双曲线的复习资料精华版

*双曲线1.范围、对称性x22b2由标准方程y21，从横的方素来看，直线~2之间没有图象，从纵的方ax=-a,x=a素来看，随着x的y增大，圆那样是关闭曲线的绝对2.极点极点：A1(a,0),A2a,0特殊点：B1(0,b),B20,b实轴：AA2长为2a,a叫做半实轴长+虚轴：B1B2长为2b,b叫做虚半轴长?2.双曲线的标准方程：2222xyyx221(a>0,b>0).1(a>0,b>0).abc2=a2+b2焦点在x轴上，焦点是F(—c,0)、2C,0).焦点在y轴上，焦点是F1(0,—c)、F2(0,C).主曰差别+1双曲线只有两个极点，而椭圆则有四个极点，这是两者的又3..渐近线经过A2、A作y轴的平行线x=±a，经过B、(如图).四条直线12围成一个矩形两条直线22yxb21的渐近线.叫做双曲线—2ay_21(a>0,b>0)的渐近线为a*a=b时，实轴和虚轴等长，这样的双曲线叫做等轴双曲线*?等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线等轴双曲线的性质：(1)渐近线方程为：y

x;(2)渐近线互相垂直；(3)离心率e,2.等轴双曲线能够设为：x2y2(0)，当0时交点在x轴，当0时焦点在y轴上*?共渐近线的双曲线系ybxkbx(k0)，那么此双曲线方程就aka如果已知一双曲线的渐近线方程为2x22r曰y1(k0)x疋疋：或写成~22(kO?(kb)2ab补充性质：焦半径：双曲线上随意一点与焦点所连的线段叫做双曲线的焦半径。义，(利用双曲线的第二定我们能够很容易地推导出双曲线的焦半径公式。)MFiaex0离心观点：双曲线的焦距与实轴长的比e三-，叫做双曲线的离心率*范围：e12aa双曲线形状与e的关系：k-a因此e越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭渐渐变得宽阔。由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔+双曲线的形状张口随着渐近线的地点变化而变化；渐近线的地点(倾斜)情况又受到其斜率限制?共轭双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样获得的双曲线称为原双曲2222线的共轭双曲线.如Xy1与yX1169916注意的区别：二量a,b,c中a,b不同(交换)c相同，经过剖析曲线发现二者其拥有相同的渐近线?此即为共轭之意-1)性质：共用一对渐近线?双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上+2)确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-1+3)共用同一对渐近线ykx的双曲线的方程拥有什么样的特点：可设为*22—^7(0)，当0时交点在x轴，当0时焦点在y轴上+1k2*三、解说典范：一、求双曲线的标准方程22221或爲xy_b2关观点及性质再联合其余知识直接往常是利用双曲线的有求双曲线的标准方程笃求出1(a、b>0),a例1求与双曲线ab2x2a、b或利用待定系数法.线方程.2y2有公共渐近线，且过点M(2,2)的双曲线的共轭双曲22解令与双曲线x1有公共渐近线的双曲线系方程为xy2k，将点2x22M(2,2)代入，得k2)22,1，由共轭双曲22???双曲线方程为2y线的定义，可得此双曲线的共轭双曲线方程为22丄1242评此例是“求与已知双曲线共渐近线的双曲线方程”种类的题?一般地，与双曲线2222笃爲1有公共渐近线的双曲线的方程可设为笃与k(kR,且k丰0);有公ab2.2'ab22xy_1此题用的是待定系数法共焦点的双曲线方程可设为2.22ka二、1、第一定义的应用双曲线的第一定义：已知条件|PF|—|PFaF1、F2是平面内两个定点，P是动点,当且仅当它们知足|=±2a,12正常数：2a<|F1F2|时，P的轨迹是双曲线.2例1设Fi、F2为双曲线求厶F1PF2的面积.解由双曲线

xy21的两个焦点，点P在双曲线上，且知足/F1PF2=90O,4PF1PF24,两边平方，得PF1PF22PF1PF216.2220,???/12°1I22F1F2FPF=90,???IPFIPF2PF16,护1冋F1PF22、第二定义的应用双曲线的第二定义：设F为定点，I是定直线，P是动点，P、F及I共面，当且仅当它们知足条件迟巳e(e1)e是常数，d是P到e距离时，P的轨迹是双曲线.d22【例1】已知双曲线X-y-=1的离心率e>1+2，左、右焦点分别为F、F，左准线12a2b2为I，可否在双曲线的左支上找一点P,使得|PF1是P到|的距离d与|PF2|的等比中项？*【解前点津】从假定存在这样的P点下手，推出某种结果，然后“查验”这种结果|PFi|IPF2I|PFi|e，即眄21?|PF11【规范解答】设在左支上存在P点，使|PF1|2=|PF2|?d，由双曲线第二定义得：又由双曲线的第一定义得：|PF2|—|PF1|=2a从①②中解得：|PFi|,|PF2|=^?^，因△PF1F2中有|PF1|+|PF2|>2c,而e=c，故由③得:e1e1ae2—2e—K0解之：1-...2<e<1+2,???e>1,「.1<ew1+...2这与e>1+?、2相矛盾，.??切合条件的P不存在.【解后概括】关于一般的探索命题，常从假定存在下手，利用定理和题设条件加以推理，若推出矛盾，则假定不建立，否则，假定的命题建立22例2:如果双曲线—L1上一点P到双曲线右准线的距离d等于8,求点P到右焦6436点F的距离|PF|。解Qa.648,b366,c「64一3610JPF|c|PF|10Q,,|PF|10da88即点P到右焦点F的距离|PF|为10。如上题怎样求P到左焦点'的距离'?F|PF|解：||PF'|-|PF||=2a,???||PF'|—10=16,二|PF'|=26已知点A(5,3),F(2,0),在双曲线X2匸1上求一点P,使|PA|〕|PF|例3：32的值最小。解：Ta=1,b=3,?c=2,e=—2,a|PF|1设点P到与焦点(2,0)相应的准线的距离为d，贝U2,|PF|dd2即在双曲线上求点P,使P到定点A的距离与到准线的距离和最小，显然直线垂直于*准线时合题意，且在双曲线的右支上，此时P点纵坐标为3，?所求的点为P(2,3)。三、双曲线性质的应用22例1设双曲线x?占1(0ab)的半焦距为abc,直线I过(a,0)、(0,b)两点，已知原点到|的距离为求双曲线的离心率.c,4*c解析这里求双曲线的离心率即求，是个几何问题，怎么把a?/OAa,OBb,ABc,由面积法知ab「cc■-32222c2，考虑到a2b2c2,1—e4，亦即3e416e2416题目中的条件与之联系起来呢？四、与双曲线相关的轨迹问题例1以动点P为圆心的圆与OA:(x5)2外切，求点P的2及OB:(x5)2y2149轨迹方程?y都解设动点P(x,y),动圆半径为r，由题意知PA7r,PB1r.???PAPB6.???A(5,0),B(5,0)，据双曲线的定义知，点P的轨迹是以A、B为22焦点的双曲线的右支，方程为：—1(x0).916例2如图2,从双曲线x2y21上任一点Q引直线xy2的垂线，垂足为N,求线段QN的中点P的轨迹方程.解析因点P随Q的运动而运动，而点Q在已知双曲线上，设动点P的坐标为(x,y)，点Q的坐标为(x1,y1),则N点的坐标为(2xx1,2yy1).???点N在直线xy2上，?12yy12xx又PQ垂直于直线xy2,yy11xx1故可从寻求Q点的坐标与P点的坐标之间的关系下手，用转移法达到目的2即xyy1x10②*31)2—x21X11x2y21上,联立①、②解得2又???点(X,yJ在双曲线xN1y12.221,X1y113?3121,化简，得点P的轨迹方程为即(_x2y1)(匚x-y2222x22y22x2y10.*=1.五、与双曲线相关的综合题【例1】是否存在同时知足下列条件的双曲线，若存在，求出其方程，若不存在，说明原因?渐近线方程为x±2y=0；⑵点A(5，0)到双曲线上动点P的距离的最小值为、.6.【解前点津】函数最值问题?(2)，转变为求【规范解答】X21，因渐近线为⑴若双曲线焦点在x轴上，可设双曲线方程为~2ab2x22y=±lxbX,???1-，双曲线方程可化为:y2a2a4b2b2议论焦点所在地点，进而确定双曲线方程形式，对条件假定存在同时知足题中两条件的双曲线?设动点P的坐标为(x,y)，则AP|=,(x5)2y2{(x4)25b2(x>2b或xw—2b).k4由条件②，若2b<4即b<2，则当x=4时，|AP|min=..5b2,6b21，这是不可能的.若2b>4即b>2时，则当x=2b时，AP|min=|2b—5|=.6，解之匕=宁(其中宁<2应舍去).22此时存在双曲线方程为：----------2—--------y-----1(5\6)25.62222若双曲线焦点在y轴上，可设双曲线方程为白和=1(/R),?|AP|=￡(x4)2b25,vx?R,「.当x=4时，|AP|min；b25\'6,2二b2=1

，此时存在双曲线方程为

y2—

—

=1.4【解后概括】

给出双曲线的渐近线，

并不能确定焦点的方位，

故要议论双曲线的两种形式.*【例2】已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为.2，且过点(4,—,10).(1)求双曲线方程;*(2)若点M(3,m)在双曲线上，求证：MFi丄MF2；求厶F1MF2的面积.【解前点津】因e=,2，所以c2=2a2=a2+b2a2=b2，故双曲线方程为等轴双曲线，因焦点地点没有确定，故可设双曲线方程为x2—y2=入(入工0).【规范解答】⑴?/e=..,2,???c2=2a2=a2+b2a2=b2,二双曲线方程可设为：x2—y2=入，???(4点,—,10)在双曲线上，16?—10=入，即入=6,故双曲线方程为：x2—y2=6.(2)由(1)知：Fi(—23,0),F2(2.3,0),?kmkmk?km2m2kMF1，kMF2-，kMF1?kMF2132i3232、3129123点(3,m)在双曲线上，9—?m2=6,m2=3,故kMF1?kMF2=—1,?MF』MF2.(3)△FMF的底|FF|=4-.3,FF的高h=|m|=、、3,?2=6.211212FMF【解后概括】中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线方程的统一形式可设为22m?x+n?y=1(mn<0).(六)点差法的运用例1、过点P(8,1)的直线与双曲线x24y24相交于A,B两点，且P是线段AB的中点,求直线AB的方程.24由方程组tX124y：,推得,(xX2)(X1X2)4(y1y2)(y1y?)04y；X2解设A,B的坐标分别为(x「yj,(x2y2),则x：4y；4,x；4y|4,y1yP(8,1)是段AB的中点，X1X216,y1y?2.X1x21—2,故直线AB的斜率为2,其方程为y12(x8)4(y1y2)即2xy150.2例2?关于双