全国高考数学复习微专题直线的方程与性质

一、基础知识：（一）直线的要素与方程：1、倾斜角：若直l与相交，则以轴正方向为始边，绕交点逆时针转直至l重所成的角称为直线

l

的倾斜角，通常用

,

表示（1）若直线与

轴平行（或重合倾角为

（2）倾斜角的取值范围

0,

2、斜率：设直线的倾斜角为

，则

的正切值称为直线的斜率，记为

ktan

（1）当

2

时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的（2）所有的直线均有倾斜角，是不是所有的直线均有斜率（3）斜率与倾斜角都是刻画直的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系）（4）越大，直线越陡峭（5）斜率k的法：已知直线上任意点

Ay12

y2121

，即直线的斜率是确定的，与所取的点无关。3、截距：若直线

l

与坐标轴分别交于

，则称

,

分别为直线

l

的横截距，纵截距（1）截距：可视为直线与坐标交点的简记形式，其取值可正，可负，可0（不要顾名思义误认为与“距离”相关）（2）横纵截距均为0的线为过原点的非水平非竖直直线4、直线方程的五种形式：首先直角坐标系中确定一条直线有两种方法：一种是已知直线上一点与直线的方（斜率一种是已知两两确定一条直线线方程的形式与这两种方法有关（1）一点一方向：①点式：已知直线

l

的斜率

，直线上一点

Py

，则直线

l

的方程为：

证明：设直线

l

上任意一点

y

，根据斜率计算公式可得k

y00

，所以直线上的每一点都应满足：

，即为直线方程②斜式：已知直线l的斜率，截距b，直线l的程为：

ykx证明：由纵截距为

可得直线与

y

轴交点为

，从而利用点斜式得：

化简可得：

ykx（2）两点确定一条直线：③两式：已知直线

l

上的两点

y1

，则直线

l

的方程为：yx2yx12④截式：若直线l横纵截距分别为

ab

，则直线l的程：

yab证明：从已知截距可得：直线上两点

bb0abxl:aba⑤一式：由前几类直线方程可知：直线方程通常由

x,y

的一次项与常数项构成，所以可将直线的通式写为：

Ax,不时为0形称为直线的一般式一般式方程的作用：可作为直线方程的最终结果可用于判定直线的平行垂直关系点到直线距离公式与平行线间距离公式需要用直线的一般式、五种直线形式所不能表示的直线：（1点斜式，斜截式：与斜率相关，所以无法表示斜率不存在的直线（即竖直线）（2截距式：①截距全的直线：水平线，竖直线②截为直线：过原点的直线、求曲线（或直线）方程的方法：在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方的思路通常有两种：（1直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率（2间法若题目条件与所求要素联系不密考虑先利用待定系数法设出曲线方程，

然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致）（二）直线位置关系：、在解析几何中直线的位置关系有三种：平行，相交（包含垂直合如果题目中提“条直线存重合的情况，如果只ll1况。、直线平行的条件l:ykx,lx（1斜截式方程：设直线1

2

，则要考虑重合的情①

kk,bl∥l22

②若线

ll1

2

的斜率存在，则

l∥lkk

（2一般式方程：设

l:xByClAxBy112

，则①当

AB1AB22

时，

l∥l12②

AA1

，且

ACAC1221

和

1221

中至少一个成立，则

l1

∥

l2

（此条件适用于所有直线）3、直线垂直的条件：（1）斜截式方程：设直线

l:ykx,lx，llk112（2一般式方程：设

l:xByClAxBy112AABll1122

，则：、一般式方程平行与垂直判定的规律：可选择与一般式方程

Ax

对应的向量：

，即有：l:xya:AxByB112222222

，从而a,

的关系即可代表

ll1

的关系，例如：Aal∥l211

（注意验证是否会出现重合的情况）ABall2221212

''0''0（三）距离问题：、两点间距离公式：设

,y1

2

，则

AB

x

y

y

、点到直线距离公式：设

yBy0则点

P

到直线

l

的距离

P

0A2、平行线间的距离：

l:l:AxBy0122则

ll1

2

的距离为

C12（四）对称问题、中心对称：（1几何特点：若

A

关于

O

点中心对称，则

O

为线段

的中点（）解析特征：设

y0

点关于O点心对称的点xa0x2ax20yyy20b2

满足：、轴对称（何点若AA关直线l对称l为段AA的垂线AAlAA的中点在

l

上（2解析特征：设

Ay

，

l:kx，与A点于l轴称点

满足：yykAAkyyx00

，解出

即可（3求轴对称的直线：设对称轴为直线l直线l关l的称直线为1①若l∥l，l'∥l，且l到称轴的距离与l到称轴的距离相等1

l'②若

l1

与

l

相交于

P

，则取

l1

上一点

A

，求出关于

l

的对称点

'

，则

即为对称直线

l

U0,U0,U0,（五直线系方程满足某种特征的一类直线组成的集合称为直线系线的方程通常含有参数（以参数的不同取值确定直线）、平行线系：集合中的直线呈两两平行关系——参数不会影响斜率的取值（1）与直线）

Ax

平行的直线系方程为：

AxBy（m为数，且（2与直线

Ax

垂直的直线系方程为：

Bxm

（

为参数）、过定点的直线：（1若参数的取值影响直线的斜率，则可寻找该直线是否围绕一个定点旋转：即把含参数的项划为一组并提取参数，只需让参数所乘的因式为0即（2已知

l:xByClAxBy112

（

l1

与

l2

不重合过

ll1

2

交点的直线系方程为：

lx211

xy2

（该直线无法表示l2

）、直线系方程的用途：主要是在求直线方程时可充分利用平行，垂直或过定点的条，将直线设为只含一个参数的方程而思路上就可围绕如何求参数配置资源找件解出参数，即可得到所求直线方程二、典型例题：例1：直线

sin

y

的倾斜角的取值范围是（）A．

B．

0,C．0,4

D．

思路：要求倾斜角（设为将直线转化为斜截式得：

y

，所以，即

，结合正切的定义以及倾斜角的范围可得0,44答案：小炼有话说：一是要注意由正切值求角时，通过图像判断更为稳妥，切忌只求边界角直接根据角大小写区间。二是要注意倾斜角的取值范围：（不是）为

，所以当

k

时，倾斜角

例2：经过P

作直线

l

，若直线

l

与连接A(B(2,3)

的线段总有公共点，则直线

l的斜率的取值范围为．思路：直线l可为绕P(0,

进行旋转，在坐标系中作出线段

AB

，即可由图判断出若直线

l

与线段

AB

有公共点旋过程中的第一条直线与最后一条直线分别为直线PB,PA则k

1

k

32

由图像可得：

答案：

小炼有话说：本题如果没有图像辅助，极易将结果写

，通过观察可得旋转的过程当中倾斜角不断变大锐角变为钝角而斜率的值应为正负值之外非负值之间。所以处理此类问题时一定图作，图例3：若

l:xy

的图象是两条平行直线，则

的值是（）A．或m

B．

C．

D．的不存在思路：由平行线可得：

或

，检验是否存在重合情况，将

代入直线可得：

l:yl2y01

，符合题意，将

代入直线可得：

ll:，ll121

2

重合，不符题意，所以舍去。综上可得：

答案：小炼有话说在已知平行关系求数取值时管在求解时可仅用y系关系但出参数后要进行验证，看是否会导致直线重合。例4：已知直线

ax(y

互相垂直，则实数a等于（）A．

或

B．

或

．

或

．

或

思路：由两直线相互垂直可得：

a

，即

a2a

，解得

或

答案：例5已直线通过点

被线

l

：x

反射反射光线通过点

N

，则反射光线所在直线的方程是．思路：本题与物理知识相结合，可知反射光线过已知点在镜面中的虚像（即对称点考虑求出

的对称点

M

，再利用

N

确定反射光线即可。解：设

M

的对称点

M'y

，则有

'l

，且

MM

'

的中点

0,22

在

l

上xy2

xy0xy0

M

k

6

M

:

即

6y答案：

6y例6：直线

（

mnR

且

,n

不同时为0）经过定点___思路：直线过定点，则意味着定点坐标使得参数“失去作用”——即无论参数取何值，不会影响表达式的值，能够达到此功效的只有让参数与0”相乘，所以考虑将已知直线进行变形，将含

的项与含

n

的项分别归为一组，可得：

，若要让,n“去作用答案：

xy0，解得xyy

，即定点为

小炼有话说：含参数的直线方程要么是一组平行线（斜率为常数么考虑过定点，而定点的求解可参照例6的求寻定点是一种意识即遇到含参数的直线时便可考虑能否找到定点，从而抓住此类直线的特征（绕定点旋转于解题。例7：已知直线

l:xmy

m0上存在点满足与两点A

连线的斜率k

MA

与

k

MB

之积为

，则实数

的取值范围_________思路：设直线上的点

My

M

需同时满足两个条件：一是符合直线方程，二是保

MB22PMB22P证斜率乘积为3.对于条件一，即

m0

，对于条件二，按照斜率计算公式可得

MA

yy，以00即xx000

足件的M，等价于方程组

xmy3myx2

2

y

2

有解，所以判别式

6m

，可解得

222

答案：例：若不全为零的实数a,

成等差数列，点

在动直线laxby0

上的射影为，点Q在线l:12

上，则线段PQ长的最小值是思路：从a,b,

成等差数列可得：

b

aa，所以ly22

，方程含参进而考虑寻找定点。

a2

xy2

，所以有1x21y

，解得定点为

旋转的动直线，对于任意点，的最小值为点

P

到

的距离，而

P

的所有位置中，只有

l

过A(1,2)

点时，最短，即

min

min

A

32

答案：

75小炼有话说）本题的突破口在于对含参直线

l:

a2

的分析，首先对于含参直线要分析出属于平行线系（斜率为定值过定点系（斜率因参数变化而变化其次对于多参数方程也能够找到定点。（2）本题的

P

均为动点，双动点求最值时，通常固定一个点，分析此点固定时，达到最值时另一个点位置的特（例如题中固定

P

分出

P

到

l

的距离为

最小再

2y12y155y35让该点动起来，在动的过程中找到“最值”中的最值。例9：已知

ABC

的两条高所在直线方程为

xyy

，若

(1,2)

，求直线

的方程思路：本题并没有说明高线是否过A但可以将A带入方

程进行验证可得两条高线均不

A

从而寻找确定

直线的

D要素，可连接

AH

，由三角形“三条高线交于一点”的性质可得

EBC且点由两条高线解得从而得到只需再

H求得一点即可，观察C

为三条直线

,CD,

的公共点，

已知，而

AC

可求。进而解得

的坐标，然后通过

和

k

求出

的方程解：设

CD:x:H:

xy511，所以H5

AH

12115

由“三条高线交于一点”可得：

BC

23

BE设

AC:

，代入

A解得：x:

xy

xy

23

整理后可