2018高考数学大一轮讲义-坐标系与参数方程文带解析

2018高考数学大一轮讲义--坐标系与参

数方程（文带解析）

第1讲坐标系

最新考纲1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系

伸缩变换作用下平面图形的变化情况；2.了解极坐标的

基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能

进行极坐标和直角坐标的互化；3.能在极坐标系中给出

简单图形表示的极坐标方程.

知识梳理

1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换

φ：x′＝λx（λ＞0），y′＝μy（μ＞0）的作用下，

点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐

标系中的坐标伸缩变换.

2.极坐标系与点的极坐标

(1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O(极点)；

自极点O引一条射线Ox(极轴)；再选定一个长度单位，

一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方

向)，这样就建立了一个极坐标系.

(2)极坐标：平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度

ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画，这两个数组成的有序

数对(ρ，θ)称为点M的极坐标.其中ρ称为点M的极径，

θ称为点M的极角.

3.极坐标与直角坐标的互化

点M直角坐标(x，y)极坐标(ρ，θ)

互化

公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ

ρ2＝x2＋y2

tanθ＝yx(x≠0)

4.圆的极坐标方程

曲线图形极坐标方程

圆心在极点，半径为r的圆

ρ＝r(0≤θ＜2π)

圆心为(r，0)，半径为r的圆

ρ＝2rcosθ

－π2≤θ≤π2

圆心为r，π2，半径为r的圆

ρ＝2rsinθ

(0≤θ＜π)

5.直线的极坐标方程

(1)直线l过极点，且极轴到此直线的角为α，则直线l

的极坐标方程是θ＝α(ρ∈R).

(2)直线l过点M(a，0)且垂直于极轴，则直线l的极坐

标方程为ρcos__θ＝a.

(3)直线过Mb，π2且平行于极轴，则直线l的极坐标方

程为ρsin__θ＝b.

诊断自测

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，

在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系.()

(2)若点P的直角坐标为(1，－3)，则点P的一个极坐标

是2，－π3.()

(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的.()

(4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线.()

答案(1)×(2)√(3)√(4)×

2.若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极

轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方

程为()

A.ρ＝1cosθ＋sinθ，0≤θ≤π2

B.ρ＝1cosθ＋sinθ，0≤θ≤π4

C.ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤π2

D.ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤π4

解析∵y＝1－x(0≤x≤1)，

∴ρsinθ＝1－ρcosθ(0≤ρcosθ≤1)；

∴ρ＝1sinθ＋cosθ0≤θ≤π2.

答案A

3.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半

轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为ρ＝

2sinθ，则曲线C的直角坐标方程为________.

解析由ρ＝2sinθ，得ρ2＝2ρsinθ，所以曲线C的直

角坐标方程为x2＋y2－2y＝0.

答案x2＋y2－2y＝0

4.已知直线l的极坐标方程为2ρsinθ－π4＝2，点A

的极坐标为A22，7π4，求点A到直线l的距离.

解由2ρsinθ－π4＝2，得2ρ22sinθ－22cosθ＝2，

∴y－x＝1.

由A22，7π4，得点A的直角坐标为(2，－2).

∴点A到直线l的距离d＝|2＋2＋1|2＝522.

5.(2015江苏卷)已知圆C的极坐标方程为ρ2＋

22ρsinθ－π4－4＝0，求圆C的半径.

解以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极

轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.

圆C的极坐标方程化为ρ2＋22ρ22sinθ－22cosθ－4

＝0，化简，得ρ2＋2ρsinθ－2ρcosθ－4＝0.

则圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0，

∴(x－1)2＋(y＋1)2＝6，因此圆C的半径为6.

考点一平面直角坐标系中的伸缩变换

【例1】将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵

坐标变为原来的2倍，得曲线C.

(1)求曲线C的标准方程；

(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐

标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过

线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.

解(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C

上点(x，y)，

依题意，得x＝x1，y＝2y1，

由x21＋y21＝1得x2＋y22＝1，

故曲线C的方程为x2＋y24＝1.

(2)由x2＋y24＝1，2x＋y－2＝0解得x＝1，y＝0或x＝

0，y＝2.

不妨设P1(1，0)，P2(0，2)，

则线段P1P2的中点坐标为12，1，所求直线斜率为k＝12，

于是所求直线方程为y－1＝12x－12，

化为极坐标方程，并整理得2ρcosθ－4ρsinθ＝－3，

故所求直线的极坐标方程为ρ＝34sinθ－2cosθ.

规律方法(1)解答该类问题应明确两点：一是根据平面直

角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变

换前的点P(x，y)与变换后的点P′(x′，y′)的坐标关

系，用方程思想求解.

(2)求交点坐标，得直线方程，最后化为极坐标方程，其

实质是将x＝ρcosθ，y＝

ρsinθ代入转化.

【训练1】在平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：x′

＝3x，2y′＝y.

(1)求点A13，－2经过φ变换所得点A′的坐标；

(2)求直线l：y＝6x经过φ变换后所得直线l′的方程.

解(1)设点A′(x′，y′)，由伸缩变换φ：x′＝3x，

2y′＝y，

得x′＝3x，y′＝y2，∴x′＝13×3＝1，y′＝－22＝

－1.

∴点A′的坐标为(1，－1).

(2)设P′(x′，y′)是直线l′上任意一点.

由伸缩变换φ：x′＝3x，2y′＝y，得x＝x′3，y＝

2y′.

代入y＝6x，得2y′＝6x′3＝2x′，

∴y′＝x′为所求直线l′的方程.

考点二极坐标与直角坐标的互化

【例2】(2016北京卷改编)在极坐标系中，已知极坐标方

程C1：ρcosθ－3ρsinθ－1＝0，C2：ρ＝2cosθ.

(1)求曲线C1，C2的直角坐标方程，并判断两曲线的形

状；

(2)若曲线C1，C2交于A，B两点，求两交点间的距离.

解(1)由C1：ρcosθ－3ρsinθ－1＝0，

∴x－3y－1＝0，表示一条直线.

由C2：ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ.

∴x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1.

所以C2是圆心为(1，0)，半径r＝1的圆.

(2)由(1)知，点(1，0)在直线x－3y－1＝0上，

所以直线C1过圆C2的圆心.

因此两交点A，B的连线段是圆C2的直径.

所以两交点A，B间的距离|AB|＝2r＝2.

规律方法(1)进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键

是抓住互化公式；x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，ρ2＝x2＋

y2，tanθ＝yx(x≠0).

(2)进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意ρ，

θ的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，

并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平

方法等技巧.

【训练2】(2015全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，直线

C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原

点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求C1，C2的极坐标方程；

(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，设C2与

C3的交点为M，N，求△C2MN的面积.

解(1)因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以C1的极坐标

方程为ρcosθ＝－2，

C2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0.

(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，

得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝2.

故ρ1－ρ2＝2，即|MN|＝2.

由于C2的半径为1，则易得△C2MN为直角三角形，

所以△C2MN的面积为S＝12×12＝12.

考点三直线与圆的极坐标方程的应用

【例3】(2016全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1

的参数方程为x＝acost，y＝1＋asint(t为参数，a0).

在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，

曲线C2：ρ＝4cosθ.

(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方

程；

(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足

tanα0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.

解(1)消去t，得C1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2，

∴曲线C1表示以点(0，1)为圆心，a为半径的圆.

将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入C1的普通方程中，得到

C1的极坐标方程为ρ2－

2ρsinθ＋1－a2＝0.

(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组

ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0，ρ＝4cosθ.

若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sinθcosθ＋1－a2

＝0，由已知tanθ＝2，可得16cos2θ－8sinθcosθ＝

0，从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)，a＝1.

当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上.

所以a＝1.

规律方法(1)第(1)题将曲线C1的参数方程先化成普通方

程，再化为极坐标方程，考查学生的转化与化归能力.第

(2)题中关键是理解极坐标方程的含义，消去ρ，建立

与直线C3：θ＝α0的联系，进而求a.

(2)由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果

不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然

后求解.

【训练3】在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为

ρsinθ＋π4＝1，圆C的圆心的极坐标是C1，π4，圆

的半径为1.

(1)求圆C的极坐标方程；

(2)求直线l被圆C所截得的弦长.

解(1)设O为极点，OD为圆C的直径，A(ρ，θ)为圆C

上的一个动点，则∠AOD＝π4－θ或∠AOD＝θ－π4，

|OA|＝|OD|cosπ4－θ或|OA|＝|OD|cosθ－π4.

所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ－π4.

(2)由ρsinθ＋π4＝1，得22ρ(sinθ＋cosθ)＝1，

∴直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0，

又圆心C的直角坐标为22，22满足直线l的方程，

∴直线l过圆C的圆心，

故直线被圆所截得的弦长为直径2.

[思想方法]

1.曲线的极坐标方程化成直角坐标方程：对于简单的我

们可以直接代入公式ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，ρ2＝

x2＋y2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同

时平方，两边同时乘以ρ等.

2.直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)的步骤：

(1)运用ρ＝x2＋y2，tanθ＝yx(x≠0)；

(2)在[0，2π)内由tanθ＝yx(x≠0)求θ时，由直角坐

标的符号特征判断点所在的象限(即θ的终边位置).

[易错防范]

1.确定极坐标方程，极点、极轴、长度单位、角度单位

及其正方向，四者缺一不可.

2.平面上点的直角坐标的表示形式是唯一的，但点的极

坐标的表示形式不唯一.当规定ρ≥0，0≤θ＜2π，使

得平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的，但仍然

不包括极点.

3.进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，应注意两点：

(1)注意ρ，θ的取值范围及其影响.

(2)重视方程的变形及公式的正用、逆用、变形使用.

(建议用时：60分钟)

1.在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：

ρsinθ－π4＝22.

(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；

(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极

坐标.

解(1)圆O：ρ＝cosθ＋sinθ，即ρ2＝ρcosθ＋

ρsinθ，

圆O的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y，

即x2＋y2－x－y＝0，

直线l：ρsinθ－π4＝22，

即ρsinθ－ρcosθ＝1，

则直线l的直角坐标方程为：y－x＝1，即x－y＋1＝0.

(2)由x2＋y2－x－y＝0，x－y＋1＝0，得x＝0，y＝1，

故直线l与圆O公共点的一个极坐标为1，π2.

2.(2017贵阳调研)以直角坐标系中的原点O为极点，x

轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程

为ρ＝21－sinθ.

(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)过极点O作直线l交曲线于点P，Q，若|OP|＝3|OQ|，

求直线l的极坐标方程.

解(1)∵ρ＝x2＋y2，ρsinθ＝y，

∴ρ＝21－sinθ化为ρ－ρsinθ＝2，

∴曲线的直角坐标方程为x2＝4y＋4.

(2)设直线l的极坐标方程为θ＝θ0(ρ∈R)，

根据题意21－sinθ0＝321－sin（θ0＋π），

解得θ0＝π6或θ0＝5π6，

直线l的极坐标方程θ＝π6(ρ∈R)或θ＝5π6(ρ∈R).

3.在极坐标系中，求曲线ρ＝2cosθ关于直线θ＝π4

对称的曲线的极坐标方程.

解以极点为坐标原点，极轴为x轴建立直角坐标系，则

曲线ρ＝2cosθ的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，且

圆心为(1，0).直线θ＝π4的直角坐标方程为y＝x，因

为圆心(1，0)关于y＝x的对称点为(0，1)，

所以圆(x－1)2＋y2＝1关于y＝x的对称曲线为x2＋(y

－1)2＝1.

所以曲线ρ＝2cosθ关于直线θ＝π4对称的曲线的极

坐标方程为ρ＝2sinθ.

4.在极坐标系中，已知圆C的圆心C3，π3，半径r＝3.

(1)求圆C的极坐标方程；

(2)若点Q在圆C上运动，点P在OQ的延长线上，且OQ→

＝2QP→，求动点P的轨迹方程.

解(1)设M(ρ，θ)是圆C上任意一点.

在△OCM中，∠＝θ－π3，由余弦定理得

|CM|2＝|OM|2＋|OC|2－2|OM||OC|cosθ－π3，

化简得ρ＝6cosθ－π3.

(2)设点Q(ρ1，θ1)，P(ρ，θ)，

由OQ→＝2QP→，得OQ→＝23OP→，

∴ρ1＝23ρ，θ1＝θ，

代入圆C的方程，得

23ρ＝6cosθ－π3，即ρ＝9cosθ－π3.

5.(2015全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1：x＝

tcosα，y＝tsinα(t为参数，t≠0)，其中0≤α＜π.

在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：

ρ＝

2sinθ，C3：ρ＝23cosθ.

(1)求C2与C3交点的直角坐标；

(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|

的最大值.

解(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3

的直角坐标方程为x2＋y2－23x＝0.

联立x2＋y2－2y＝0，x2＋y2－23x＝0，解得x＝0，y＝

0或x＝32，y＝32.

所以C2与C3交点的直角坐标为(0，0)和32，32.

(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，

其中0≤α＜π.

因此A的极坐标为(2sinα，α)，B的极坐标为(23cosα，

α).

所以|AB|＝|2sinα－23cosα|＝4sinα－π3.

当α＝5π6时，|AB|取得最大值，最大值为4.

6.(2017唐山质检)已知曲线C1：x＋3y＝3和C2：x＝

6cosφ，y＝2sinφ(φ为参数).以原点O为极点，x轴的

正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同

的长度单位.

(1)把曲线C1和C2的方程化为极坐标方程；

(2)设C1与x，y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为

P.若射线OP与C1，C2交于P，Q两点，求P，Q两点间的

距离.

解(1)曲线C1化为ρcosθ＋3ρsinθ＝3.

∴ρsinθ＋π6＝32.

曲线C2化为x26＋y22＝1(*)

将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入(*)式

得ρ26cos2θ＋ρ22sin2θ＝1，即ρ2(cos2θ＋

3sin2θ)＝6.

∴曲线C2的极坐标方程为ρ2＝61＋2sin2θ.

(2)∵M(3，0)，N(0，1)，∴P32，12，

∴OP的极坐标方程为θ＝π6，

把θ＝π6代入ρsinθ＋π6＝32，得ρ1＝1，P1，π6.

把θ＝π6代入ρ2＝61＋2sin2θ，得ρ2＝2，Q2，π6.

∴|PQ|＝|ρ2－ρ1|＝1，即P，Q两点间的距离为1.

第2讲参数方程

最新考纲1.了解参数方程，了解参数的意义；2.能选择

适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.

知识梳理

1.曲线的参数方程

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的

坐标x，y都是某个变数t的函数x＝f（t），y＝g（t）

并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点

M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲

线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简

称参数.

2.参数方程与普通方程的互化

通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数

x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入

普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那

么x＝f（t），y＝g（t）就是曲线的参数方程.在参数方

程与普通方程的互化中，必须使用x，y的取值范围保持

一致.

3.常见曲线的参数方程和普通方程

点的轨迹普通方程参数方程

直线y－y0＝tanα(x－x0)x＝x0＋tcosα，y＝y0＋

tsinα(t为参数)

圆x2＋y2＝r2x＝rcosθ，y＝rsinθ(θ为参数)

椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)

x＝acosφ，y＝bsinφ(φ为参数)

温馨提醒直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1

时，t才有几何意义且几何意义为：|t|是直线上任一点

M(x，y)到M0(x0，y0)的距离.

诊断自测

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)参数方程y＝f（t），y＝g（t）中的x，y都是参数t

的函数.()

(2)过M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为x

＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数).参数t的几何

意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)

为终点的有向线段M0M→的数量.()

(3)方程x＝2cosθ，y＝1＋2sinθ表示以点(0，1)为圆

心，以2为半径的圆.()

(4)已知椭圆的参数方程x＝2cost，y＝4sint(t为参数)，

点M在椭圆上，对应参数t＝π3，点O为原点，则直线

OM的斜率为3.()

答案(1)√(2)√(3)√(4)×

2.曲线x＝－1＋cosθ，y＝2＋sinθ(θ为参数)的对称

中心()

A.在直线y＝2x上

B.在直线y＝－2x上

C.在直线y＝x－1上

D.在直线y＝x＋1上

解析由x＝－1＋cosθ，y＝2＋sinθ，得cosθ＝x＋1，

sinθ＝y－2.

所以(x＋1)2＋(y－2)2＝1.

曲线是以(－1，2)为圆心，1为半径的圆，

所以对称中心为(－1，2)，在直线y＝－2x上.

答案B

3.在平面直角坐标系中，曲线C：x＝2＋22t，y＝1＋

22t(t为参数)的普通方程为________.

解析消去t，得x－y＝1，即x－y－1＝0.

答案x－y－1＝0

4.在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正

半轴为极轴建立极坐标系.曲线C1的极坐标方程为

ρ(cosθ＋sinθ)＝－2，曲线C2的参数方程为x＝t2，

y＝22t(t为参数)，则C1与C2交点的直角坐标为

________.

解析由ρ(cosθ＋sinθ)＝－2，得x＋y＝－2.①

又x＝t2，y＝22t消去t，得y2＝8x②

联立①，②得x＝2，y＝－4，即交点坐标为(2，－4).

答案(2，－4)

5.(2016江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l

的参数方程为x＝1＋12t，y＝32t(t为参数)，椭圆C的

参数方程为x＝cosθ，y＝2sinθ(θ为参数).设直线l

与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长.

解椭圆C的普通方程为x2＋y24＝1.

将直线l的参数方程x＝1＋12t，y＝32t代入x2＋y24＝

1，

得1＋12t2＋32t24＝1，即7t2＋16t＝0，解得t1＝0，

t2＝－167.

所以|AB|＝|t1－t2|＝167.所以线段AB的长为167.

考点一参数方程与普通方程的互化

【例1】已知直线l的参数方程为x＝a－2t，y＝－4t(t

为参数)，圆C的参数方程为x＝4cosθ，y＝4sinθ(θ

为参数).

(1)求直线l和圆C的普通方程；

(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围.

解(1)直线l的普通方程为2x－y－2a＝0，

圆C的普通方程为x2＋y2＝16.

(2)因为直线l与圆C有公共点，

故圆C的圆心到直线l的距离d＝|－2a|5≤4，

解得－25≤a≤25.

规律方法(1)将参数方程化为普通方程，消参数常用代入

法、加减消元法、三角恒等变换消去参数.

(2)把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，

并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的

影响，一定要保持同解变形.

【训练1】在平面直角坐标系xOy中，若直线l：x＝t，y

＝t－a(t为参数)过椭圆C：x＝3cosφ，y＝2sinφ(φ

为参数)的右顶点，求常数a的值.

解直线l的普通方程为x－y－a＝0，

椭圆C的普通方程为x29＋y24＝1，

∴椭圆C的右顶点坐标为(3，0)，若直线l过(3，0)，则

3－a＝0，∴a＝3.

考点二参数方程及应用

【例2】(2014全国Ⅰ卷)已知曲线C：x24＋y29＝1，直

线l：x＝2＋t，y＝2－2t(t为参数).

(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；

(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交

l于点A，求|PA|的最大值与最小值.

解(1)曲线C的参数方程为x＝2cosθy＝3sinθ(θ为参

数).

直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.

(2)曲线C上任意一点P(2cosθ，3sinθ)到l的距离为

d＝55|4cosθ＋3sinθ－6|，

则|PA|＝dsin30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为

锐角，且tanα＝43.

当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为

2255.

当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为255.

规律方法(1)解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一

般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解

决问题.

(2)对于形如x＝x0＋at，y＝y0＋bt(t为参数)，当a2＋

b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解

题.

【训练2】(2017石家庄质检)平面直角坐标系xOy中，曲

线C：(x－1)2＋y2＝1.直线l经过点P(m，0)，且倾斜角

为π6.

(1)求圆C和直线l的参数方程；

(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|PA||PB|＝1，

求实数m的值.

解(1)由曲线C：(x－1)2＋y2＝1.

得参数方程为x＝1＋cosθ，y＝sinθ(θ为参数).

直线l的参数方程为x＝m＋32t，y＝12t(t为参数).

(2)设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，

将直线l的参数方程代入x2＋y2＝2x中，

得t2＋(3m－3)t＋m2－2m＝0，所以t1t2＝m2－2m，

由题意得|m2－2m|＝1，得m＝1，m＝1＋2或m＝1－2.

考点三参数方程与极坐标方程的综合应用

【例3】(2016全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1

的参数方程为x＝3cosα，y＝sinα(α为参数)，以坐

标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，

曲线C2的极坐标方程为ρsinθ＋π4＝22.

(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；

(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此

时P的直角坐标.

解(1)曲线C1的普通方程为x23＋y2＝1.

又曲线C2：ρsinθ＋π4＝22.所以ρsinθ＋ρcosθ

＝4.

因此曲线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.

(2)由题意，可设点P的直角坐标为(3cosα，sinα).因

为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)

的最小值.

d(α)＝|3cosα＋sinα－4|2＝2sinα＋π3－2，

当且仅当α＝2kπ＋π6(k∈Z)时，d(α)取得最小值，

最小值为2，此时P的直角坐标为32，12.

规律方法(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解

的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.

当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.

(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何

意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到

化繁为简的解题目的.

【训练3】在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程x＝1

＋cosφ，y＝sinφ(φ为参数).以O为极点，x轴的非负

半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求圆C的极坐标方程；

(2)直线l的极坐标方程是ρ(sinθ＋3cosθ)＝33，射

线OM：θ＝π3与圆C的交点为O，P，与直线l的交点

为Q，求线段PQ的长.

解(1)圆C的普通方程是(x－1)2＋y2＝1，又x＝ρcosθ，

y＝ρsinθ，所以圆C的极坐标方程是ρ＝2cosθ.

(2)设(ρ1，θ1)为点P的极坐标，

则有ρ1＝2cosθ1，θ1＝π3，解得ρ1＝1，θ1＝π3.

设(ρ2，θ2)为点Q的极坐标，

则有ρ2（sinθ2＋3cosθ2）＝33，θ2＝π3，解得ρ2

＝3，θ2＝π3.

由于θ1＝θ2，所以|PQ|＝|ρ1－ρ2|＝2.

所以线段PQ的长度为2.

[思想方法]

1.参数方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加

减消元、平方后加减消元等，经常用到公式：cos2θ＋

sin2θ＝1，1＋tan2θ＝1cos2θ.

2.利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常

简捷方便，是我们解决这类问题的好方法.

3.将参数方程化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标

方程，化生为熟，体现了化归与转化思想.

[易错防范]

1.将参数方程化为普通方程，在消参数的过程中，要注

意x，y的取值范围，保持等价转化.

2.确定曲线的参数方程时，一定要根据实际问题的要求

确定参数的取值范围，必要时通过限制参数的范围去掉

多余的解.

(建议用时：60分钟)

1.(2017合肥调研)在直角坐标系xOy中，曲线C：x＝

2cosα＋1，y＝2sinα＋1(α为参数)，在以O为极点，

x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l：ρsinθ

＋ρcosθ＝m.

(1)若m＝0时，判断直线l与曲线C的位置关系；

(2)若曲线C上存在点P到直线l的距离为22，求实数m

的取值范围.

解(1)曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，

是一个圆；

直线l的直角坐标方程为x＋y＝0，

圆心C到直线l的距离为d＝|1＋1|12＋12＝2＝r，

所以直线l与圆C相切.

(2)由已知可得，圆心C到直线l的距离为d＝|1＋1－

m|12＋12≤322，解得－1≤m≤5.

所以实数m的取值范围为[－1，5].

2.在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为x＝

4cosθ，y＝4sinθ(θ为参数)，直线l经过点P(1，2)，

倾斜角α＝π6.

(1)写出圆C的普通方程和直线l的参数方程；

(2)设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA||PB|的值.

解(1)由x＝4cosθ，y＝4sinθ消去θ，

得圆C的普通方程为x2＋y2＝16.

又直线l过点P(1，2)，且倾斜角α＝π6.

所以l的参数方程为x＝1＋tcosπ6，y＝2＋tsinπ6.

即x＝1＋32t，y＝2＋12t(t为参数).

(2)把直线l的参数方程x＝1＋32t，y＝2＋12t代入x2

＋y2＝16，

得1＋32t2＋2＋12t2＝16，t2＋(3＋2)t－11＝0，

所以t1t2＝－11.

由参数方程的几何意义，|PA||PB|＝|t1t2|＝11.

3.(2016全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为

(x＋6)2＋y2＝25.

(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，

求C的极坐标方程；

(2)直线l的参数方程是x＝tcosα，y＝tsinα(t为参

数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝10，求l的斜率.

解(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得圆C的极坐标方程

为ρ2＋12ρcosθ＋11＝0.

(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为

θ＝α(ρ∈R).

设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方

程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcosα＋11＝0.

于是ρ1＋ρ2＝－12cosα，ρ1ρ2＝11.

|AB|＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2＝14