2018-2019学年上海市西南位育中学高二上学期期中数学试题(解析版)

第第#页共22页2018.2019学年上海市西南位育中学高二上学期期中数学试一、单选题. 是“直线小Qx+2yT=0与心x+（o+l）y+6=0平行”的（ ）条件A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.既非充分又非必要【答案】A【解析】两直线平行等价于。（。+1）—2=0,且6。+1W0,即。=1或。=-2,根据充分非必要条件的定义可得答案.【详解】当。=1时,乙：x+2y—1=0,与:x+2y+6=0平行，当《：办+2〉-1=0与:x+（a+l）y+6=0平行时，4（〃+1）—2=0且6〃+1。0,解得a=1或。=一2.所以“。=1”是"直线小ar+2yT=0与/=：工+（〃+1）＞+6=0平行”的充分非必要条件.故选:A.【点睛】TOC\o"1-5"\h\z本题考查了两条直线平行的条件以及充分非必要条件,属于基础题. 2.已知点。分的比为-不，设讴=%理，则4的值为（ ）2 3 11A. Be- C•- De—5 5 3 2【答案】D 2—— 2——•【解析】由点夕分［［的比为一§得4尸=一§尸鸟,再将质=丸理化为由此可得答案.【详解】 2 2 >因为点。分而的比为一1,所以语=一§成,硒,由廖=西得々户+pR=九0月,得qA+pR=一彳月户，得用二-硒,所以--匚=-2,解得;t=:.2+1 3 2故选:D.【点睛】本题考查了向量的线性运算，属于基础题.3.曲线y=—JI二7与曲线）叶凶=0的公共点的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】BfV=-Jl-X2【解析】联立<J 可求得两个交点的坐标.1>,=-W【详解】联立卜=一步一厂，消去y得—口7= 化简得[y=-kl 2所以犬=巫,或工=—巫，2 2所以），=_手,所以曲线）,二一JI二7与曲线），+凶=0的公共点为（—孝「¥）和（乎，-日），故选:B.【点睛】本题考查了求曲线的交点,属于基础题.X14.关于X的方程/+一飞-==0有两个不等实根。和人，那么过点AW"J）,tan<9sm<9 78（4〃）的直线与圆/+），？=1的位置关系是（ ）A.相交 B.相切 C.相离 D.随d值的变化而变化【答案】B

【解析】由根与系数的关系得到。+〃和C力，根据两点的坐标求出直线方程，再根据圆心到直线的据求出距离等于圆的半径，可得答案.【详解】TOC\o"1-5"\h\zV 1因为关于V的方程V+— =0有两个不等实根。和6,tan0sin0所以a大/7,。+/7= ,ab= -,tail0sin6\o"CurrentDocument"2 12因为过点A(。,标)，b2)的直线方程为y-a2=" (x-a),a-b化简得(4+与犬_〉_48=0,由圆心到直线的距离公式得]]|0_0_4“_ |ab\_|sin0\ _ |sin8yj(a+b)2+1J(4+/7y+1 I~i~/cos2<9+sin2<9Vtan20V所以过点N。,")，8(4用的直线与圆£+V=l的位置关系是相切.故选B【点睛】本题考查了根与系数的关系，由两点坐标求直线方程，点到直线的距离,直线与圆相切，属于中档题.二、填空题5.已知直线/的一个方向向量2=(3.4),且过点(-1,2),则直线/的点方向式方程为……x+1y-2【答案】—=--—3 4【解析】直接写出直线/的点方向式方程即可.【详解】因为直线/的一个方向向量2=(3.4),且过点(-1,2),r+1v—2所以直线/的点方向式方程为:—=--.3 4故答案为:x+1y-2故答案为:x+1y-2"1 4~【点睛】本题考查了直线/的点方向式方程，属于基础题.6.已知矩阵6.已知矩阵4=「3 1、、2-1；(11}(11}【答案】\/【解析】根据矩阵的乘法运算法则计算可得.【详解】所以AB=(3因为矩阵人=>，所以AB=(3因为矩阵人=>，B='3x4+lx5、k2x4-lx5;」7、8(17}故答案为： .【点睛】本题考查了矩阵的乘法运算，属于基础题.45x则X的值是.在行列式1X3中，第二行第一列元素1则X的值是789【答案】7【解析】根据代数余子式的定义列式计算可得.【详解】依题意得(―1尸+】(5x9-8%)=11,解得x=7.故答案为7【点睛】本题考查了三阶行列式的代数余子式的计算,属于基础题..已知5=(3,4),5=(1,-1),则向量〃在向量B方向上的投影为【答案】—巫2【解析】根据向量数量税的几何意义计算可得.【详解】

_ _ ab3xl-4xl近向量”在向量〃方向上的投影为一二=厂 =--十叫我+（-1）- 2故答案为：—巫.2【点睛】本题考查了向量数量积的几何意义，属于基础题..已知直线/过点A（l,—1）,且与直线〃3x—5），+6=0平行，则直线/的一般式方程为 【答案】3x-5y-8=0【解析】设直线I的一般式方程为:3x—5）+m=0（/7?丰6），再代入4（1-1）计算出m=-8，可得设直线/的一般式方程.【详解】依题意设直线/的一般式方程为:3x—5y+〃?=0（加手6）,因为直线/过点所以3x1—5x（—1）+m=0,解得帆二-8,所以直线/的一般式方程为：3x-5y-8=0.故答案为：3x-5y-8=0.【点睛】本题考查了根据两直线平行求直线方程的一般式，属于基础题..直线乙：6x+8y—7=0与心3x+4y+c=0间的距离为2,则实数c的值为13【答案】13【答案】万或27

y7【解析】由6x+8），-7=0得3x+4）一/=0,再根据两条平行直线之间的距离公式列式解方程可得答案.【详解】由6x+8y—7=0得3x+4y——=0,TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"I cl 13 27所以।2解得c='或c=—J.r^~r=2 2 2G+4-\o"CurrentDocument"13 27故答案为：上或一二.\o"CurrentDocument"2 2【点睛】本题考查了两条平行直线之间的距离公式，属于基础题..直线无一3》+5=0关于直线y=x对称的直线方程为【答案】-3x+y+5=o【解析】在所求直线上设动点/",），）,则M关于直线）'=工对称的点N（y,x）在已知直线上，将N的坐标代入已知直线方程可得答案.【详解】设所求直线上任意一个点"。,以，则M关于直线）'=x对称的点N（y,x）在已知直线工-3>+5=0上，所以y-3x+5=0,即-3x+y+5=0.故答案为：-3x+y+5=0.【点睛】本题考查了求直线与直线关于直线对■称的直线方程,属于基础题.x+y>2.已知。是坐标原点，点A（-L1）,若点M。,），）为平面区域上的一个动）"2点，则方•两的取值范围是 .【答案】[0,2]【解析】【详解】x+y>2,令z=西•两=—x+y，则y=x+z,画出｛x<i,对应的可行域，可得在点（1,y<21）处取得最小值o,在点（02）处取得最大值2PCCQ=9【答案】-:【解析】根据题意分析可得＜正,质＞=120,再根据向量的数量积的定义计算可得答案.【详解】因为圆C的半径为3,|迎卜3,所以△CP。为边长为3的正三角形，所以〈正，质〉=120,所以P(?C0=|正|・|西|cosl2(T=3x3x(二)=—2.9故答案为：一：.【点睛】本题考查了向量的数量积,属于基础题.＜4、.已知直线/…人一)，+3=0和直线y=a(x+3)的夹角。在区间0,—内变动,则实数，的取值范围为【答案】怦,1)4,科/【解析】设直线/,的倾斜角为。，由己知可得2＜a＜工或根据斜率的定义- 6 4 4 3可得答案.【详解】因为直线k，：X—y+3=0的斜率为I，所以倾斜角为-,4设直线12的倾斜角为。,则|二一a|g(0,—),12所以工或工<。<生,6 4 4 3所以正<tana<1或1<tana<>/3,3所以坦<a<1或<布.3故答案为：,1u(i,6)./【点睛】本题考查了直线的倾斜角和斜率,属于基础题..如图，已知在以。为圆心，A6为直径的半圆中，|AB|=4,C是46上靠近点A的三等分点，尸是AB上一点，若衣〃历;，则而灰=【答案】-6【解析】以。为原点,06所在直线为不轴,建立平面直角坐标系，根据已知条件求出ZCAO=AFOB=60。，求出A,F、B,C的坐标，求出犷，血的坐标，再根据向量的数量枳进行运算即可得到答案.【详解】以。为原点,06所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系：连接。C,依题意得NCQ4=60，所以ZCAO=ZFOB=60，且OC=O尸=2,所以A(—2,0),F(1,JJ),6(2,0),C(—l，6所以标=前=(—所以A尸•5己=-9+3=—6.故答案为：-6.【点睛】本题考查了向量的数量积的坐标运算，建立直角坐标系是解题关键,属于基础题..在平面直角坐标系中，A、3分别是x轴和)'轴上的动点，若以A8为直径的圆C与直线2x+)」8=0相切，则圆。面积的最小值为【答案】【解析】设以AB为直径的圆C与直线2x+y-8=0相切于点。，连CDOC,根据图象可知，O,C,。三点共线时,圆的半径最小，从而圆的面积最小，由原点到直线的距离可求得半径的两倍的最小值.从而可求得面枳的最小值.【详解】圆的半径为厂，设以AB为直径的圆C与直线2x+y-8=0相切于点。，连CD,OC,如图所示：过O作直线2x+y-8=0的垂线，垂足为石，所以田亨昌二越，V4+1 5所以OC+8之。石=生叵,当且仅当。,C,。三点共线时等号成立，5所以2r之名叵，所以心生叵，即圆的半径的最小值为正,5 5 5所以圆C的面积的最小值为^r=—.3-“16笈故答杀为:§・【点睛】本题考查了直线与圆相切，点到直线的距离,属于基础题..两条直线小。/+4），+1=0和3。3+4》+1=0相交于点P（5,—6）,则过点A（q%）,6（%也）的直线方程为【答案】5x-6y+l=0【解析】将点尸（5,一6）的坐标代入的方程，可知4（4,4）,3（4也）都在直线5x-6y+l=0上，由此可得过点4（《也），6（生也）的直线方程.【详解】因为两条直线，1：+幻，+1=0和4：%x+N)，+l=0相交于点P(5,-6),所以5q-6[+1=0,5/一64+1=0,所以点4(%，4),6(生也)都在直线5x-6y+l=0上，所以过点A(q，4),6®也)的直线方程为：5x-6y+l=0.故答案为：5x-6y+l=0【点睛】本题考查了求直线方程,属于基础题..设M(T,2),N(2,—2),若动点P(x,y),满足留必+|附|=5,则二的A取值范围为【答案】(3,—4]U[0,y)【解析】根据1PM+|PN|=5=1MNI，可得点P的轨迹为线段MN,求出其方程,根据其方程可得色的取值范I机X【详解】因为|MN|=J(—l—2)2+(2+2『=5,且|PM|+|PN|=5,所以点P(x,y)在线段MN上，TOC\o"1-5"\h\z-2-2 4 4 4 2因为&n=F—J=—；，所以直线的的方程为)-2=-；*+1),即)，=—；工+；,2+1 3 3 33\o"CurrentDocument"4 2所以点P的轨迹为线段:y=一一x+-(-l<x<2).’ 3 3。 42c 8匚「I、i)'+2AHF2 j-所以2——_3 3 _43，x= =一；+一x3x8当一l<x<0时，43-48q31一338 8^0<x<2W,_4+3>_4+3=0,3x-32所以工工的取值范围是4]U[0,+s).X故答案为：(一s,-4]U[0,+8)【点睛】

本题考查了由两个点的坐标求直线方程，两点间的距离公式，属于基础题.19.在锐角AABC中，tanA=1,。为边5c上的点，与AAC3的面积分别为2和4,过。作0E_LAB于石，。尸_1_4。于尸，则瓦.方二4【答案】-:【解析】由题意画出图象,结合面积求出smA=巫,cosA=巫,\DE\-\DF\=勺叵，然后代入数量积公式可得.10 101 11 1 15【详解】如图所示：因为△A5O与MCD的面积分别为2和4,1—，—1—，—所以31ABi-|。七|=2,i|AC|.|DF|=4,TOC\o"1-5"\h\z乙 乙所以瓦卜•^,|无|=^^,1 1 |AC|'_ 32所因西•西卜研前,一.……sinA1又tanA=7,所以 -=-3cosA3sinAI将一-=；与sin2A+cos2A=1联立，结合A为锐角解得cosA3su】A=理"亚10 10由白|而卜|衣|sinA=2+4，可得|而卜|衣|=12jI6.2————> 32所以————> 32所以1r4>/1015所以DEDF=\DE\-\DF\cos<DE,DF>=^^-cos(7r-A)=-^^-cosATOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"4M3M 4 X ——•\o"CurrentDocument"15 10 54故答案为：一弓•【点睛】本题考查了同角公式，三角形的面积公式，向量的数量积,属于中档题.20.已知10H=4,|丽卜6,OC=xOA+yOB,且x+y=l,NAO8是钝角，若/（/）=|。4一/。4的最小值为2",贝“无|的最小值是 【答案】5巨19【解析】根据/（，）=OA-tOB的最小值为2j?，结合图象分析可知，当（04—/。母,。用时，直线06上的动点与定点A之间的距离的最小，由此计算出/4。6=茎,再求出|反|2关于工的表达式,根据二次函数求出最小值后，开方可得答案.【详解】因为/。）=|况-f丽|的最小值为即直线03上的动点与定点人之间的距离的最小值为2有，所以当（。4-1。2），。月时，直线05上的动点与定点A之间的距离的最小，

因为NAO5因为NAO5是钝角，所以sm（乃—乙4。5）=独=正,所以万一/4。5=2,所以ZAOB=—,3因为反=x》+），而，且x+y=l,所以OC=(xOA+yOB)2=x21OA|2+y2\OB|2+2xyOAOB=16x2+36y2+2x}?«4x6x(--)=16x2+36(1-x)2+2x(1-x)x(-12)=76.r-96x+3612」108=76(x 厂+——19 19所以x=时,I反F取得最小值詈，所以|诙|取得最小值笔Z.【点睛】本题考查了向量的线性运算，向量的数量积，二次函数求最值,属于中档题.21.在平面直角坐标系中，当P（x,y）不是原点时，定义P的“伴随点”为当P是原点时，定义P的“伴随点”为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C定义为曲线c的“伴随曲线”.现有下列命题：①若点A的“伴随点”是点A',则点4的“伴随点”是点A②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线c关于X轴对称，则其“伴随曲线"C'关于y轴对称；④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.其中的真命题是 （写出所有真命题的序列）.【答案】②③【解析X详解】试题分析:对于①，若令PQ1）,则其伴随点为P'g,-；）,而/（；,-；）的伴随点为（-L-i）,而不是尸，故错误；对于②，设曲线/。,丁）=0关于x轴对称,则f（x-y）=0对曲线于（x,y）=0表示同一曲线，其伴随曲线分别为

=O与/（二^,^^）=0也表示同一曲线，又因为其伴随曲线分别广+）厂厂+厂 厂+）厂r+）r为/（中二,一^）=0与/（二V，二7）=0的图象关于）'轴对称，所以正确：③令广+）厂厂+厂 厂+厂厂+厂单位圆上点的坐标为尸（cosx,sinx）其伴随点为P'（smx,—cosx）仍在单位圆上，故正V—X确；对于④，直线＞=h+方上取点后得其伴随点消参后轨迹是圆，工一+'-1一+）厂故错误.所以正确的为序号为②③.【考点】对新定义的理解、函数的对称性.三、解答题22.利用行列式解关于工、）'的二元一次方程组x+ay=-6(a-2)x+3y=-2a>【答案】当且4。—1时，原方程组有唯一组解,1=一网上22.利用行列式解关于工、）'的二元一次方程组。+1 a+1当4=—1时，原方程组无解，当4=3时，原方程组有无数组解.【解析】先求出系数行列式Oy,然后讨论。，从而确定二元一次方程组解的情况.【详解】1a / ）由题意得,。= =1*3-。（4-2）=-。-+2。+3=-（。-3）（。+1）,1D=a-2a-21D=a-23=-lS-a(-2a)=2a2-18=2(。-3)(。+3),-6=-2a+6(。-2)=4(〃-3),-2a当。WO,即。。3且。W—l时，原方程组有唯一组L2_2(〃-3)(〃+3)_2m+3)解’一万二(加3)伍+1)一a+1Dy「4("3) __4D一伍一3)(。+1)a+1当。=0,w0,即。=—1时，原方程组无解,

当。==Dy=0,即。=3时，原方程组有无数组解.【点睛】本题考查了用行列式解二元一次方程组,属于基础题.23.已知在平面直角坐标系中，4(1,2),8(2,-1),。为坐标原点.<1)求A4OB的面积；(2)求A4OB的外接圆的方程.TOC\o"1-5"\h\z( 3V( 1V5【答案】(1) (2) + =<.I 2)V2) 2【解析】(1)利用两点A3的坐标求出。4,。8的斜率，根据斜率判断出。4106、求出两直角边的长度后，代入面积公式可求得；⑵求出圆心坐标和半径后，写出圆的标准方程可得.【详解】2-0 -1-0 1 1Q）攵 =2=^7^"=一5'且 =2x（_/）=-1所以。又|°川=彳育=岛。5|二正评了=6所以Soab=Lx小乂小=--31(2)由(1)可知圆心为的中点(5,5),半径为乙乙1 5所以24。8的外接圆的方程为:(x——)2+(y一一)2=2 2【点睛】本题考查了用斜率乘积为-1判断两直线垂直，圆的标准方程,属于基础题.324.已知a与办的夹角为:乃，且4=2,b=V2.4(1)求恒+21(2)求31+2〃与£的夹角夕的大小.【答案】3)275；（2）【答案】3)275；（2）一3

【解析】(1)利用13〃+25|=如工砺计算可得;rlril(3a+2b)a 3"+2。/、㈤(2)利用cos0= --= f= 计算可得.\3a+2b\\a\2g2【详解】(1)13万+251=](33+2牙=。9万？+12万.B+4/?=J9x4+12x2x5/2xcos^-^4-4x272=5/36-24+8=>/20=25/5.72(2)cos。=|3。+251ml 275x2=(3a+2b)^a3东(2)cos。=|3。+251ml 275x2=所以夕=aiccos.5【点睛】本题考查了求向量的模，向量的夹角，属于基础题.25.在AA5C中，点人的坐标为(L2), 边上的高所在直线方程为2x-3y+l=0,且NC48=工.4(1)求边A6所在的直线方程；(2)求边AC所在的直线方程.【答案】(1)3x+2y-7=0;(2)5工一/一3=0或x+5y-ll=0.【解析】(1)先根据AB边上的高所在直线的斜率求出边AB所在的直线的斜率,再由点斜式可得答案；(2)根据夹角公式列式求出边AC所在直线的斜率，再由点斜式求得答案.【详解】3(1)因为A8边上的高所在直线方程为2x—3y+1=0,所以的"二一｝,乙3由点斜式可得边AB所在的直线方程为y-2=——(x-1)，即3x+2丁-7=0,7tIkAR-k”I（2）因为tan-=巧＞=4I+I7 7 I所以弓一以卜11+HKc\，解得=一,或L=5,由点斜式可得边AC所在直线的方程为了一2=-!(1一1)或)，-2=50—1),即x+5)-11=0或5x-y-3=0.【点睛】本题考查了两条直线垂直与斜率的关系，夹角公式，直线方程的点斜式，属于中档题.26.在平行四边形A5C。中，4(1』)，而=(6,0),通二(2,4).(1)求点。的坐标；(2)过点尸(3,-3)的直线/与平行四边形A5CO围成的区域(包括边界)有公共点,求直线/的倾斜角夕的取值范围；、 o(3)对角线AC所在的直线与圆。：犬+)尸一2)加-4加/+5〃『+〃7-旨=0没有交点，求实数加的取值范围.一乃 1 ( g\(9\【答案】(1)(9,5)；(2)—,^-aictan2；(3) U1,-•1_4 」 [ 9)[*【解析】(1)根据而1=4片+4万可求得答案；(2)作出图象后，利用直线PB和PA的倾斜角表示即可；(3)求出直线AC的方程后，利用圆心到直线的距离大于半径，列不等式即可解得答案.【详解】(1)在平行四边形A5CO中,*=血+南=(6,0)+(2,4)=(8,4),又A(L1),设。(凡6),则衣=(4_1/_1),所以4_1=8力_1=4,所以。=9/=5,所以C(9,5).(2)如图所示:

因为4(1,1),AB=(6,0),AD=(2,4),所以5(7,1),因为心=者4"%=谭^一？所以直线PB的倾斜角为-，直线PA的倾斜角为4—arctan2,4由图可知直线/的倾斜角夕的取值范围是[巳,乃-atctan2].4TOC\o"1-5"\h\z■ , 、 9(3)由圆。：x2+y2-2inx-4my+5nf+〃?一二=0可得、 、9(x-m)2+(y-2m)2=--in,5所以圆心为。小2机),半径为— >m)，\o"CurrentDocument"5-1 1 1又怎c=Q=/,所以直线AC的方程为了一l=5(x-l),即x-2y+l=0.Im-4m+11 /9 ”…但依题意直线AC与圆。没有交点，所以依题意直线AC与圆。没有交点，所以(9w+8)(m-l)>0,8 9所以〃？＜一一或1＜〃？＜一.O\ (Q\所以实数，"的取值范围是-7Ui-.I9八少【点睛】本题考查了平行四边形法则，向量的线性运算,直线的倾斜角与斜率，直线与圆的位置关系，点到直线的距离,属于中档题.27.已知过点A(O「3)的动直线/与圆C： 4x+V—5=0相交于入。两点，M是尸。中点，/与直线加：2x+3y+f=0。为常数)相交于点N.(1)求证：当/与加垂直时，/必过圆心C；(2)当P0=26时，求直线/的方程；(3)当直线/的倾斜角夕变化时，探索丽・丽的值是否为常数？若是，求出该常数;若不是，请说明理由.【答案】(1)见解析：