2019年高等数学A-2考试题

高等数学A-2(08级)一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，总计15分)()1二(x=1yT1、设乙=-ln(1+x2+二(x=1yTTOC\o"1-5"\h\z…1一… …— …、1,,一 ,一 1一(A) —(dx+dy) (B)(dx+dy) (C)-^(dx+dy) (D) —(dx+dy)3 v3 2 ，2、设区域D:x2+y2<4,则积分』Jf(x2+y2)d。在极坐标下的累次积分为((A)J2兀d0f4f(r2)rdr (B)12Kd012f(r2)dr(C)Gd0ff(r2)rdr (D)12兀dof4f(r2)dr0 0 0 03、设Z为球面x2+y2+z2=1,则对面积的曲面积分JJ(x2+y2+z2)dS=(工(C)3兀 (D)4兀4、设级数Zu收敛，则下列级数必收敛的为(n(-1=^u(A)(-1=^u(A)£ nnn=1£u2nn=1Z(unn=1+u)n+1£(u2n-15、设线性无关函数y/y2,y3都是二阶非齐次线性方程y〃+P(x)yn=1'+Q(x)y=f(x)的解，C「CC「C2是任意常数，则该非齐次线性方程的通解是()Cy+Cy-(1-C-C)y(c)c1y1+c2y2-(c1+c2)y33C1y1+C2y2+(1-q-C2)y3(D)C1y1+C2y2+y3 1 23二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，总计15分)1、曲面xy+y2-e=1在点(1,1,0)处的切平面方程为.2、设D:x2+y2<2x，由二重积分的几何意义知JJ、12x-x2-y2dxdy=D设椭圆L:%+y2=1的周长为a，则曲线积分1(5xy-6x2-10y2)ds=L(-11时，级数£ 条件收敛。npn=15、若某三阶常系数线性齐次微分方程有解为y1=e-x，y2=xe-x，y3=ex；则该三阶常系数线性齐次微分方程为 । 2 。 3三、解答下列各题(本大题共4小题，每题7分，总计28分,每题要有必要的解题步骤)1、设数量场f(x,y,z)=x2+2y2+3z2-4x-6y-8z+5求：(1)函数f在点(2,1,2)处的梯度。(2)函数f在点(2,1,2)处方向导数》的最大值。2、计算二次积分12兀dyf兀把^dx。兀 y-兀x3、求微分方程y〃+2y'-3y=e-3x的通解。

4、计算积分I=』(e-x2sinx+3y-cosy)dx+(xsiny—y4)dy,其中l是从点A(—兀,0)沿L曲线y=sinx到点B(兀,0)的弧段。四、解答下列各题(本大题共4小题，每题7分，总计28分，每题要有必要的解题步骤)J ) 八 & d2z1、设z=px2-y2，xy4其中函数f具有二阶连续的偏导数，试求=，--Oo.x d.xdy2、计算曲面积分I二』J2xz2dydz+yY2+1dzdx+3-z3%xdy，其中£为曲面z=x2；y2+1G<z<2)，取下侧。(-1)n-1 (-1)n-13、求幂级数二 x2n的收敛域及和函数，并求数项级数二 的和。2n-1 2n-1n=1 n=14、设f(x)是周期为2兀的周期函数，且f(x)=x(-兀<x<兀)，试将f(x)展开成傅立叶级数。五、解答题(本题《分)已知曲线过点41)，曲线上任一点P(x,y)处的切线交y轴于点Q，以PQ为直径所作的圆均过点F(1,0)，求此曲线的方程。•(1+a)｝收敛。n六、证明题(本题6分)已知正项级数寸an•(1+a)｝收敛。nn=108级解答.一一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，总计15分)1、(A) 2、(C) 3、(D) 4、(C) 5、(B)二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，总计15分)2、手32、手3、-30a34、0<p<15、y+y"-y，-y=0三、解答下列各题(本大题共4小题，每题7分，总计28分,每题要有必要的解题步骤)1、设数量场f(x,y,z)=x2+2y2+3z2-4x-6y-8z+5求：(1)函数f在点(2,1,2)处的梯度。(2)函数f在点(2,1,2)处方向导数:，的最大值。TOC\o"1-5"\h\z解：(1)gradf=(2x-4,4y-6,6z—8)； gradf=h-2,4} 4分_ / 、 (21,2)⑵griradf =2<5，故f在点9,1,2J处方向导数?的最大值为2,5。 7分(2,1,2)2、计算二次积分J2"dyfKsinxdx。8 y-8x解：J28dyfK竺三dx=』8dxJx+Ksinxdy 4分8 y-8x 0 8x二J兀sinxdx=2 7分03、求微分方程y"+2y'-3y=e-3x的通解。特征方程r2+2r-3=0n,=1,r2=-3,对应齐次方程的通解为Y=C1ex+C2e-3x (其中Jq为任意常数) 4分因九二-3是特征根，设特解为y*=Axe-3x，其中a为待定常数，代入原方程，1一一xe-3x4从而得通解y从而得通解y=Cex+Ce-3x—1x-xe-3x44、计算积分I=J(e-x2sinx+3y-cosy)dx+(xsiny-y4)dy，其中l是从点A(-九,0)沿L曲线y=sinx到点B(冗,0)的弧段。解：这里P=e-x2sinx+3y-cosy，Q=xsiny-y4。,apraq .a,apraq .apsq由于k=3+siny,-=siny，可见==-ay ax ay ax记P=e-x2sinx-cosy，则I=JPdx+Qdy+不成立。J3ydx记I+1,则曲线积分I］满足与路径无关的条件，选择与l起终点相同的直线段y=0I二厂(e-x2sinx-1)dx=-2兀，而人=J3ydx=J"3sinxdx=01 -兀 L 一兀故所求积分I=-2几。(12=J3ydx)。L6分四、解答下列各题(本大题共4小题，每题7分，总计28分,每题要有必要的解题步骤)=-4xyf”+2四、解答下列各题(本大题共4小题，每题7分，总计28分,每题要有必要的解题步骤)=-4xyf”+2xx2-2y2f“+xyf”+f,1112 22 27分2、计算曲面积分I=JJ2版2dydz+yQ+1>/+C—z篇dy1、设z二人2-y2,xy)，其中函数f具有二阶连续的偏导数,试求:x1域为。，由Gajs公式，得=J212+2.九(z-1)dz-x1域为。，由Gajs公式，得=J212+2.九(z-1)dz-x2+y2<123=7分3、求幕级数n-1x2n的收敛域及和函数，并数项级数解：ann=1

(-1)n-1(-^—,R=lim

2n—1 -nfs敛域为L1,1］。设s(x)=£x2na

n—an+1n=1£(-1)n-1£后！的和。n=1=1,x=±1时原级数为£(-1)n-1收敛，故此幕级数的收

2n-1n=1，(-1<x<1),则其中2为曲面z=x2+y2+1G<z<2)，取下侧。解：取平面2：z=2，取上侧.则，与2构成封闭曲面，取外侧.令，与2所围空间区

s(x)=£E-1x2n二x.£I"-1x2n-1=x•£Jx(-x2)n-1s(x)2n-1 2n-1 \n=1 n=1 n=10 n=1故立宇;=s(1)=T2n-1 4n=1Jx(£(-x2)n-10 n=1故立宇;=s(1)=T2n-1 4n=14、设f(x)是周期为2兀的周期函数，且f(x)=x(-兀＜x＜兀)，试将f(x)展开成傅立叶级数。解：所给函数满足收敛定理的条件，它在点x(x=(2k+1)兀)处不连续，因此，f(x)的傅立叶级数收敛于兀+(-兀)=0，在连续点x(x丰(2k+1)兀)收敛于f(x)。若不计x=(2k+1)兀，则f(x)是周期为2兀的奇函数。an=0.(n=0,1,2,…)=—fKf=—fKf(x)sinnxdx=—fKxsinnxdx=—(-1)(n+1) (n=1,2,3,•一)n. 1.C1.C (-1)(n+1). 、f(x)=2(sinx-sin2x+sin3x +sinnx+—)2 3 n(xgR,且x丰土兀,士3兀,•…)五、解答题(本题《分)已知曲线过点&1)曲线上任一点P(x,y)处的切线交y轴于点Q,以PQ为直径所作的圆均过点F(1,0)，求此曲线的方程。解：过点P(x,y)的切线方程2分Y-y二y(X-x),令X二0得Y二y-xy,，即Q(0,y-xy，)2分由题意，忸/I2+QfI2;PQI2得(x-1)2+y2+1+(y-xy)2=x2+(xy)2,化简dyy2+1-xdy1 1-x7= ，即下—一y y-1 (Bernoulli方程) 4分dxxydxxx令z=y2，得d--z=2(1-，其通解为z=2x-1+ex2dxxx故原方程通解为y2=2x-1+ex2，又y(1)=1，得e=0。TOC\o"1-5"\h\z所以该曲线的方程为y2=2x-1。 8分六、证明题(本题6分)已知正项级数乞a收敛，证明数列｛(1+a)(1+a)•・(1+a)｝收敛。n 1 2 n证明：记x=(1+a［。+a)・(1+a) …

因正项级数2a收敛，故lim因正项级数2a收敛，故lima=n -nn-80,又lim-(1+"=1,由正项级数比较审敛法的极n—8 an限形式知级数2ln(1+a)也收敛并记其和为sn即lim2nln(1+a)即lim2nln(1+a)ks，于是limInx=sn—8k=1 n-8故数列t(1+a)(1+a>.(1+a,limx=esnn-82高等数学A-2(09级)一、单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中)(本大题共4小题，每小题3分，总计12分)1、函数z=f(x,y)在点(一、单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中)(本大题共4小题，每小题3分，总计12分)1、函数z=f(x,y)在点(x,y)处的偏导数f(x,y),f(x,y)均存在是函数(B)兀Rer3、若区域D为(x-1)2+y2V1，则二重积分(A)JKd0J2cos0F(r,0)dr00(C)J2d0J2cos0F(r,0)dr2(D)2兀Rer化'3。化成累次积分为(-工02其中F(r,0)=f(rcos0,rsin0)-r。(B*-兀(D)2J20d0J2cos00d0J2cos004、设a为常数，则级数二(-1)n|1-(A)条件收敛n=1 '(B)绝对收敛acos-n(C)收敛性与a有关(D)发散0 0 x0 0y0 0z=f(x,y)在点(x0,y0)存在全微分的( )(A)必要而非充分条件° (B)充分而非必要条件(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件2、设E为曲面x2+y2=R2上的0VzV1部分，则曲面积分JJe*+y2dS=(二、填空题(将正确答案填在横线上)(本大题共4小题，每小题3分，总计12分)1、函数f(x,y)=2x2+ax+xy2+2y在点(1,-1)处取得极值，则常数a=2、将JedxJlnxf(x,y)dy交换积分次序得Q-Q-兀<xv0,x,0<xV兀，3、f(x)是以2兀为周期的函数，且在(-兀，兀］上有表达式f(x)=〈S(x)是f(x)的傅立叶级数的和函数，则S(兀)=4、已知某二阶常系数线性齐次微分方程的一个特解为y*=xe2x；则该二阶常系数线性齐次微分方程为。三、解答下列各题(本大题共4小题，每题4分，总计28分,每题要有必要的解题步骤)1、设z=ax3+bx2y+cxy2+dy3，求dz。4、计算J(2y+y3)dx+(4x+3xy2)dy,其中l是沿曲线y=；12从点A(1,0)到B(0,1)的L圆弧。四、解答下列各题(本大题共4小题，每题4分，总计28分，每题要有必要的解题步骤)“ 、 Szd2z1、设z=f(x+y,xy)具有连续的二阶偏导数，求文,--。SxSxSy2、设曲线积分Jyf(x)dx+[2xf(x)-x2]dy在右半平面(x>0)内与路径无关，其中f(x)可导，且f(1)=1,求f(x)。I3、计算瓜(y2-z2)dydz+x2ydzdx+y2zdxdy,其中E是曲面z=Jx2+y2及平面z=1£所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧。4、设f(x)是周期为2冗的周期函数，且f(x)=x(-兀Vx<兀)，试将f(x)展开成傅立叶级数。五、解答下列各题(本大题共2小题，每题7分，总计14分,每题要有必要的解题步骤). 一旦 …1、求幕级数znxn的收敛域及和函数，并计算极限n=1「，1 2 3n、hm(一+——+——++——)(a>1)。nf+8aa2a3 an2、设y=y(x)满足方程y〃-3y'+2y=2"，且其图形在点(0,1)与曲线y=x2-x+1相切，求函数y(x)。六、证明题(本题6分)荣n ,^ 1n设正项数列单调减少，且Z(-1)a发散，证明级数Z( )收敛。n a+1n=1 n=1n09级解答一、单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中)(本大题共4小题，每小题3分，总计12分)TOC\o"1-5"\h\z1、(A) 2、(D) 3、(C) 4、(B)二、填空题(将正确答案填在横线上)(本大题共4小题，每小题3分，总计12分)1、a =_-5_ 2、J1dyJe f(x,y)dx 3、s(兀)=？ 4、y"-4y+4y=00ey 2三、解答下列各题(本大题共4小题，每题4分，总计28分,每题要有必要的解题步骤)1、设z=ax3+bx2y+cxy2+dy3,求dz。Sz Sz—=3ax2+2bxy+cy2, —=bx2+2cxy+3dy2 6分Sx Sy

故dz故dz=(3ax2+2bxy+cy2)dx+(bx2+2cxy+3dy2)dy3、计算二重积分JJy—x2dxdy,其中D:0<x<1,0<y<1。Dy—x2dxdy=J1dxJx2(x2—y)dy+J1dxJ1(y—x2)dyTOC\o"1-5"\h\z0 0 0 x27分J11J,[1/1 ,1 117分=J—x4dx+J(—x2+—x4)dx=——02 02 2 304、计算J(2y+y3)dx+(4x+3xy2)dy，其中L是沿曲线y=』—3从点A(1,0)到B(0,1)的圆弧。LP=2y+y3 Q=4x+3xy2，Py=2+3y2,Qx=4+3y2 Qx—Py=2为了利用格林公式，补加BO+OA，使L+BO+OA成为闭曲线，且为所围区域D的边界曲线的正向。J』LLJ』LL+BO+OABOOA—J—J(2y+y3)dx+(4x+3xy2)dy=JJ=JJ2d。」。ydy-Jixdx=—2D四、解答下列各题(本大题共4小题，总计28分,每题要有必要的解题步骤)SzS2z1、设z=f(x+y,xy)具有连续的二阶偏导数，求k,——。SxSxSy1 2S「Sz1 2S「Sz3分f'+yf‘Lf"+xf"+y(f"+xf")=f"+(x+y)f"+xyf"1 2 11 12 21 22 1112 22 7分2、设曲线积分Jyf(x)dx+[2xf(x)—x2]dy在右半平面(x>0)内与路径无关，其中f(x)可导，且f(1)=1,求f(X)。TOC\o"1-5"\h\zS S由题意，—[yf(X)]=—[2xf(X)-X2]0y o.x化简得f(X)+2xf'(x)=2x 3分, 一、1/23 、dy,1 1y=f(x)= (一x2+c) 八八令y=f(x)，即 +—y=1, 3 ) 6分dx2x vx1,, 1231 2 1又因为f(1)—L得c——,故f(x)=—；=(—x2+—)=—x+—— 7分3 、；x3 3 3 3Vx3、计算JJ(y2-z2)dydz+x2ydzdx+y2zdxdy,其中E是曲面z―vx2+y2及平面z—1z所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧。P—y2-z2,Q—x2yR—y2z.且P+Q+R—x2+y2利用高斯公式，得 XyzTOC\o"1-5"\h\zJJ(y2-z2)dydz+x2ydzdx+y2zdxdy—JJJ(x2+y2)dxdydz 4分E Q=J2兀d©J1rdrf1r2dz—— 7分0 0r 104、设f(X)是周期为2—的周期函数，且f(x)—x(-―<x<—)，试将f(x)展开成傅立叶级数。首先，所给函数满足收敛定理的条件，它在点x(x―(2k+1)—)处不连续，因此，f(x)的傅立叶级数收敛于—十；—―)―0，在连续点x(x中(2k+1)—)收敛于f(x)。 2分若不计x—(2k+1)—，则f(x)是周期为若不计x—(2k+1)—，则f(x)是周期为2—的奇函数。a=0.(n=0,1,2,…)3分——f―f(x)sinnxdx——f―xsinnxdx=2(-1)(〃+1)

n(n—1,2,3，…)故f(x)的傅立叶级数展开式为“、- 1・c1・c (-1)(n+1).f(x)—2(sinx--sin2x+一sin3x