2020年中考数学压轴专题二次函数中的最值问题含答案

2020中考数学压轴专题二次函数中的最值问题(含答案)L如图:已知9,抛物线注+”与％轴交于2),也,°)两点忆…,轴交于点°(I)若兀2=1,5。=4"，求函数y=%2+〃％+c的最小值；(II)过点4作”,5C垂足为P(点尸在线段5c上)，北交y轴于点".若g:2,求抛物线尸12—v. .解:(I)・”1,OB=1,BC=#,...oc=Qbc2_0B2=2・•・C(o,-2),把8(1,0),。(0,—2)代入产％2+云+c,得:0=1+3-2,解得:8=1,抛物线的解析式为：y=%2+x—2.9转化为产(％+')2—4；, 9••函数y=x2-\~bx-\-c的最小值为——；(II)*/ZOAM+ZOBC=90°,ZOCB+ZOBC=90°/.N0AM=N0C5,又：ZAOM=ZBOC=9Q°,\AOMs匕COB,OA_OM• OCOBOA：.OC= •OB=2OB,OMcV0,%2>0,/.—c=2%2,即％2=y.c・「％22+bx2+c=0,将％2= 2代入化简得:c=2b—4.b4c一b2TOC\o"1-5"\h\z抛物线的解析式为:y=%2+bx+c,其顶点坐标为(一歹， -7 ).乙 I令%= 亍,贝b=-2%.4c一b2 b2 b2y= 4 =c -=2b—4 -=-4%—4—%2,满足点P在线段BC上的%最小取值,使P、C、M重合，此时C(0,c),B(—y,0),A(2c,0),根据根与系数的关系,对于%2+b%+c=0,由c=2b—4,解得c=—1,33所以b=—2c=2,b3% 2 4,3所以自变量%的取值范围%>—43二顶点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式为:y=—%2—4%—4(%>—4).2.已知抛物线y=a%2+b%+c(a<0)过(m,b),(m+1,a)两点,(I)若m=1,c=1,求抛物线的解析式；(II)若b>a,求m的取值范围；(III)当b>a,m<0时，二次函数y=ax2+bx+c有最大值一2,求a的最大值.解:(I)•・•m=1,c=1,・•・抛物线的解析式为尸ax2+bx+1(a<0)过(1,b),(2,a)两点，Ja+b+1=b'14a+2b+1=a'a=-1解得IA1 ,b=1・•・抛物线的解析式为尸一x2+x+1;am2+bm+c=b①(II)依题意得I(II)依题意得a(m+1)2+b(m+1)+c=a②由②一①得b二一am,Vb>a,；.一am>a,Va<0,；.m>一1;(III)由(II)得b=一am,代人①得am2—am2+c=b,...c=b=—am,Vb>a,m<0,V二次函数y=ax2+bx+c有最大值一2,4ac-b2 =—24a8—=(m+2)2—4,aV－1<m<0,；.—3<(m+2)2—4<0,

8a<—3,8・•・a的最大值为一3.3.平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2—2m2x+2交y轴于A点，交直线x=4于B点.(I)求抛物线的对称轴(用含m的代数式表示);(II)若AB//x轴,求抛物线的解析式；(III)若抛物线在A,B之间的部分任取一点P(xp,yp),一定满足yp<2,求m的取值范围.解:(解:(I)由抛物线的对称轴公式可得x=-2m22m=m,•・抛物线的对称轴为直线x=m;(II)当x=0时,y=mx2—2m2x+2=2,•.点A(0,2).AB/x轴,且点B在直线x=4上,•.点B(4,2),抛物线的对称轴为直线x=2,...m=2,•・抛物线的解析式为y=2x2—8x+2;(I)当m>0时,如解图①，VA(0,2),；.要使0<xp<4时,始终满足yp<2,只需使抛物线y=mx2—2m2x+2的对称轴与直线x=2重合或在直线x=2的右侧.；.m>2当mV0时,如解图②，mV0时,yp<2恒成立.综上所述,m的取值范围为mV0或m>2.第3题解图4.已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为(2,5),且与y轴交于点C(0,1).(I)求抛物线的表达式;(II)若一1<x<3,试求y的取值范围;(III)若M(n2—4n+6,y)和N(—n2+n+:乃)是抛物线上的不重合的两点,试判断y与乃的大1 ^^4~2 1 2小，并说明理由.解:(I),.,抛物线y=ax2+bx+c的顶点为(2,5),二设抛物线的表达式为:y=a(x—2)2+5,把(0,1)代入得:a(0—2)2+5=1,a=—1,；.抛物线的表达式为:y=—(x—2)2+5=—x2+4x+1;•・•抛物线的顶点为(2,5),a=—1,对称轴为直线x=2,且一1<x<3,；.当x=-1时,y有最小值,最小值为y=—(—1—2)2+5=—4,当x=2时,y有最大值,最大值为y=5,・•.y的取值范围是一4<y<57 1n2—4n+6=(n-2)2+2>2,—n2+n+ =—(n-5)2+2<2,・•.点M在抛物线对称轴右侧，点N在抛物线对称轴左侧,7...N(—n2+n+4,y2),...点N关于对称轴对称的点坐标为(n2—n+"T,y2),42.在抛物线对称轴右侧,y随x的增大而减小,TOC\o"1-5"\h\z.•.①当n2—4n+6>n2—n+彳时，即nV7时,y1V3；4 4 1 29 5②当n2—4n+6=n2—n+ 时，即n= 时,y=y;4 4 12③当n2—4n+6Vn2—n+ 时，即n> 时,y>y.\o"CurrentDocument"4 4 1 215.已知抛物线y=ax2+bx+c与直线y=mx+n相交于两点，这两点的坐标分别是(0,一~和)和(m一b,m2—mb+n),其中a,b,c,m,n为实数，且a,m不为0.(I)求c的值;(II)求证:抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点;(m)当一1＜烂1时,设抛物线y=ax2+bx+c上与x轴距离最大的点为P(x0,y0),求这时Iy01的最小值.1 1解:(I)把点(0,—5)代入抛物线,得:c=—5;1 1(II)把点(0,—y)代入直线得:n=—5.把点(m—b,m2—mb+n)代入抛物线，得:a(m—b)2+b(m—b)+c=m2-mb+n；.a(m—b)2+b(m—b)=m2—mb,am2—2abm+ab2+bm—b2—m2+mb=0,(a—1)m2—(a-1)*2bm+(a-1)b2=0,(a—1)(m2—2bm+b2)=0,(a—1)(m—b)2=0,1若m—b=0,则(m—b,m2—mb+n)与(0,一')重合，与题意不合,...a=1,1抛物线y=ax2+bx+c=x2+bx—2，b2—4ac=b2—4x1(—2)=b2+2>0,；.抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点;(III)y=x2+bx—2,顶点(一2,—2 4),设抛物线y=X2+bx-,在x轴上方与x轴距离最大的点的纵坐标为H,在x轴下方与x轴距离最大的点的纵坐标为h,b①当一2V—1时，即b>2时,在x轴上方与x轴距离最大的点是(1,y0),|H1=y0=2+b>2,在x轴下方与x轴距离最大的点是(一1,y0),1 1 3；.Ih1=1y01=12—b1=b—2>2,・•・IHI>IhI,5,这时Iy0I的最小值大于5,②当一1<—y<0时,即0<b<2时,在x轴上方与x轴距离最大的点是(1,y0),；.IHI=y0=5+b>5,当b=0时等号成立,b 1 b2在x轴下方与x轴距离最大的点是(一亍，一5■—―),乙 乙1b2b2+21-IhI=I—2一寸—>2,当b=0时等号成立,1•・这时Iy01的最小值等于亍，③当0V—2<1,即一2<bV0时,在％轴上方与％轴距离最大的点是(-1,y0),二IHI=y0=I1+(—1)b—2I=I2—bI=2—b>]b 1 b2在％轴下方与％轴距离最大的点是(一,，一万—不),乙 乙1 b2 b2+21•JhITy0日-2-_4I=^—>2,1这时Iy0I的最小值大于-y;b④当1V—5时,即bV—2时,在％轴上方与％轴距离最大的点是(-1,y0),1•1•IHIt2—b>52,在％轴下方与％轴距离最大的点是(1,y0),,IhI=I—+bI=—(b+~>)>y,,IHI>IhI,5,这时Iy0I的最小值大于-y,1综上所述：当b=0,X0T0时,这时Iy0I取最小值为2.6.在平面直角坐标系中，直线l:y=x+3与X轴交于点A,抛物线Cy=%2+mx+n的图象经过点A.(I)当m=4时，求n的值；(II)设m=—2,当一3<x<0时，求二次函数y=x2+mx+n的最小值；(III)当一3<x<0时，若二次函数y=x2+mx+n时的最小值为一4,求m、n的值.解:(I)当y=x+3=0时,x=-3,・••点A的坐标为（一3,0）.二次函数y=x2-\-mx-\-n的图象经过点A,••.0=9-3机+〃，即n=3m—9,当m=4时,〃=3机一9=3;m（n）抛物线的对称轴为直线芯=一亍，当m=-2时，对称轴为x=l,n=3m—9=-15,当一34烂0时,y随％的增大而减小，当％=0时，二次函数产%2+m%+〃取得最小值，最小值为一15.m（ni）①当对称轴一3,即机之6时，在一33岂）范围内,y随％的增大而增大，当％=—3时,y取得最小值0,不符合题意；m m 4几一m2②当一3V一3V0,即0V机V6时，在一33岂）范围内,%二一天时,y取得最小值 二次函数最小值为一4,r4〃-m2 =-4.♦.<4n,9-3m+n=0TOC\o"1-5"\h\z机=2 根=10解得:《Q或彳 G1（舍去）,n=-3 n=21\o"CurrentDocument"I Im=2,n=~3;m③当一7之0,即m<0时，在一34烂0范围内,y随％的增大而减小，当％=0时,y取最小值，即n=~4,n=—49—3m+n=0V.r5m=—解得:j3（舍去）.72=-4综上所述:m=2,72=-3.7.在平面直角坐标系中，抛物线y=%2—2%+c（c为常数）的对称轴为x=l.(I)当c=-3时,点(%,y1)在抛物线y=%2—2%+c上,求y1的最小值；1(II)若抛物线与％轴有两个交点，点A在点B左侧,且OA=2OB,求抛物线的解析式;(III)当一1V%V0时,抛物线与％轴有且只有一个公共点，求c的取值范围.解:(I)当c=—3时,抛物线为y=%2—2%—3,・•・抛物线开口向上,有最小值，4ac—b2 4x1x(—3)—(—2)2•••y最小值=-4a—= 4 =—4,・•.y1的最小值为一4;(II)抛物线与%轴有两个交点，①当点A、B都在原点的右侧时,如解图①，1设A(m,0),VOA=亍OB,•・B(2m,0),V二次函数y=%2—2%+c的对称轴为%=1,2由抛物线的对称性得1—m=2m—1,解得m=3,2•・A(3,0),点A在抛物线y=%2—2%+c上,44 8，0=9—3+c,解得c=9,8此时抛物线的解析式为y=%2—2%+9；②当点A在原点的左侧，点B在原点的右侧时,如解图②，1设A(—n,0),VOA=fOB,且点A、B在原点的两侧，・•・B(2n,0),由抛物线的对称性得n+1=2n—1,解得n=2,・•・A(—2,0),•点A在抛物线y=%2—2%+c上,・•.0=4+4+c,解得c=-8,此时抛物线的解析式为y=%2—2%—8,8综上,抛物线的解析式为y=%2—2%+g或y=%2—2%—8;抛物线y=%2—2%+c与%轴有公共点，；.又对于方程%2—2%+c=0,判另式b2—4ac=4—4c>0,•.c<1.当%=-1时,y=3+c;当%=0时,y=c,・•抛物线的对称轴为%=1,且当一1V%V0时,抛物线与%轴有且只有一个公共点，•・3+c>0且cV0,解得一3VcV0,综上,当一1V%V0时,抛物线与%轴有且只有一个公共点时,c的取值范围为一3VcV0.第7题解图8.已知抛物线y=(m—1)%2+(m—2)%—1与%轴交于A、B两点.(I)求m的取值范围；(II)若mV0,且点A在点B的左侧,04:OB=3:1,试确定抛物线的解析式；(I)设(II)中抛物线与y轴的交点为C,过点C作直线l//%轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，抛物线的其余部分保持不变,得到一个新图象.当直线y=—%+b与新图象只有一个公共点P(%0,y0)且y0>—5时,求b的取值范围.解:(I),.,抛物线y=(m—1)%2+(m—2)%—1与%轴交于A、B两点，m—1丰0 ①'[(m—2)2+4(m—1)〉0②,由①得m，1,由②得m，0,；.m的取值范围是m，0且m，1(II)二,点A、B是抛物线y=(m—1)%2+(m—2)%—1与％轴的交点,；.令y=0,即(m—1)%2+(m—2)%—1=0.解得%1=—1,%2=・•点A在点B左侧,1•.点A的坐标为（一1,0）,点B的坐标为（ ,0）.1一m1AOA=1,OB=-; 1-m・•OA:OB=3:1,,1 1A1一m=3.Am=一2.A抛物线的解析式为y=一3%2-4%-1.(Ill),点C是抛物线y=一3%2-4%-1与y轴的交点,A点C的坐标为(0,—1).依题意翻折后的图象如解图所示.令y=—5,即一3%2—4%—1=—5.2解得%1=3,%2=一2.A新图象经过点D(—2,—5).当直线y=—%+b经过D点时,可得b=—7.当直线y=—%+b经过C点时，可得b=—1.当直线y=—%+b(b>-1)与函数y=一3%2-4%-1的图象仅有一•个公共点P(%0,y0)时,得一%0+b=3%。2—4%0—1.整理得3%。2+3%0+b+1=0.1由32—12(b+1)=—12b—3=0，得b=-4.1结合图象可知，符合题意的b的取值范围为一7<bV—1或b>-4.第8题解图9.如图，二次函数尸一%2+2(m—2)x+3的图象与x、y轴交于A、B、C三点，其中A(3,0)，抛物线的顶点为D.(I)求m的值及顶点D的坐标；(I