2021北京清华附中高二（下）期中数学试题及答案解析

2/22021北京清华附中高二（下）期中数学一、选择题（共10小题；共40分）1．（4分）已知集合，，则A． B． C．， D．，2．（4分）已知等比数列的各项均为正数，且，则A． B．5 C．10 D．153．（4分）已知为偶函数，其局部图象如图所示，那么A．（2） B．（2） C．（2） D．（2）4．（4分）已知等差数列，则“”是“数列为单调递增数列”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．（4分）从1，2，3，4，5，6，7，8中不放回地依次取2个数，事件“第一次取到的是奇数”，“第二次取到的是奇数”，则A． B． C． D．6．（4分）设变量与有如表五组数据：由散点图可知，与之间有较好的线性相关关系，已知其线性回归方程是，则123454.54232.5A．4.4 B．4.5 C．4.6 D．4.77．（4分）设抛物线的焦点为，为坐标原点，是上一点．若，则A． B．5 C． D．

8．（4分）函数，的部分图象如图所示，则A． B． C． D．9．（4分）某班上午有五节课，计划安排语文、数学、英语、物理、化学各一节，要求语文与化学相邻，且数学不排第一节，则不同排法的种数为A．24 B．36 C．42 D．4810．（4分）斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方法画出：如图，在黄金矩形中作边长为1的正方形，以为圆心，长为半径作圆弧；然后在矩形中作正方形，以为圆心，长为半径作圆弧；；如此继续下去，这些圆弧就连成了斐波那契螺线．记圆弧，，的长度分别为，，，则A． B． C． D．二、填空题（共5小题；共25分）11．（5分）设复数满足，为虚数单位，则．12．（5分）在展开式中，常数项为．（用数值表示）

13．（5分）某学生为了研究高二年级同学的体质健康成绩与学习成绩的关系，从高二年级同学中随机抽取30人，统计其体质健康成绩和学习成绩，得到列联表如表：体质健康成绩高体质健康成绩低总计学习成绩高17219学习成绩低3811总计201030有的把握认为学生的体质健康成绩高低与学习成绩高低有关．附：．0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82814．（5分）如图，在直三棱柱中，，，点、、分别是、、的中点，点是上的动点．若，则线段长度为．15．（5分）从到通信，网络速度提升了40倍．其中香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率取决于信道带宽、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．根据香农公式，以下说法正确的是．①若不改变信噪比，而将信道带宽增加倍，则增加倍．②若不改变信道带宽和信道内信号的平均功率，而将高斯噪声功率降低为原来的一半，则增加一倍．③若不改变带宽，而将信噪比从15提升至127，增加了．④若不改变带宽，要使得增加一倍，则需要将信噪比从63提升至1023．三、解答题（共6小题；共85分）16．在中，，，且，再从条件①、条件②中选择一个作为已知，条件①：；条件②：．求：（Ⅰ）的值；（Ⅱ）的面积．17．为了解果园某种水果产量情况，随机抽取100个水果测量质量，样本数据分组为，，，，，，，，，，，（单位：克），其频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）用分层抽样的方法从样本里质量在，，，的水果中抽取6个，求质量在，的水果数量；（Ⅱ）从（Ⅰ）中得到的6个水果中随机抽取3个，记为质量在，的水果数量，求的分布列和数学期望；（Ⅲ）果园现有该种水果约20000个，其等级规格及销售价格如表所示，质量（单位：克）等级规格二等一等特等价格（元个）4710试估计果园该种水果的销售收入．18．在等差数列中，，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列是首项为1，公比为的等比数列，求的前项和．

19．已知：函数．（Ⅰ）若，求曲线在点，处的切线方程；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）在区间，上的满足，求的取值范围．20．已知椭圆．（Ⅰ）求椭圆的离心率和长轴长．（Ⅱ）已知直线与椭圆有两个不同的交点，，为轴上一点．是否存在实数，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出的值及点的坐标；若不存在，说明理由．21．定义数列如下：，对任意的正整数，有．（Ⅰ）写出，，，的值；（Ⅱ）证明：对任意的正整数，都有；（Ⅲ）是否每一个非负整数都在数列出现？证明你的结论．

2021北京清华附中高二（下）期中数学参考答案一、选择题（共10小题；共40分）1．【分析】进行交集的运算即可．【解答】解：，，．故选：．【点评】本题考查了集合的描述法和区间的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2．【分析】由题意利用等比数列的性质可得，进而根据对数的运算化简即可得解．【解答】解：因为等比数列的各项均为正数，且，则．故选：．【点评】本题主要考查了等比数列的性质以及对数的运算，属于基础题．3．【分析】根据题意，由函数的图象可得，结合函数的奇偶性可得答案．【解答】解：根据题意，由函数的图象可得，又由函数为偶函数，则（2）；故选：．【点评】本题考查函数奇偶性的性质应用，涉及函数的图象分析，属于基础题．4．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：在等差数列中，若，则，即数列为单调递增数列，若数列为单调递增数列，则，成立，即“”是“数列为单调递增数列”充分必要条件，故选：．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，等差数列的性质是解决本题的关键．5．【分析】事件“第一次取到的是奇数”，“第二次取到的是奇数”，求出（A）和，再由，求出．【解答】解：从1，2，3，4，5，6，7，8中不放回地依次取2个数，事件“第一次取到的是奇数”，“第二次取到的是奇数”，则（A），，所以．故选：．【点评】本题考查条件概率的求法，考查运算求解能力，是基础题．6．【分析】求出样本中心坐标，代入回归直线方程，推出结果．【解答】解：，，线性回归方程是，所以．故选：．【点评】本题考查回归直线的简单性质的应用，是基础题．7．【分析】根据抛物线方程求得抛物线的准线方程与焦点坐标，利用，求得点的横坐标，然后求解距离即可．【解答】解：抛物线的准线方程为：，焦点，又为上一点，，，代入抛物线方程得：，．故选：．【点评】本题考查了抛物线的定义及几何性质，熟练掌握抛物线上的点所迷住的条件是解题的关键，是基础题．8．【分析】直接根据函数的图象求出函数的关系式中的三个变量，进一步求出函数的解析式，最后求出的值．【解答】解：根据函数的图象可知，因为，所以，所以，当时，，由于，解得．所以，故．故选：．【点评】本题考查三角函数的图象和性质，考查运算能力，属于基础题．9．【分析】由排列组合中的捆绑问题得：不同排法的种数为，得解．【解答】解：先将语文与化学捆绑在一起，作为一个元素，再将四个元素全排，再减去数学排第一节的排法即可即不同排法的种数为，故选：．【点评】本题考查了排列组合中的捆绑问题，属中档题．10．【分析】由题意先求出圆弧的半径，进而根据圆的周长公式即可计算得解．【解答】解：由题意可得，因为，可得，所以，因为，所以，同理，可得，可得，可得，所以，故选：．【点评】本题考查了新定义问题，“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解．二、填空题（共5小题；共25分）11．【分析】把给出的等式的两边同时乘以，然后运用复数的除法化简运算．【解答】解：由，得：．故答案为．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，此题是基础题．12．【分析】利用二项式展开式的通项公式，令的指数为0，求出的值，再求展开式的常数项．【解答】解：二项式，其展开式的通项公式为：，当时，得，所以展开式的常数项为：．故答案为：．【点评】本题考查了利用二项式展开式的通项公式求常数项的应用问题，是基础题目．13．【分析】由列联表中数据计算，对照附表得出结论．【解答】解：由列联表中数据，计算，所以有的把握认为学生的体质健康成绩高低与学习成绩高低有关．故答案为：．【点评】本题考查了列联表与独立检验的应用问题，是基础题．14．【分析】建立合适的空间直角坐标系，设，，，求出，，点的坐标，利用，求出的坐标，然后由两点间距离公式求解即可．【解答】解：在直三棱柱中，，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，因为，点、、分别是、、的中点，点是上的动点，设，，，，0，，，2，，，0，，所以，又，所以，解得，则，，，所以．故答案为：．【点评】本题考查了空间中距离问题的求解，空间向量垂直的坐标表示，两点间距离公式的运用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．15．【分析】根据已知公式对应各个选项逐个求解即可判断正误．【解答】解：对于①：若不改变信噪比，而将信道带宽增加倍，即，则增加倍，①正确，对于②：若不改变信道带宽和信道内信号的平均功率，而将高斯噪声功率降低为原来的一半，即，②错误，对于③：若不改变带宽，而将信噪比从15提升至127，则，所以增加了，故③错误，对于④：若不改变带宽，若将信噪比从63提升至1023，则，即增加了约，没有增加1倍，故④错误，故答案为：①．【点评】本题考查了函数的实际应用，涉及到对数的运算性质，考查了学生的运算能力，属于中档题．三、解答题（共6小题；共85分）16．【分析】若选①，（Ⅰ）在三角形中利用正弦定理、余弦定理可得，的值，再由，关系可得的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）即三角形的面积公式求出三角形的面积；若选②，（Ⅰ）由正弦定理可得，，的关系，再由余弦定理可得，，的关系，再由角的余弦值可得的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）即三角形的面积公式求出三角形的面积．【解答】解：选条件①：．（Ⅰ）在中，因为，所以，因为，且，，，所以，化简得，解得，或4．当时，，与题意矛盾，所以，所以．（Ⅱ）因为，，所以，所以．选条件②：．（Ⅰ）在中，因为，，所以由，得，因为，且，，，所以，解得．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以，因为，，所以．所以．【点评】本题考查了正弦定理，余弦定理和三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．17．【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图得到质量在，，，的该水果的频率，按照比例抽取即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）得到的所有可能取值，再分别求得其相应的概率，列出分布列，再求期望即可；（Ⅲ）根据频率分布直方图，得到该水果的频率，然后估计20000个水果中各等级的个数，求解即可．【解答】解：（Ⅰ）质量在，，，的该种水果的频率分别为，，其比为，所以按分层抽样从质量在，，，的这种水果中随机抽取6个，质量在，的该种水果有4个；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，6个水果中有2个质量在，，所以的所有可能取值为0，1，2，，，，所以的分布列为：所以；（Ⅲ）二等品的频率为，一等品的频率为，特等品的频率为，则20000个水果中共有二等品4000个，一等品11000个，特等品有5000个，则销售收入约为元．【点评】本题考查了离散型随机变量及其分布列、频率分布直方图的相关知识，也考查了学生处理数据的能力．解题的关键是正确读取频率分布直方图中的信息．18．【分析】（Ⅰ）设出等差数列的首项与公差，由已知列方程组求得首项与公差，则数列的通项公式可求；（Ⅱ）写出数列的通项公式，可得的通项公式，对分类，再由数列的分组求和及等差数列与等比数列的前项和公式求解．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列的首项为，公差为，由，，得，解得，；（Ⅱ）数列是首项为1，公比为的等比数列，，则，．若，则；若，则．又．．【点评】本题考查等差数列、等比数列的通项公式与前项和，考查分类讨论思想，考查运算求解能力，是中档题．19．【分析】（Ⅰ）时，利用导数的几何意义可求得曲线在点，处的切线的斜率及的值，由直线方程的点斜式可得答案；（Ⅱ）令，可得其递增区间，，可得其递减区间；（Ⅲ），，恒成立恒成立，法一：分、及三类讨论，可求得的取值范围；法二：若，则存在，，使得，，故必有，，不存在，再构造函数，求导分析可得答案．【解答】解：（Ⅰ）若，则，，所以，又，所以曲线在点，处的切线方程为，即；（Ⅱ），当或时，，在和单调递减；当时，，在单调递增；所以的递减区间为和，递增区间为；（Ⅲ），，恒成立恒成立，法一：由题设知，，①当时，，由，得，令，则，故在区间，上单调递增，，所以，即，于是，；②当时，，由得，即，与矛盾；③当时，恒成立，符号不确定，故不符合题意；综上所述，，．法二：若，则存在，，使得，，若，不存在，故必有．当时，，由，得，令，则，故在区间，上单调递增，，所以，即，于是，；综上所述，，．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查等价转化思想与分类讨论思想的综合运用，考查逻辑推理与数学运算的核心素养，属于难题．20．【分析】（Ⅰ）直接根据椭圆方程得答案；（Ⅱ）联立直线与椭圆方程，消后由韦达定理可得，，进而得到，，再求得直线的垂直平分线，由此可求得点，再根据，建立关于的方程，解该方程即可作出结论．【解答】解：（Ⅰ）椭圆可得，，故离心率为，长轴长为4；（Ⅱ）设，