcxw0;对流场进行分析，是有旋运动，还是无旋运动，求出它们的流线形状,其中c是常数。rotVwv0(cx) rotVuw(cy)0 rotVvu(cx)(cy) rot0dx dx x2y2 v,将ucy,vcx代入得cy cx，积分得2 C所以试证明，如果流管中存在与流线垂直的横截面，则在该横截面上必然存在vrotvv证：在流管的截面上由于流线与截面垂直，故过其上任一点有面积微元dsnds dsvdsdr0vdrv该面积微元的周线为l，由于ndsvdr0，故nvl

速度场给定如下x2yx2y2 r3rvcr0，其中θ0为球坐标中θ方向的单位矢量。求通过以原点为中心，半径为R的球S的流体体积流量。r中n

rQ(r)

vds2vnr2sindd2d

vrrsin

（1）Q(r0dr3rrsind4，故求得Q(R （2）因θ0与rQ(r0drθ0rrsind0，故Q(R22

vr2(rdr)v(rdr)4(r

(r)v(r)4rt4rdr

tr

v

vr20dvr20 d

vr2

试证下述不可压缩流体的运动是可能存在的(1)u2x2y,v2y2z,w4(xy)z解uuu

4x4y4(xy)

(2x2 (2y2 (4(xy)z 求下列速度场成为不可压缩流体可能流动的条件(1)ua1xb1yc1z,va2xb2yc2z,ua3xb3yc3uuuabc (A)(Au) 式中u是速度，ds是流动方向的微元弧长。证明：在流管上选取长为 的一段作为研究对象，则其质量的随体导数满d(As) 利用p135(A)su(A)sAus (A)(Au) 已知粘性流体在圆管中作层流流动时的速度分布

uc(r2r2

0管半径,求:(1)单位长度圆管对流体的阻力;(2)rr0/2处沿圆管每单位长流体的内摩0dud(c(r2r2)) 2

rr,

F2r4cr

0F2r0cr（2）在管内rr0/2处 0一长为l,宽为b的平板,的流体中,流体以速度u0沿平板平行流过。假定流体质点在平板两面上任何一点的速度分布情况如图所示。求：（1）平板上的总阻力；（2）yh/2处的流体内摩擦力；（3）y3h2处的流体内摩擦力；F2IA2blh

IF uyu,v0,w dy， h duyh/2处的流体内摩擦 y3h2dy=0025．两个无限大的平行平板间，充满着不可压缩的绝热粘性流体(，下板静止，上板以速度u0沿水平方向移动，求流场中每单位体积的内能增加。2ss2s2ij

0 0

S

u故有

12

0 dU

u ,vR r

r2，r计 V ，并证明其等于L（忽略热传导，其中L为作用在圆柱体上的力矩。(1)u（V0

y,vR2r2

xw0r

p

skk

)2ss

ij y2 r r 0 Ry2

0 4R4 2 ，于是 r 0 dUd d4R42h12rdr4R22h R（2）流体作用在柱面上的切应力：P(vv ru2其中v R2，（逆时针转动u2r

R2r

(0,顺时针转动代入表达式得：2流体作用在柱体上的面力矩LR2Rh4R2h,方向与相反。内柱对流体做功功率L4R22h。y y 的物体以常速度沿水平方向运动，若v表示边界上的速度分量，证明：u

k2y1：在静止参考系oxy中，由法向速度连续条件v固nv流n Unuivjn k k2Uxuxvy，即uU 2

F

2y,1

F

0 其中V代表边界上流体的速度，Vuivjxiyj求下列流场的涡量场及涡线：（1）OxOx平行，即ucy2x2vw0,cv 给定流 xyzr,rxiyjzk如果流体绕固定轴象刚体一样作旋转运动。

j

ydyzdz，i.e.,y2z2const y2 y2Vijkx2xy2

xz2y2 yx2z2 zy2x2 在柱坐标系下，Vre，所以涡量为V7速度场为uy2zvz2xwx2求涡量及涡线xyz1dS0.0001m2的涡管强度z0dS0.0001m2上的涡通量 yzx2

ijdxdy

积分得xyyzc Fxyz1 n F3,3,3 J

3,3 3

3S 3又已知得平面的法向为0, 16．证明在理想不可压缩流体的平面运动中，若质量力有势，则沿轨迹有定常运动中，沿流线涡量保持常植。解：法，根据亥

d ，而且在 p 2 VVF V

V3

3因为流体不可压缩则有V V3又因为流体为流体无粘则有V2质量力有势可得F0p 又流体正压 2p 由于是平面运动，即k，且

0，则又可得Vz

在xoy平面上任取流管。在流管中取面积为A1的微元涡管（注意涡管指向铅直方向，涡管面积为A2，根据涡管保持定理，涡管强度不变有1A12A21A12A2。12在一封闭圆柱内，不可压均质流体在外力作用下从静止开始做绕柱 轴）的旋转动，若外力试写出运动方程，并证明：d1 ，,, 为常数。为旋转角速度p12r21x2xyy2 压力满足 其中r是到z轴的距离根据转动定律，流体所受合外力矩I 222 RR

xiyjxyixyjRR 2 =R Ry2 R4I1R42

12 a ax2 ax2ax2ax2

a Fx、Fy为单位质量流体质点所受外力的两个分力，由动量方程可得 dFiFj r2 r 1 2 xxyx y21pxyy21x 1dp1pdx1pdy1dx2y2xy12dx2y2 第六章积分和动量定设空气在一收缩管道中流过，管道收缩处有一毛细管与下方一容器中的水相接，水面与收缩处的距离为h,收缩管截面12处的断面积为S1和S2。如果把空气看为理想的，不可压缩的，它的运动时定常的且只有重力作用。试问空气在处的流速多大时管道能将容器中的水吸到管道中来？ S22V12+PV+22 22 由连续性方程 方程得

P0P2

水

S S2S 2P 。0为大气压18.求理想不可压重力作用下的流体，在开口曲管中的振动规律.假定管为等截面的，管中流柱长为l,围曲管于水平线间的夹角，运动的初始条件是由平衡位置开始振动. t P2P1Pa,v2v1,z2z1xsinsingsinsinlxlgsingsinsinl振动周期为T ，22截面积A290°弯管和一截面积A1的喷管相连。设水以流量Q从喷管射向压力为PaFx和Fy。设流体是理想不可压缩的，重力可以忽略，流 V + 22由连续性方程喝方程得FPaAv2在x方向上 1FPAv2

y方向上Q2

2 2Fx A

2 2Fy 2A1解 A125.宽为b的二维理想不可压缩流体喷柱，正击于一静止的平板后，向两边分流.设来流v，密度为.如果不考虑重力影响，试求平板所受的冲击力.解：取一正方形计算动量通量，x方向动量通量为0，合面力为0vvbypapndsP板V2b28.设流体是理想不可压缩的，流动是定常的.流体高度为h，流速为 ，在重力作用下流 （如图） 下游流体深为l.要固 ， 单位宽度上所需的力 ，gh和l表示解：我们取沿表面一圈为控制体CS，通过CS的动量通量=合面力+合体力我们只考虑水平方向的动量通量：设来流速度为v1，出口速度为v2则v1h

p1dy0p2dypaDlp1paghyp2paglyRPahnn akrr

kn1,

ar

kn1

1kn1k是一种可能的速度分布。求流函数 ，并证明任何一点流速的大小 证明：若V0V1rVr akn1rnekn1arn1kn1

n1kVr

,V

，带入Vr,V，则 n分析讨论题比较小孔出流反推力与火箭发动机反推力计算的相同点和不同点.根据火箭发动机推动力计算,提出增大推动力的有效方法。根据圆管突然扩大的能量损失计算，提出减小流体输送能量损失的合理管路设计原则第七章理想不可压缩流体无旋运动

w(z)(1i)ln(z21)(23i)ln(z24)zx2y2动组成的?x2y29w(z)(1i)ln(z21)(23i)ln(z24)z

36的速度环及通过该圆周的流体体积ln(zi)ln(zi)2ln(z2i)2ln(ziln(zi)iln(zi)3iln(z2i)3iln(z2i)z（0,1（0,-1（0,2（0,-在复平面中位于（0,10,-1）逆时针流动的点涡（0,2（0,-2b2(1133)x2y29Q2a2(1122)x2y2

0，所欲0,Qw(z)mln(z1 z试分析它们是由哪些基本流动组成的?求流线和单位时12zi和z12通

两点连线的流体体积。w(z)mln(z1)

z2mln( )

mln （0,1（0,-（0,1（0,-w(z)mln(z1)z

mln

yi x

mln

yixyi

x2y2 x2y2

yx2y21imln x2 x2y2mln x2 x2 x2y21 x2y21mmarctg x2 x2 x2y21 x2y21x2 x2

即yx2y21Cxx2y212 12 Q体积， 2时 2m点汇组成卵形体的绕流，求驻点及卵形体方程由题知zvzmlnzamlnzVdV ，当V0时为驻点。，则驻 z zzzvzmlnzamlnzazxiy带入ImVym x2y2Vmarctan 0 x2y2

32.设一圆柱半径为a，在距圆柱中心为f强度为2Q的点源；强度为2m的偶极子强度为2的点涡

处分别放置分别计算以上各种情况下圆柱所受的合力，设流体密度为 a2 解：（1）(zQlnzfQlnzfQlnzflnzflnzc d2dz 1 R2cdz （2（3）

zff2a24a2m2 结果为（2）R

f2

2ff

a2题证明(n)nrotnn,nn[grad(anrot(andiva，其中an用两种方法证明(ab(a)barotb+rotabadivb w1 2

p

u(Pv)v(Pu)2w(uv)u及v张量P a(Pa)答rotnnn(n)

(n)

n)

)n1(nn)(n2nnn1，故(nn)0，于是rotnn(n)nrotnn写成rotnnnn

(nqnk]jpq ] 直接写rotnnnn)(nn)n)n尽管也能给出证明，但由第二步(用混合 (二)张量表示法证明：rotnn nnn nnn( )nnijkjmn jikjmn im kmin 1(nknk)(n)n(n kni grad(an)(an)n(a)(n)arot(an)(an)(n)an(a)n[grad(an)rot(an)]n[n(a)n(a)](nn)aa(二)张量表pn[grad(an)rot(an)]n(ajnj) (an)p

ai

ij ijkkpqq j a ninjx(ipjqiqjp)nqxninjxnjx QnnajQdivii

)n Qn(n n

nn i j ij ji i,其 (进 (a)b(aC)b(a)(aC)baC(b)(aCb)a(b)[aC(b)(aCadivbarotb(a

(a)bCbC(a)brotarota(二)张量表j(a)b (akbn)]( )(akbabnjj j

nj nk

kxak

aibkjxkj

bkakx ix(a)barotb+rotabadivbabi

bn]

aa

nj ijk kmn jmn i

a j

im

jm

)a j

im

in

) n

a i abij

bjj

j

ak

ai

ai a

ak

ai

ai ji

ixkkkk2PS s1pp,a1pp w1 2 ji，定义w u(Pv)v(Pu)uipijvjvipijujpij(uivjviuj)

。2wuv)ijkpjkimnumvn(jmknkmjnpjkumvnpjk(ujvkukvj 1 p 1 p a

31

wA

1pp

1pp w2 a23

w 01 33 1pp1 p

aa aaa(Pa)apaaapi,j互 pijp aaa aaiij ij j ij因此aPa)0充分性：由aPa)0可知，对任意矢量apijaiaj现在，令a1,00p110a0,1,0a0,01)p220p330。再分别令a11,0、a011)、a1,01)并利用p11p22p330p12p210p23p320p31p130题

pji，这说明P 习题二流体运动描述流体质点绕oz轴以等角速度一维收缩管内的不可压缩流动，其速度分布为：VV1(1xLuXt2vYt2w0。试求流场的流线，流体质点的轨迹和加速度，ukyvk(xtw0，其中k和均为常数。试求：t=0时经uABtvC二维流场uavkytu x2y

，v 2y

，w

vsinuvcosuuvrcosvvvrsinv已知流体运动的速度大小和流线的方程分别为V x2y2constantuxvy，试求流线方程和通过点（2，3）速度场为Vayibjm/sec，yau，v，wxyuv0010015tuv01/u、vm/sec，tsec，x、ymx=y=0点上分别沿x和y方向的平均加速度分量。答 vr

r r,0,

z拉朗日表述下，建立极坐标系，初始时刻（流线为绕ozoz

0）则 r r dvd(dr(r r 变量下 V (V(1))V 1(1)

LVV(1x)dxV(1x

aV12eL 积分得xL(eL1)对x二次求导 Ldv

v

v 不一定， ，定常即 ，但dt不一定为0dx Yt2对方程积分（t为常数，得LnxLnyc

Xt

x

Xt3

Yt

y

a

tvv2Xti2YtiuXtvYt z

a2Xti2Ytjdx流线

k(xt)，t为常数。积分得(xt)2y2ct=0时流线经过（abc）ca2b2 dx xcektcektdy

yc

2

c e k(x c e xabektabekt a

a

y

dyC

A

yCC

dxA

xAtBt2 轨迹满足

dyC

yCt

dxdyxLny流线： 0dx

yye

v vz vz极坐标下 dvvvvvvvk加速度： r r z r3xuvcosv xr

u

sinv由坐标变换yr

cx由题得，速度的方向矢量为（1，2 dxdyLnxLny （2，3，则

dvvv

v 所以起点处a2.51435，终点处a2.51537.5。drvr(r,dr

v，轨迹

v(r,,

v

(r,,z,trd (r,,z,t

v

(r,,z,t ，轨迹 drv(r,,,

v(r,,,

rsin

rsin

v(r,,, ，轨迹 v4ij0.25u2,v5,u6,v5,u20,v a 20i(20i10j)v50j习题三质量连续性方程题xaRekbsin(kaybRekbcos(ka其中R,k,为常数，a，b 面上速度相同，即v=v(x)，试求连续方程。h=h(x)（即渠底不平，由于外部扰动，使自由表面产生了一波hhxx,t，其中xt为波剖面。设流 ()() () 式中为流体质点绕ozvk rcos

(cos)(w'cos)此处和 分别为纬度和经度，和分别为质点位置经度和纬度的变化率 ，已知0(vtx)，求质点的速度分布，设原点处质点的速度为v0。说明uxvyxu=x，那么，其y分量v的函数形式是什么形式？答d 不可压即 ，定常即 v 则vu2axb cc则

v

y0,v xuRekbcos(ka

u6(b

v

v

sin(ka

v6(a日变量下，初始t0时刻选定流体微元的位置为x0,选 日变数为s，则 (s,t) (s,t) 0 xvdv变量下，连续方：选取b(x)，水深h(x,t).取长为xdbhx0d(bh)xbhd(x) bh xbhvx dvd

d(bh)bhv0d(bh)bhv0

vbhbhv0 选取长为sd(s)0d()s(ds) ()v()vs ()(v)

vr2r(rdr)v(rdr)4(rdr)(r)v(r)4

t4rdr

v

vr2 dvr2 ，即 若流体不可压缩，dt

，

选取柱坐标系，则由题意知v0(rvr)(v)(vz)0(rvr)(vz)则 选取柱坐标系，则由题意知vr0,vz0(rvr)(v)(vz)0(v)则 又v()所以 选取柱坐标系，则由题意知vr0(rvr)(v)(vz)0(v)(vz)则 (rv

k v0 r

0 ) vkcos r 速度大小 r

kcoscr2,'选取球坐标系（r,',z， (v)0

(sin'v '(v) rsin rsinvr0

v

r,

rsin'',' cos(cos

('cos v0(r2vr)(sinv)(v) r r r

(r2vr)(v r r 0'(vtx)vu'(vtx)(vt v '(vtue(vtx)v(vtuvcvve'(vt又x=0时 由题意v20，所以为可压缩流动。v0vyc。习题 题ukyv0,w0，试求流体微团的膨胀速度，和转t0时刻组成小球222R2dt时间后必然构成椭球x-yx-zy-z三个坐标面上的正方形对角线的相对伸长速度。

uax2vkx b)vky c)vky d)vaybsinux2y2xv2xyy，证明其代表一不可压流场，并且是无OZucyvcwc流体质点的速度与质点到OX轴的距离成正比，并且与OX轴平行xy x2y2dss 答

kv 2 2 3因为运动无旋，所以只有变形张量 假设某流体质点t0时刻相对于球心坐标为（,,）t时刻其坐标为（',','）,(32)dt 22(3

1)dt (',',' 2 (',','(21)dt (',','

2 2 匀变形运动，即变形张量

3是常矩阵，不随空间位置变化，假设t时刻其坐标为（xyzx(x

y2z)dt 2

(3xy

1z)dtyy x(x',y',z'

y(x',y',z'(2x1yz)dtzz

3 2 0

M'(x3ydt,y3， '(3ydt)2(3xdt) '

OMOM 3(ydt)(ydt)2。 n krer，则： kr n n则 v(krezrer)kr nvvuv0，不可压 ，无旋；速度势kxyvvu k(x2y2v2k，可压 ，无旋，速度 vvu k(x2y2v0，不可压 ，无旋；速度 vvuv2ax3bx2abcosy0ax3bx4ay2

bcos。vuv2x1(2x1) vvu2y(2y) yx3x2y2y

vrv2ky2z2y2z2v

v j k

y2z2。 x2y2cvyixja xi

，则流线为 y2 2 v i(x2y2

(x2y2)2j(2yy'2xx')(x2y2)22(x2y2)(x2y2)(2yy'2xx)(x2y2 (2xy'2yx')(x2y2)24xy(x2y2)(2yy'2xx)(x2y2 流体不可压缩并且流动空间单连通，取体积微元， v v 习题五量纲分析和相似理论题 降为p。管中的平均流速U，管的半径a有关。试由量纲分析原理推出管中体积流量Q如何随Uap和l变化。2．.积流量Q与那些量有什么无量纲关系。又若已知来流速度为VHh与什么无量HHh在很低雷诺数下,Stokes方程组:V0,p2V, Lf(, V物 LL上V0，在无穷远 (沿x轴方向)。试用量纲分析论证280：1，设真实stormwave1.524m9.144m/s，那么模型答

Q1 先确定Uapl的关系。设Uf(apl[U][a][][p/将[p/l]ML2T2，[aL[ULT1，[ML1T11100基本量纲可得 ，解Q1a2U

2,1,

Ua2 2

Qf1(a,,p,l为基本物理量，将Q、a3[Q][][p]由于[QL3T1，[pML1T2，[[p]TML1T12

，解得

，

.即[Q[]1[p][l]3因此Q/(l3p/)构成一个无量纲量。显然al是另外一个无量纲量，于是 fl3p/

2(l)现在，本题前半部分条件p/l与lQa4(p/ l4 a

4p/ )(a

2(l

a( ) f

(lQ不应与l(关。现在已知p/l与l无关，则必有3l)C(常数)，QC(p解：按题意，QVH，且Qp0无关（ppp0p0将不在问题中出现；p0只影响静压分布。设Qf1(H,hgg是重力加速度。取h为基本量，由定理，无量纲流量Q是5－3＝2个无量纲量的函数。列出[QL2T1；[HL；[ML3；[ML1T1；[gLT2。不难知道Q的无量纲量是Q/(/gg/((h)2h，因此 f(,/ 其中1H/h2g/((h)2h)Qf(H,Re22 V V VRe Fr其 gh分别是雷诺数 由于QVH，由(*)HH H f ) f(Re, Re2 H当然，已知V时，(**)也可以通过设此处从略

f

,,,g

用量纲分析法得到. f(H, ) Fr 1 H f(H Fr)Hf Fr 1 解：从Stokes方程组和边界条件可知，绕流物体的速度场V(x,y,z)只与物体形状、和V有关，由此可知阻力FF(L,V。由量纲分析，总物理量个数n4 立物理量(基本物理量)个数r3。其中L,VVL，FCVL，其中C是只与物体形状有关的常数。因此，在很低的雷诺数下，物体L1Re

U

L1 1研究摩阻时，相似准则为e数 V

1EP12St V

V 一：P232方程

，不计重力F F

U

U2

280m/重力波，要求r相等 wVw g

1 t z 特征量周期 T H；波速c，ww/c及ppcH V

wgH 无量纲化方程：cT c StH

c

O(特征惯性力特征重力。题22xtan2tycot2t22a 如果将C端开放，试证明在开启的瞬间，垂直管 中的压强减少一半（AB=BC已知流体静止时液面的高度为h，圆柱半径为a，不计大气压强，试求：

4-设某流动的速度势在柱坐标系下可以表示为kr为无穷远处，水面高为h，试求自由表面的方程式。AB4-

截面均匀的垂直细管在下端分为水平的两个小管BC和CD，其截面积并使液体在垂直管中的高度为a。当两x和yXxyYxyd1( p12x2y21x22()xyy2 已知角速度仅为时间t的函数，且，，，在流体内部突然形成了一个半径为a的球形空穴，假定流体为不可压缩并且充满整个)Boyle定律pk)2t

x

[(v

k)v为速度，x试 观点出发，对于小微元推导平面辐射流动[VRVRR方向)的运动方程(应力形式)

VVz0]在直角坐标系(x,y,z)下，均质不可压缩流体定常运动的速度为uay,v0，w0(a是常数)，流体内能U和温度T只是y的函数。设流体粘度等于常数，热传导系数kk(T)，质量力只考虑重力g(沿z方向)，无其它热源(q0)。试从 流体（粘度为常数t0时刻此平板突然以常速度U沿板面某一方向滑移。假设半空间答f(x,y,t)x2tan2ty

ta

fVf

a2

y+b2

VwnVn

Vf

f(x,y,t)(xu0t)2/a2y2/b2(uu0)(xu0t)2vy故 a V2p （R=（t 效应

4R2R/4r2VV

r

R2Rrp1(R2R/)2R2R//2RR/

r2 r时，p0c(t)0（略大气压。R(RR//2R/2 p 当r较大时，略r4 22

dl0v0p

drv

pr v

r p

2r

drv r2带入得p(c2(t)c'(t))c'(t)2r d2vdl

0

g(H)1 2HvgHdv1 v(HZ)pg(HZ)0p1g(HZ

0p

g(HX。

vgH 0vHgH

0vH同理，对水平段在水平方向有 02Hv v1

p

dp1g dp1g H1，H2，H1H22Hdvg1pp(dvg)(zH竖直段 1dv1p/p/ dt(H2水平段：pp/2HdvgH

d2 11

1 H1VdH1 1

dt

H gdvg 1H1 v

rvr0vz0v2v

kr3F r1p r 1

dp(k2drr

kg

p

2r

gz k2gz

zhk2r时zh，则有cp 2r t时刻液柱在OOx0x，设截面积为一个单位。另取固定在液柱上的坐标系，在此坐标系下液柱内任意质点坐标为x，设F=-kx。Xld2xlkx0xA

x0lkxdxx0 0d

ktd2xdt

k(xx)

xxd2其 dt2是t的函数，与x无关。积分得 d2x x

dt2d2x 2)C1

2 dt2

2k xl

p0C1k

p1k(l2 d2x 1kx

Akcos(kt0)（取0pAkx

kt1kx2积分得： pAk(xx)coskt

k(x0x)22

ktx2)xl,p0C（t）1k(l2A22

kt)p1k(l2 VagzVdz,VVd2zgz za ga设z方向长为一个单位。R2yRR2yR2y

R

(xiyj)(xy)i(x

j

(

(2y2)32

R2

2 ()R4I (I1R42

1()xxax2 ax2

8a arcsin8a

ax2ax28

a

c

88c

XiYj r2 1Pxyx21r 1Pxyy21r 1dp1pdx1pdy1dx2y2xy12dx2 p1x2y21x2y2 12．tR（t）表面收缩速度vR(tR(t。 R2t4r2vr,t4RtRtvr,t r在1Bernoulli1V

dl

2,

R2RRdR p R R

R

lnR

dR dR，积分得： clna3由t=0时，Ra,R0， 33a32 3R

5 tdt 6 13dV dV1

pVV

V

t

t 22V

VVVVVVpx t x x 2 V2p2 V x

x

解：取一柱形微元体ABCD-ABCD 控制体，其体积为RdRddz。点处速度为VReR，密度为FpRppz流经径向控制面AABB和与之相对的DDCC面元的动量迁移而产生。在AABB面上

VRVReRRdCCB VV

Rddz(VRVReRRddz) R (V2Re RddzR(V2Re (VeR RddzdR ddz (6-15-FRRdRd (6-15-pRRd作用在与之相对的DDCC面元上的面力pRddz(pRRd 因此作用在AABB和DDCC面元上的面力 RddzpRddz(pRRddz)(pRR)d pRpR.同理，作用在ADDABCCBpdR作用在ABCD和ABCD上的面力合力pzRd(pRR)ddzpdRdzpzRddz[(pRR)pRpz]ddR [(pRR)pRpz]ddR [(eRpRR)(eRp)eRp

)]ddR [(pRRR)pRR(pzR)p]ddR (6-15-式亦可这样得到：直接计算作用在微元体各个面上的表面力的R

p PPpp PPp pzR]dzRdRd[(pRRR)pRRpzR]dRd

pR方向的合力，用几何方法不难算出此合力为pdRdz(p高阶小量 (V 1( 1 FR R zR R (6-15-注意到单位时间内流入、流出面元AABB和DDCC的流体质量应相等(定常流动)，可(VRR)VR

(VRR)

RVR]

VVR

1(pRRR)

R

R

单位时间作用在小微元上的体力作用在小微元上的面力穿过 上式已考虑到了流场内无其它热源的条件(q0)。因为流动定常，I

u U ， II

(V)uxv wzayx0作用在微元上的体力只有重力，于是IIIgdxdydzv0；IV=(pxdydzv)dx(pydxdzv)dy(pzdxdyv) ((pxv)(pyv)(pz ppi jpk(p2u)i(uv)j(wu)kpi ppi jpk(uv)i(p2v)j(wu)kai ppi jpk(wu)i(wv)j(p2w)k IVayp(kT (kT (kTV dx dy dzd[k(T)dT I、II、III、IVV各项中消去dxdydzd[k(T)dT]aypa2 注意到如果列出x方向的动量方程，可得(u2)pxxpyx 0p(a)p d[k(T)dT]a2 zA C' U解：(1)令直角坐标系Oxyz的Oxz坐标平面在平板上，x轴方向沿平板的滑动方向(即U的方向)，y轴垂直于平板(如图所示)由于流体不可压缩，应力张量为PpI2S.根据假设，流动速度场为 1/2u/ S1/2u/

0 0V(u(y,t),0,

u/ 0 Pu/ 0

微元系统 方向动量变xx方向的运动方程 微元系统 方向动量变=

(u) (u)dxdydz恒，

u (uu) (u)这样微元系统总的动量变化率为控制体内的动量变化率(u)dxdydzu化率为 为常数

x微元系统所受x方向的面力可分ABCDABCDBCCBADDA以及(pxxdydz)AABB和CDDC三对面元来计算.各对的x方向面力净合力分别 (pyxdxdz)

(pzxdxdy) x

(

pzx 根据(2)中得到的结果，pxxp

y；pzx ，合力可化为 (利用压强均匀和处处为常数的条件)。初始条件：uy,0)

u 边界条件：t0u(0,tUu(00.其中U习题 理想流体动力学方程的积题绝热气体（pk） pV2

1沿管子为常值。式中v为流体的流速，p、分别表示压强和密度。如果沿流动方向管pk，气体通过一细导管流出一大的密闭容器。已知容器内的压强为大气压强p0n倍。不考虑容器内流体的势能，证明流出的速度V由下式给出： 1 V2 n 式中速度和流体表面的高度，当V2ghh将随沟渠宽度的增加而增加，而流速 为1c1、2c2 间M的动能可写为：2 c2直径为15cm，求5-

CA=AB=h(t=0)及打开开关后(t>0)压强匀速地将水注入直立的圆柱形盆内，注入流量为q=15cm3/s。盆底有一极小的孔，其截面积为s=0.5cm2，问盆中水面保持多大的高度。xC（h＜c3运动时是等温压缩的，求XxCC图5- 答1V1S12V2S2S1S2

2V2

(V)即， VX BernoulliEq.XV K

V

K2

，代入（7-1-1） 2 (V2p)0 V2BernoulliEqp

V/XV/X np0V2于是有：1 n D ，

(hV)

V2gh

V

gh V2)

X(h

dT1V2x方向，截面s V

，ddT1sx1 x ，其中VsM（流量 1M1M( 1Bernoulli V V V 11 2 2gy y

h V3 3p2p0gyV223当p2等于此时的流体温度对应的饱和蒸汽压ppV2 y

7.t0时刻，ABCAX2h，水平管很长，在所研究的时间段内水d

dt

gl。t0,l(0)h并设t时流体全部流出斜管，即l()0l sin

sin[(V(t)

2gsin 再利用流 dt和V(0)0可解 2

V(ly)

p0p(y)g(ly)sin0p( V(2hlx)p(x)p00 当t时，水平管内压强为p0设盆中水面高度为H，则小孔出流速度 q ，由此可得H气体初始压强和体积分别为：pwgh, V0CS（w代表水的密度，Ｓ为截面积。等温压缩：pp0C(CX)。dd()pS T dt，其中T和Vd(T~CwghSdxT~CghSln(Cx)

V c (Cx)Cxx ~

hc C

C

2Cx2

~wghcVx0,T0,

C/2

TSgCx2ChlnCxZ4.14.1.x

w

水上升达到最大高度时，T0xmax C 2 3

Cxmax

Ch

max OLagrangian

设连通细管长L，截面积S0，在14间建立4 V2V p dl 1 1g(zz)1 V(CSL) p g(C2x) S w(CVV(t)VdVdVdxV dx dxV22

CSL/S

ghC

x)g(Cx

x2)

ｔ=0x0,V=0c1ghClnC，再令V=0xmax。习题 理想流体势流问题（a）φ=

ψ=－

试写出复势W=W(z)的表达式。设WAz2 z zrei1z11和z20.5两点象限内流体运动的复势以及极坐标系下的流线方程，并求在z=1点的速度值。设半径为a的圆外有一源m和汇(m)，在极坐标系下，它们分别位于(r1,0)和(r2,)处，求流场的复势，并研究且r1r2的情况aVp0的均匀水流中，试求作用在0到2之间的柱体上的作用力。式中0指向上游。VVm的源分别在(-a，0)(a，0)2m的汇在原点，证明x2y22a2x2y2xy；V 设在(-a，0)(a，0)m(0，a)和(0，-a)点有相同强度的汇，q 。r8a82r4a4cos41/。RbRa以常速度Ux 动，速度为u(t)，求流体对圆柱的惯性阻力，并写出该圆柱体的运动半径为a和b的两球面间充满密度为的理想不可压缩流体(bax轴以速度U(t平移，某一瞬时恰好两球面同心。若流体运动无旋，试答w(z)iLn b)w(z)2xyi(x2y2

m 2

mcw(z)

mLnr

mc(r) t0(v)0

vr2Arcos

wAz

dv cos

(vr

vrv 2Arsin e[4A2r(cos2)28A2r(sin2)2][4A2rsin2cos28A2rsin2coser

]

w(z) 2(zz0)

w'(z) 2(zz0)a

a2e 2w'(z)

) a

z

zF

'a

F za2F

a

zF

zF'可见偶的像的强度与其自身强度之比为

F2w(z)m

z2 )mln(z1)mln(z1)mln处强度为m的一个点汇(或源)Im(w)mx2yy3

x3xy2xx2y2

x2yy3 x2y

x2yy3i))marctanxy2x3

xy2x3x

x2yy3yC(xy2x3x

;Re(w)mRe(ln(x3xy2xx2yy3yx2 x2 x3xy2x2x2yy3y2 mx2zi

z21Q(0,1) 2

0)2w

m[ln(z1i)lnz]w

z1i)

mlnx2y2xyi2xyxy mlnAim

x2 2xyx 2xyx其 x2y2xy，则流线 x2y2xy=constdwm

1)

(i1)v

(1当z=1时

z

（0，bwmln(zbi)(zbi)

vm( 2zbi zbiv

x2b2

xb或

v

2b pp2v边界上pp2((x2b2))当xb或b时,pminp82b2 1

m2 x

F

vdx2

(x2b2)2dx。11．设一圆柱半径为affa处放置强度为2m的偶极子，取通过圆柱中心和偶极子连线的直线为x轴。由圆定理，流场复位势为。w(z) z a2/z

z a2Ri

dw)2dz

i

ma 2)22 ra ra(zf (a2

2mma2/f

m2a4/f2ra[(zf)4(zf)2(za2/f

(za2/f)4ra(zf

dz0; dz0;(za2/f)4 2 2 2dz2i 2)ra(zf)(za/f za2/fdz(zf (faR

4m2a2(f4m2a2w(z)mln(zr)mln(zr

wv(z

z)dzv(1z2

)

r1 r2e) dw 柱面上（）4vsinv

pp0

(vv2 2 0p02v(14sin)Fpad0 60Fxpcosadap0 60FFpsinadap6

(x2y2)2a2(x2y2w ln(za) ln(z) ln(1 ) )

(x2y2arctg 1(x2y2)2a2(x2y2xy)(x2y2)2a2(x2y2 wmln(za)mln(za)2mln m2(zam2(za)(zz

m'其 z2w ln(za)(za) ln(zai)(zai)

z2上w(z)

lne2i

mlnsinmln在za的 e2i 或marctgsin 或流线2 044。x轴：zx（除原点外，Imw(z)0y轴：ziy（除原点外，Imw(z)0

0zz2 zz2z z (r8a82r(r8a82r4a4cosm'其 2从圆外之涡与其两个像点形成的流动w1(z)w2(z)w(z)w1(z)w2 w1(z)2iln(zb)2iln(z2w(z)22w(z)ln(zb)ln(za22 2 a (xb)(xb')y2iy(2xbb' adz 2iz z

2) '2 (bb)[(xb)y][(xb)y] 2ib uiv[(2xbb)i((xb)(xb)y

(bb'2[(xb)2y2][(xb')2y2解：该问题流体速度场的边界条件是：tt0时，VnRb0；VnRaUnRaVn由于是双连通域，还应提速度环量或流量条件。利 R(V 1 ds RdW的已知关系和Re(W(z，Im(W(z可得t

aR

0

R

U

U2( d aa

b1速度势提法流函数提法

或提通量条件：

(

)0dr 1 R

aR0=

可取为1R

U

Ucos

Uasin给定穿过区域分隔线0